вопросы о dx и функ. от pi переменных

[Дмитрий Келлерман]

привет всем!!! Меня интересуют такие вопросы:1) какую роль играет dx в интеграле
$\int f(x)dx$
где-то когда-то мне кто-то ))) говорил что была научная дискуссия об этом... в ней пришли к выводу что dx вообще можно не писать... Если у кого-то есть информация то объясните....
2) Существуют ли функции от ирациональной количества переменных, например функ. от $Pi$ переменных?
p.s.я не помню был ли это определен или не определенный интеграл((

[Anton Nonko]

1) Не хочется пускаться в споры об обозначениях. Вас не устраивает общепринятая запись? Чем?

2) Как Вы это себе представляете? И зачем это Вам?

[Дмитрий Келлерман]

1)просто интересно....
2)я пока не придумал как это будет выглядеть))) но...

[Бодигрим]

1. $\int f(x)\,dx$ можно понимать просто как формальную запись для обозначения отображения интегрирования, примененного к функции $f$. Можно обозначить это отображение через $\int$ и писать стандартно $\int(f)$, можно обозначить еще сотней других способов - букв-то много. Но это лишь вопрос обозначения.

2. Сначала попробуйте придумать, каким должно быть множество допустимых значений для такой функции.

[Алексей К.]

Дмитрий Келлерман в сообщении #143632 писал(а):

2) Существуют ли функции от ирациональной количества переменных, например функ. от $\pi$ переменных?

Ещё не все функции от целой количества переменных изучены.
На самом деле между 7 и 8 существует ещё одно целое число. Оно равно епсилон минус икс, и это особенность десятичной системы счисления [(c) проф. Лидский ?].
Функции с таким количеством переменных также существуют и совсем не изучены.

[Профессор Снэйп]

Дмитрий Келлерман писал(а):

Существуют ли функции от ирациональной количества переменных, например функ. от $\pi$ переменных?

Надо полагать, функции от рационального количества переменных не вызывают никаких затруднений. В частности, что такое функция от $1/2$ переменных или функция от $-1$ переменной Вам понятно

Ну так просветите меня тогда, а то я даже этого не понимаю!

[PAV]

Ну если уж начинать фантазировать... Количество переменных - это размерность пространства, на котором задана функция. Если взять, скажем, фрактал, имеющий дробную размерность, и определить на нем каким-либо образом функцию, то можно было бы сказать, что мы имеем функцию от нецелого числа переменных. Другое дело, что скорее всего эта функция окажется естественным образом определена и на всем пространстве, в которое вложен фрактал, так что ничего нового это реально не дает. Но может быть, можно сочинить и такую функцию, которая естественным образом продолжаться не будет. Например, взять процедуру "деления", которой строятся фракталы, и связать с ней какой-нибудь сходящийся ряд...

[AD]

Обозначение $\int f(x)\,dx$ полезно потому, что позволяет проще запоминать некоторые правила.
Например, вот как делается замена переменной:

$$\int f(g(x))g'(x)\,dx=\int f(g(x))\,dg(x)=\int f(y)\,dy$$

Каждый переход является теоремой, в которой на функции накладываются нетривиальные ограничения. Совсем не обязательно в середину впихивать интеграл Стилтьеса, можно и сразу доказывать равенство левой и правой частей.

Тем не менее, как мы запоминаем это правило? Первый переход мы как раз делаем "потому", что $dg(x)=g'(x)\,dx$

P.S. А еще, как видите, это обозначение появляется оттого, что обычный интеграл - частный случай стилтьесовского: $\int f(x)\,dx$ - это $\int f(x)\,dg(x)$ при $g(x)\equiv x$.

[bot]

Дмитрий Келлерман писал(а):

привет всем!!! Меня интересуют такие вопросы:1) какую роль играет dx в интеграле
$\int f(x)dx$

Символ dx под интеграл ввёл Лейбниц и многие приёмы интегрирования тем самым превратил в простую и удобную игру в буковки.
Например, $\int xe^{x^2}dx =\frac{1}{2} \int e^{x^2}dx^2=\frac{1}{2}e^{x^2}+\mathbb{R}$
Не стоит только подобную игру принимать за доказательство формул замены переменной, интегрирования по частям и т.п., обоснование этой игры доказывается в соответствующих теоремах.

Добавлено спустя 1 минуту 10 секунд:

AD опередил.

[Архипов]

Дмитрий Келлерман писал(а):

привет всем!!! Меня интересуют такие вопросы:1) какую роль играет dx в интеграле
$\int f(x)dx$
где-то когда-то мне кто-то ))) говорил что была научная дискуссия об этом... в ней пришли к выводу что dx вообще можно не писать.

Одно из определений интеграла: "интеграл - сумма бесконечного количества ($\int$) бесконечно малых величин ($ f(x)dx$) ". Роль бесконечно малой величины играет $dx$.
Выражение $\int dx$ допустимо, а $\int f(x)$ не допустимо.

[shwedka]

Архипов

Цитата:

Одно из определений интеграла: "интеграл - сумма бесконечного количества ($\int$) бесконечно малых величин ($ f(x)dx$) "

И сколько Вам за такое определение на экзамене поставили??

[Amigo]

bot писал(а):

Дмитрий Келлерман писал(а):

привет всем!!! Меня интересуют такие вопросы:1) какую роль играет dx в интеграле
$\int f(x)dx$

Символ dx под интеграл ввёл Лейбниц и многие приёмы интегрирования тем самым превратил в простую и удобную игру в буковки.
Например, $\int xe^{x^2}dx =\frac{1}{2} \int e^{x^2}dx^2=\frac{1}{2}e^{x^2}+\mathbb{R}$
Не стоит только подобную игру принимать за доказательство формул замены переменной, интегрирования по частям и т.п., обоснование этой игры доказывается в соответствующих теоремах.

То есть, ситуация, как я понял такова: есть нечто, что называется интегралом по существу, и есть ряд свойств интегралов. Доказательство сих свойств - задача не простая и требует много времени. Поэтому, придумали определённый язык - позволяющий сокращать длинные цепи рассуждений и обладающий тем свойством, что те формальные правила которые мы определили в нашем языке таковы, что работают так сказать "изомрфно" с тем, что в действительности(по существу) имеет место с интегралами?
Есть ещё вопрос:
Однажды наш преподаватель математики задал нам вопрос: как вы думаете, почему под знаком интеграла стоит функция? - Никто ответить не мог. К чему он его интересно задал, как можно ответить?

Добавлено спустя 3 минуты 47 секунд:

shwedka писал(а):

Архипов

Цитата:

Одно из определений интеграла: "интеграл - сумма бесконечного количества ($\int$) бесконечно малых величин ($ f(x)dx$) "

И сколько Вам за такое определение на экзамене поставили??

А Вы можете привести пример интеграла, который не являлся бы бесконечной суммой бесконечно малых величин? Другое дело, что может не всякая такая сумма есть интеграл.
Есть же там у математиков, целых параграф, относительно всяких сумм Дарбу...

[MaximKat]

Amigo в сообщении #143747 писал(а):

А Вы можете привести пример интеграла, который не являлся бы бесконечной суммой бесконечно малых величин? Другое дело, что может не всякая такая сумма есть интеграл.

суммой каких величин является $\int\sin{x}dx$?

[AlexDem]

Amigo в сообщении #143747 писал(а):

Однажды наш преподаватель математики задал нам вопрос: как вы думаете, почему под знаком интеграла стоит функция? - Никто ответить не мог. К чему он его интересно задал, как можно ответить?

Потому, что интеграл - это оператор и определён он на множестве функций?


У меня, кстати, попутный вопрос. Если понимать оператор в теоретико-множественном смысле, как подмножество $F$ множества упорядоченных пар $X \times Y$, такое что <...>, то для задания оператора мы вроде должны заранее зафиксировать множество функций, на которых он определён. А на множестве каких функций определён $\int f dx$?

Я спрашиваю потому, что мне было бы интересно рассмотреть операцию прямого произведения $\otimes$ на векторах, например, с точки зрения изоморфизма (по аналогии с $H(a+b) = Ha + Hb$). Но $\otimes$ увеличивает размерность и выводит за пределы того линейного пространства, в котором заданы $a$ и $b$. То есть, использование матриц (что я обычно делаю) здесь невозможно. Могут ли "операторы в чистом виде" (то есть, не в матричном выражении) здесь чем-нибудь помочь, или моя задача изначально некорректна?

[Amigo]

MaximKat писал(а):

Amigo в сообщении #143747 писал(а):

А Вы можете привести пример интеграла, который не являлся бы бесконечной суммой бесконечно малых величин? Другое дело, что может не всякая такая сумма есть интеграл.

суммой каких величин является $\int\sin{x}dx$?

У Вас интеграл неопределённый, и вообще говоря - я никогда не понимал, на каких основаниях в наименовании двух разных объектов, присутствует общее слово "интеграл"?
Можете объяснить?
Что же касается определённого интеграла, то если у Вас поставить границы интегрирования, к примеру [0,1] то вопрос, как кажется, решается так:
$I=sin(s)(x_2-x_1)+...+sin(s_n) (x_n-x_{n-1})$

Добавлено спустя 2 минуты 6 секунд:

AlexDem писал(а):

Amigo в сообщении #143747 писал(а):

Однажды наш преподаватель математики задал нам вопрос: как вы думаете, почему под знаком интеграла стоит функция? - Никто ответить не мог. К чему он его интересно задал, как можно ответить?

Потому, что интеграл - это оператор и определён он на множестве функций?


У меня, кстати, попутный вопрос. Если понимать оператор в теоретико-множественном смысле, как подмножество $F$ множества упорядоченных пар $X \times Y$, такое что <...>, то для задания оператора мы вроде должны заранее зафиксировать множество функций, на которых он определён. А на множестве каких функций определён $\int f dx$?

Я спрашиваю потому, что мне было бы интересно рассмотреть операцию прямого произведения $\otimes$ на векторах, например, с точки зрения изоморфизма (по аналогии с $H(a+b) = Ha + Hb$). Но $\otimes$ увеличивает размерность и выводит за пределы того линейного пространства, в котором заданы $a$ и $b$. То есть, использование матриц (что я обычно делаю) здесь невозможно. Могут ли "операторы в чистом виде" (то есть, не в матричном выражении) здесь чем-нибудь помочь, или моя задача изначально некорректна?

Надеюсь Вы это спрашиваете не у меня, поскольку я не математик, и даже не могу понять, что Вы говорите.