Колмогоровская реформа, учебники и т.д.

[gevaraweb]

(Оффтоп)

Aritaborian в сообщении #1432262 писал(а):

грешат ли пьесы Шекспира шескпировщиной, а также грешат ли оперы Вивальди вивальдизмом?

Индийские фильмы, по моему наблюдению, грешат Станиславщиной . Индийское кино развило систему Станиславского и довело ее до абсурда )

[vpb]

15) Оставшаяся часть учебника, т.е. за 8 класс, в основном довольно классична. По классификации выше, она относится к уровню 2.

(Оффтоп)

классный каламбурчик получился

Поэтому там опора на некоторую наглядность более допустима. И у меня эта часть особой антипатии не вызывает.

Только вот, по моим воспоминаниям, сначала у нас были тригонометрические функции острого угла, а только потом --- произвольного аргумента, и рисовали тригонометрический круг. Но, возможно, я путаю. Но в любом случае я считаю такой порядок более естественным. А в рассматриваемом учебнике сразу тригонометрический круг рисуют.

16) В учебнике Колмогорова были и положительные моменты.
(а) Довольно четко (лучше, чем в большинстве других учебников) объяснялось, что такое определение, теорема, аксиома, доказательство; а также обратная теорема, противоположная теорема, необходимые и достаточные условия.
(б) Дано определение, что такое равенство (конгруэнтность) фигур, подобные фигуры,
перемещение, подобие. Объяснены композиция отображений, обратные отображения.
(в) Довольно много неформальных, наглядных объяснений (что выгодно его отличает, скажем, от Погорелова и даже, отчасти, от Киселева).
(г) Изложены, хотя и плохо, векторы (впрочем, это достоинство не учебника, а той программы, которой он должен был соответствовать).
(д) Многие классические утверждения изложены достаточно хорошо.

17) Как школьная программа по математике связана с курсом физики ? В принципе, одна из ее задач --- объяснять необходимые для физики понятия. Но есть и другие задачи, ясно. К тому же с достаточной строгостью объяснить всё нужное в срок невозможно, поэтому неизбежно многое придется сначала объяснять на пальцах. Нельзя же представить, что криволинейные интегралы или поток поля через поверхность с какой-то строгостью расскажут в школе.

18) Кратко суммируем основные недостатки учебника.
(а) Аксиоматика переусилена (неравенство треугольника считается аксиомой), и недостаточно хорошо разъяснена.
(б) Теоретико-множественные понятия, которые авторы пытаются разъяснить, разъяснены также недостаточно хорошо (и несвовременно, когда ученик еще не приобрел достаточные навыки доказательного мышления).
(в) Многочисленные дыры в изложении; читателю предлагается принять на веру (поверить в них из соображений наглядности) многочисленные утверждения, которые в традиционных курсах доказываются.
(г) Неоправданное усложнение доказательств. Использование рассуждений с симметриями там, где можно обойтись более простыми (и более короткими !) рассуждениями, скажем, с признаками равенства теугольников.
(д) В силу вышеизложенного, разрывы в изложении, отсутствие цельности в развертывании последовательности утверждений.
(е) "Перевороты", когда более простые понятия объясняются (или утверждения доказываются) с помощью более сложных.

Короче, по-простому: чему научишься из учебника, в котором одни доказательства отсутствуют, а другие изложены так заумно, что не поймешь ?

(Оффтоп)

Это еще не конец.

[Munin]

(Оффтоп)

vpb в сообщении #1435984 писал(а):

16) В учебнике Колмогорова были и положительные моменты.
(а) Довольно четко (лучше, чем в большинстве других учебников) объяснялось, что такое определение, теорема, аксиома, доказательство; а также обратная теорема, противоположная теорема, необходимые и достаточные условия.

О, вот это ровно то, что мне сейчас нужно! Спасибо, пойду списывать.

[upgrade]

vpb в сообщении #1435984 писал(а):

Только вот, по моим воспоминаниям, сначала у нас были тригонометрические функции острого угла, а только потом --- произвольного аргумента, и рисовали тригонометрический круг. Но, возможно, я путаю. Но в любом случае я считаю такой порядок более естественным. А в рассматриваемом учебнике сразу тригонометрический круг рисуют.

Изучали спираль Френеля, гармонические электромагнитные колебания, с кругом намного понятнее и легче - видны фазы, амплитуды, задержки ... сразу понятно, как строится спираль Френеля. Комплексные числа опять же ...

[Munin]

Спираль Френеля - это 11 класс (по новой нумерации), с большим трудом 10. К этому моменту тригонометрические функции произвольного аргумента введены.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Э, интересно, у нас никаких спиралей Френеля не было. Хотя у этой спирали кстати есть применения чисто в геометрическом дизайне, когда нужны сплайны, сопрягающиеся без разрыва кривизны.

[upgrade]

Munin в сообщении #1436112 писал(а):

Спираль Френеля - это 11 класс (по новой нумерации), с большим трудом 10.

Да? Может в спецшколе, всеж специфическая тема.

[Munin]

Я подразумевал: "не раньше 11 класса". В том смысле, что уж к этому моменту тригонометрические функции известны во всей своей полноте (над действительными числами).

[arseniiv]

А, так никто в школе спираль Корню не изучал? Тогда порядок, а то уж удивили.

[upgrade]

А с кружочками можно и в 11-м :), наверное.

[Mihr]

vpb в сообщении #1435891 писал(а):

Прежде всего, определение вектора как параллельного переноса выглядит диковатым. На физике ученики видели, что вектор --- это отрезок со стрелочкой. А тут им предлагают считать, что вектор --- это параллельный перенос. Явный разрыв шаблона.

Пожалуй, выскажусь на этот счёт. Обобщать не пытаюсь, скажу исключительно о собственных впечатлениях. Мне кажется, что в мою бытность школьником понятие вектора в математике встретилось несколько позже, чем векторной величины в физике. (Кстати, так же обстоит дело и сейчас: векторная величина в физике появляется в начале 7-го класса, вектор в математике - в конце 8-го). Однако никакого "разрыва шаблона" у меня не было. Да и у своих одноклассников я тоже его не наблюдал. Возможно даже, я далеко не сразу обратил внимание и на то, что слова "вектор" и "векторный" имеют общий корень Ну, может и обратил, но вряд ли придал этому большое значение. Изучение одного понятия мне никак не мешало уяснить другое. "Векторная величина" в физике понималась просто как нечто, имеющее направление в пространстве: сила, скорость, etc (в отличие от массы, или, скажем, температуры). Ни с каким параллельным переносом она у меня никогда не ассоциировалась. И когда дело дошло до систематического изучения параллельных переносов (сиречь, векторов), мне память о силах и скоростях, уж поверьте, ничем не помешала. В общем, при полном уважении к Вашему мнению именно эта "проблема" мне кажется несколько надуманной. Да, сейчас-то мне очевидно, что попытка поставить знак равенства между понятиями "вектор" и "параллельный перенос" выхолащивает понятие "вектор". Но педагогическое оправдание для этого есть. Чтобы его изложить, начну с небольшой аналогии.
В своё время мне пришлось затратить серьёзные усилия, чтобы понять тригонометрию. Не скажу, чтобы процесс её постижения был таким уж долгим, нет, вскоре всё стало предельно ясным, но попыхтеть для этого пришлось всерьёз. Почему? А просто потому, что нам сразу дали понятия синуса и косинуса как координат точки на единичной окружности. Формально, вроде бы, хорошо: учат "не приблизительно, а сразу правильно". Но всегда ли нужно так учить? Не уверен. Я читал учебник - и, вроде бы, всё понимал. За исключением главного - к чему всё это? Как нынче принято говорить, мотивации не было. И лишь когда мы дошли до рисунка, где внутри единичной окружности был изображён прямоугольный треугольник - с этого момента и началось подлинное понимание. Как будто в полутёмной комнате зажгли, наконец, нормальный свет.
В нынешних учебниках математики для школы синус/косинус поначалу определяют как отношение противолежащего/прилежащего катета к гипотенузе и лишь затем доходят до более точного ("правильного") определения. Думаю, так действительно лучше - по соображениям методического характера, которые уже понятны.
Мне кажется, если бы нам сразу "дали" векторы как направленные отрезки - у меня было бы больше сложностей с пониманием (как это случилось в тригонометрии). То есть, я, конечно, запомнил бы, что такие отрезки можно складывать-вычитать да умножать на числа любого знака, но смысла в этом я бы не увидел. И отсутствие мотивации затруднило бы постижение темы. А ведь как хорошо можно всё объяснить на языке параллельных переносов: композиция (сумма) таких переносов может быть заменена одним переносом, причём даже порядок слагаемых (членов композиции) здесь роли не играет. И повторное применение одинаковых переносов иллюстрирует умножение вектора на число (во всяком случае, умножение на натуральное число - предельно понятно). Так что ж плохого в том, чтобы сначала говорить просто о параллельных переносах, и лишь попозже оторваться от этого образа, когда действия с векторами уже хорошо освоены?
И насчёт физики. Вполне можно ведь рисовать векторы перемещения материальной точки и понимать их как "параллельные переносы" этой точки (хотя именно параллельность тут уже никакой роли не играет). Так что здесь скорее согласие разных интерпретаций, чем их конфликт.

Приведу в заключение ещё одну аналогию. В школе нам давали понятие множества и операции над множествами. Ни малейших трудностей с пониманием этого материала у меня не возникло. А вот если бы поначалу мне (ещё школьнику) дали аксиомы булевой алгебры и заставили её осваивать... Боюсь, результаты были бы совсем другими. Возможно даже, не было бы никаких результатов вообще - прежде чем я добрался бы до какой-нибудь её интерпретации (алгебры множеств, алгебры логики или алгебры событий).
Конечно, во время учёбы в вузе аксиоматический подход уже не должен вызывать серьёзных трудностей. Но вот в школе отсутствие наглядности может многого стоить. Как говорится, всему - своё время.

[Munin]

Mihr в сообщении #1436487 писал(а):

А ведь как хорошо можно всё объяснить на языке параллельных переносов

А у меня вопрос: а вы это объяснить пробовали? На стороне учителя / репетитора, школьникам.

У меня впечатление такое: само понятие движения плоскости - очень большое и сложное. (Нужно сначала ввести отображения, биекции, объяснить, что плоскость - это множество точек, а фигуры - подмножества. У движения как отображения нет хорошего наглядного образа, в отличие от графика для функции, или таблички для конечного множества значений. "Движению" мешается физика, которая подразумевает при движении прохождение непрерывно всех промежуточных состояний, причём в соответствии с моментами времени.)

И в общем, всё это осмысленно вводить в рамках какой-то большой темы, посвящённой именно движениям. А векторы - тема отдельная, более маленькая, и кажется, до движений. (Маленькая, особенно если не включать в неё скалярного произведения.) Зато векторы хорошо стыкуются с координатным методом.

То есть, я "за" такой подход:
- сначала (можно на физике) "вектор - штука, характеризующаяся величиной и направлением";
- потом "вектор можно изобразить отрезком со стрелочкой", здесь даются конкретные геометрические рецепты вычисления суммы, разности, умножения на число, можно доказать их свойства;
- и только потом, при разговоре о движениях, и в частности о параллельном переносе, можно заметить, что параллельные переносы однозначно взаимно сопоставляются векторам.
В это по вкусу после п. 2 куда-то всовываются: координаты и вычисления в координатах; проекция на прямую и скалярное произведение. Векторное произведение - не раньше начала стереометрии, увы, хотя физике оно нужно ещё с 7 класса.

[Mihr]

Munin в сообщении #1436500 писал(а):

а вы это объяснить пробовали?

Не пробовал: именно по этой теме мне вопросов пока никто не задавал. Но почему-то мне кажется: объяснил бы, если бы потребовалось.
Но вообще, утверждение было вызвано тем, что именно мне (и моим одноклассникам) такое объяснение в своё время было вполне понятным. Именно с этого я и начал свой пост. Возможно, далее не очень удачно сформулировал то, что хотел сказать.

[Munin]

Соглашусь с тем, что свойства группы удачнее всего демонстрировать и мотивировать на примере группы преобразований чего-то. В частном случае, если мы рассматриваем параллельные переносы, то аксиомы группы становятся довольно очевидно выполненными. Хотя коммутативность, возможно, не столь очевидна.

Впрочем, в 8 классе ученик не столько сосредоточен на аксиомах и вытекающих из них следствиях. Сколько он вообще оказывается в новой для него ситуации: можно писать формулы не для числовых величин, а для векторных, и работать с ними по схожим правилам алгебры. Но есть и отличия. И пусть он пока класса до 10-11 набирается опыта такой работы. (Физики ему подкинут много примеров.)