2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5
 
 Re: Может ли разность кубов быть квадратом?
Сообщение15.01.2020, 06:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1968
Санкт-Петербург
B@R5uk в сообщении #1435272 писал(а):
Или же формула даёт только часть решений?
:roll:

Я спокоен. Я себя контролирую. Еще раз формулирую общее решение задачи $l^3-r^3=k^2$
При взаимно простых $(l,r)$ различаются два случая.
1) $l-r$ есть утроенный квадрат. Такие решения описываются тождеством $\left [ \left ( \dfrac{a^2+3b^2}{2} \right )^2-3b^4 \right ]^3-\left [ \left ( \dfrac{a^2-3b^2}{2} \right )^2-3b^4 \right ]^3=\left ( \dfrac{3ab(a^4+3b^4)}{4} \right )^2$ при взаимно простых $a,b$.
2) $l-r=n^2$, как например $13^2=8^3-7^3.$ Тут $l=\dfrac{q+n^2}{2},r=\dfrac{q-n^2}{2},k=\dfrac{pn}{2}$ , где $p,q$ — некоторое решение уравнения $p^2-3q^2=n^4$ с четным $p$ при фиксированном нечетном аргументе $n$. Имея на руках два наименьших решения $\dfrac{p_1}{q_1},\dfrac{p_2}{q_2},$ остальные можно получить из бесконечной серии $\dfrac{p_{n+1}=14p_n-p_{n-1}}{q_{n+1}=14q_n-q_{n-1}}...$

Примеры. $ n=1$ (классический Пелль) $\dfrac{p_n}{q_n}=\dfrac{2}{1},\dfrac{26}{15},$ Из второй дроби получаем тройку $\dfrac{15+1^2}{2}=8,\dfrac{15-1^2}{2}=7,\dfrac{26 \cdot 1}{2}=13.$ Остальное по формуле $\dfrac{26 \cdot 14-2=362}{15 \cdot 14-1=209},...$ и т.д. $\dfrac{5042}{2911},\dfrac{70226}{40545},...$ Из последней дроби имеем решение $20273^3-20272^3=35113^2$.

$n=13.$ Одна из серий: $\dfrac{194}{55},\dfrac{2018}{1161},\dfrac{28058}{16199},\dfrac{390794}{225625},...$ Из последней дроби имеем тройку $\dfrac{225625+13^2}{2}=112897;\dfrac{225625-13^2}{2}=112728;\dfrac{390794 \cdot 13}{2}=2540161.$
За наименьшими решениями, если не хочется возиться с цепными дробями, можно зайти в Вольфрам.

Если же требования взаимной простоты $(l,r)$ не стоит, то решений ровно столько, сколько рациональных точек на числовой оси. Об этом тут.

 Профиль  
                  
 
 Re: Может ли разность кубов быть квадратом?
Сообщение15.01.2020, 07:24 
Аватара пользователя


26/05/12
1694
приходит весна?
Andrey A в сообщении #1434650 писал(а):
Надо бы еще определиться, что значит "тривиальные". Пусть тройка $l_0,r_0,k_0$ — некоторое решение, и выполняется $l_0^3-r_0^3=k_0^2.$ Тогда верно и $(l_0t^2)^3-(r_0t^2)^3=(k_0t^3)^2$ для любого $t$. Будем считать такие тройки тривиальными (если $t \neq 1$), и наоборот тройку $l,r,k$ считаем нетривиальной, если $\gcd (l,r)$ свободно от квадратов.

Возьмем теперь пару взаимно простых аргументов $p>q$. Для них однозначно определена пара $u,v$ таких, что $p^3-q^3=uv^2$ и $u$ свободно от квадратов. Домножив все слагаемые на $u^3$, имеем нетривиальное решение $(pu)^3-(qu)^3=(vu^2)^2$ — самый простой и полный ответ на вопрос ТС.

Вот это то, что я ищу. Спасибо. Осталось придумать, как оценить диапазон для p и q, чтобы покрыть все решения с квадратами от 1 до N. С параметром t в этом плане всё просто. После этого можно будет писать программу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Может ли разность кубов быть квадратом?
Сообщение15.01.2020, 10:33 


26/08/11
2102
B@R5uk в сообщении #1435272 писал(а):
Если честно, то я пытался понять, почему уравнение $x^2+1=y^3$ не имеет в качестве решения ничего, кроме тривиального $\left(0,1\right)$
А, тут просто - потому что

$\operatorname{Im} (a+bi)^3=b(3a^2-b^2)$, что должно равняться единице.

А вот $x^2-1=y^3$ - намного сложнее. (Конечно, если не использовать тот факт, что $|a^3-2b^3| \ge \sqrt a\;\; \forall a,b \in \mathbb{N}_0$)

-- 15.01.2020, 10:10 --

B@R5uk в сообщении #1435272 писал(а):
Вот только я не пойму, как получить самый первый результат $13^2=8^3-7^3$? Дробные параметры?

Shadow в сообщении #1434296 писал(а):
Я уверен, что уравнение $x^3+y^3=z^2$ рассматривалось на форуме. (плюс-минус это не принципиально). Я тоже его решал в взаимнопростых, но не могу найти. (поисковники не любят формул). У меня три параметризации получились - первая для $3\nmid z$.

$x=4v(u^3+v^3)$
$y=u(u^3-8v^3)$
$z=u^6+20u^3v^3-8v^6$
Как раз тот случай, когда $z$ не делится на 3. $(8,-7,13)$ получается при $u=1,v=1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Может ли разность кубов быть квадратом?
Сообщение15.01.2020, 19:48 
Заслуженный участник


20/08/14
11781
Россия, Москва
Andrey A в сообщении #1435266 писал(а):
Или Вы не ищите легких путей? ))
Программа была написана ещё до появления всех этих серий.
B@R5uk в сообщении #1435272 писал(а):
Однако считать в лоб по формуле, а потом сортировать результат должно должно быть гораздо быстрее.
Разумеется. Но программа была до появления формул. Да и полезно для сверки формул, например.

 Профиль  
                  
 
 Re: Может ли разность кубов быть квадратом?
Сообщение15.01.2020, 20:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1968
Санкт-Петербург
Dmitriy40 в сообщении #1435368 писал(а):
Программа была написана ещё до появления всех этих серий.

Вот я и чувствую. А то мы действительно как в параллельных ветках существуем. Кое-что забыл: аргументы $a,b$ в тождестве — нечетные взаимно простые, причем $3\nmid a$, иначе тройка не вз. проста. Переменные не симметричны, поэтому из каждой пары в общем случае следует два решения. При желании можно рассмотреть уравнение $x^3-y^3=az^2$ для фиксированного $a$ свободного от квадратов. Оно равносильно уравнению $(ax)^3-(ay)^3=(a^2z)^2$, и можно ожидать бесконечных серий или тождеств, подобных случаю $a=1$, с которым более менее всё ясно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Может ли разность кубов быть квадратом?
Сообщение15.01.2020, 21:05 
Заслуженный участник


20/08/14
11781
Россия, Москва

(Оффтоп)

Andrey A в сообщении #1435375 писал(а):
А то мы действительно как в параллельных ветках существуем.
Так и есть. Пока вопрос был скорее экспериментальный, я наваял программульку и получил что-то. Как обсуждение пошло в математику, я замолк и лишь читаю и отвечаю на прямые вопросы мне.

 Профиль  
                  
 
 Re: Может ли разность кубов быть квадратом?
Сообщение17.01.2020, 14:18 
Заслуженный участник


20/12/10
9063
Shadow в сообщении #1435285 писал(а):
Конечно, если не использовать тот факт, что $|a^3-2b^3| \ge \sqrt a\;\; \forall a,b \in \mathbb{N}_0$
Можете пояснить, откуда этот факт? Без конкретизации константы при $\sqrt{a}$ это следует из теоремы Рота, но доказательство последней, как известно, неэффективно. Так что факт представляется довольно нетривиальным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Может ли разность кубов быть квадратом?
Сообщение18.01.2020, 12:01 


26/08/11
2102
nnosipov в сообщении #1435653 писал(а):
Можете пояснить, откуда этот факт
Кажется, ниоткуда. Точнее - не факт Здесь, на второй странице об этом упоменается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Может ли разность кубов быть квадратом?
Сообщение18.01.2020, 17:53 
Заслуженный участник


20/12/10
9063
Shadow
Спасибо. Как выяснилось, эту статью я уже просматривал, просто забылись детали.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 69 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group