Может ли разность кубов быть квадратом?

[serval]

Итак, ответ на вопрос в исходных условиях утвердительный - да, разность кубов двух натуральных взаимно простых чисел может быть квадратом натурального числа.
Я не упустил никаких дополнительных условий в ходе обсуждения?

[Shadow]

Andrey A в сообщении #1434273 писал(а):

Да, и не стоит забывать что здесь только половина решений

Я уверен, что уравнение $x^3+y^3=z^2$ рассматривалось на форуме. (плюс-минус это не принципиально). Я тоже его решал в взаимнопростых, но не могу найти. (поисковники не любят формул). У меня три параметризации получились - первая для $3\nmid z$.

$x=4v(u^3+v^3)$
$y=u(u^3-8v^3)$
$z=u^6+20u^3v^3-8v^6$


$x=u^4+6u^2v^2-3v^4$
$y=-u^4+6u^2v^2+3v^4$
$z=6uv(u^4+3v^4)$


$x=u^4+4u^3v-6u^2v^2+4uv^3+v^4$
$y=2(u^4-2u^3v-2uv^4+v^4)$
$z=3(u^6-2u^5v+5u^4v^2-5u^2v^4+2uv^5-v^6)$

Кажется, Эйлер его решил... неудивительно. И параметризация у него была хорошая - негромоздкая...но не могу найти.

[nnosipov]

serval в сообщении #1434293 писал(а):

Я не упустил никаких дополнительных условий в ходе обсуждения?

Дополнительных условий --- нет, но, помимо ответа "да" на Ваш вопрос, были сделаны некоторые дополнительные наблюдения. Например: соответствующих троек имеется бесконечно много.

-- Пт янв 10, 2020 15:42:31 --

Shadow в сообщении #1434296 писал(а):

Я уверен, что уравнение $x^3+y^3=z^2$ рассматривалось на форуме.

Аналогичное deja vu.

[Sonic86]

Нашел тему мусорку post445830.html, в ней есть ссылка на Серпинского, стр 65.
Еще была topic18812.html

[serval]

Большое спасибо всем участникам обсуждения, оно было интересным.

[grizzly]

(Оффтоп)

Shadow в сообщении #1434296 писал(а):

поисковники не любят формул

На всякий случай поделюсь своим опытом, вдруг кому пригодится.
Поисковик на MSE (math.stackexchange.com) зачастую вполне неплохо справляется с формулами. Если задать там в поиске
a^3+b^3=c^2,
то каждая десятая ссылка будет полезна, а зайдя в какую-то близкую тему, можно уже двигаться навигацией из этой темы по релевантным ссылкам. Эффективность этого поиска примерно на порядок выше, чем в гугле. Иногда результаты поиска могут отличаться, если добавить пробелы между знаками действий, ну и что-то ещё подобное приходит с практикой.

При поиске гуглом степени нужно набирать без "шапочек" и желательно добавить какое-нибудь слово для сужения поиска:
solution a3+b3=c2,
тогда тоже многое находится, но мусора при этом приходится пробегать глазами больше (впрочем, скорость этого хорошо тренируется).

Вот здесь, например, рассматриваются решения в записках Рамануджана.

[Shadow]

grizzly, спасибо.

[serval]

grizzly
Спасибо.

[Andrey A]

Shadow в сообщении #1434296 писал(а):

Я уверен, что уравнение $x^3+y^3=z^2$ рассматривалось на форуме.

Теперь я не понимаю, может что-то упустил? Тождество Серпинского тиражирует бесконечные серии решений из некого первоначального, но само по себе решения не содержит. В Вашей первой тройке $x+y$ есть целый квадрат, во второй — утроенный квадрат. Эти случаи тут учтены. Последняя тройка отличается, но и квадрата в сумме не дает. Посмотрите, нет ли там ошибки? Всё-таки хотелось надеяться на общее решение.

[Shadow]

Andrey A в сообщении #1434439 писал(а):

Последняя тройка отличается, но и квадрата в сумме не дает.

Shadow в сообщении #1434296 писал(а):

$y=2(u^4-2u^3v-2uv^4+v^4)$

Спасибо, тут опечатка, нарушена однородность. Должно быть $-2uv^3$
Вот так
Иначе, в самом решении ничего сложного нет - две уравнения второй степени. И два варианта.
По ссылке grizzly есть решение Рамануджана. И у меня что-то подобное, немножко по другому. Но не принципиально.

[Andrey A]

Да, так работает. Тогда $x+y$ в Вашей последней тройке опять же утроенный квадрат, то же и в формулах Рамануджана.
Возвращаясь к терминологии ТС, все они следуют из уравнения $(2m)^2-(l+r)^2=3n^4$ с учетом $3n^2=l-r, \ 3nm=k$.
$3n^4$ — всегда разность квадратов, и мне кажется странным выписывать общее решение такого уравнения. Это, что называется, делать из пьянки тяжелую работу. Но для взаимно простых троек полезно дать тождество $\left [ \left ( \dfrac{a^2+3b^2}{2} \right )^2-3b^4 \right ]^3-\left [ \left ( \dfrac{a^2-3b^2}{2} \right )^2-3b^4 \right ]^3=\left ( \dfrac{3ab(a^4+3b^4)}{4} \right )^2$ по справедливому требованию nnosipov. Первая тройка Рамануджана в указанной работе, кстати говоря, не вз. простая.

Остальные решения следуют из уравнения $(2m)^2-3(l+r)^2=n^4$ с учетом $n^2=l-r, \ nm=k$, и тут есть тонкость. Возьмем $n=11$. Решение уравнения $p^2-3q^2=11^4$ выражается дробями $\dfrac{p_n}{q_n}=\dfrac{122}{9},\dfrac{271}{140},\dfrac{962}{551},...,\dfrac{p_{n+1}=4p_n-p_{n-1}}{q_{n+1}=4q_n-q_{n-1}}...$ (это можно посмотреть тут). Чтобы получить вз. простые тройки выбираются дроби с четными числителями, которые образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $14.$ Тогда $l=\dfrac{q+11^2}{2},r=\dfrac{q-11^2}{2},k=\dfrac{11p}{2}.$ Если же задействовать все дроби, то некоторые решения окажутся не целыми, но со знаменателем $2$. Однако ничто не мешает домножить основания кубов в левой части уравнения на $4$ и основание квадрата в правой части на $8$. Такие решения вовсе не будут тривиальными, просто $l$ и $r$ будут иметь общим делителем $2$. В погоне за взаимной простотой теряем общность. Поэтому полное решение включает в себя пропорциональные решения с коэффициентом $64$:

$$l=2(q+n^2), r=2(q-n^2), k=4pn,$$

где $p,q$ — некоторое решение уравнения $p^2-3q^2=n^4.$ Вторая серия для $n=11$ выглядит так:

$$\dfrac{122}{-9},\dfrac{217}{104},...,\dfrac{p_{n+1}=4p_n-p_{n-1}}{q_{n+1}=4q_n-q_{n-1}}... \rightarrow l=2(q+11^2), r=2(q-11^2), k=44p.$$

.

P.S. Разложение $3n^4$ в разность квадратов тоже может дать оба нечетных квадрата. Например $3 \cdot 2^4=7^2-1^2$. И тоже для полноты картины можно брать с коэффициентом $64$. Вообще-то мы здесь имеем скрытое уравнение $x^3-y^3=2z^2$.

[Andrey A]

Andrey A в сообщении #1434579 писал(а):

Такие решения вовсе не будут тривиальными...

Надо бы еще определиться, что значит "тривиальные". Пусть тройка $l_0,r_0,k_0$ — некоторое решение, и выполняется $l_0^3-r_0^3=k_0^2.$ Тогда верно и $(l_0t^2)^3-(r_0t^2)^3=(k_0t^3)^2$ для любого $t$. Будем считать такие тройки тривиальными (если $t \neq 1$), и наоборот тройку $l,r,k$ считаем нетривиальной, если $\gcd (l,r)$ свободно от квадратов.
Возьмем теперь пару взаимно простых аргументов $p>q$. Для них однозначно определена пара $u,v$ таких, что $p^3-q^3=uv^2$ и $u$ свободно от квадратов. Домножив все слагаемые на $u^3$, имеем нетривиальное решение $(pu)^3-(qu)^3=(vu^2)^2$ — самый простой и полный ответ на вопрос ТС. Каждой рациональной точке числовой прямой соответствует ровно одно нетривиальное решение, и множество их не пересекается, что нетрудно доказать. Еще вывод: если в серии решений основания кубов пропорциональны, нетривиальным из них может быть только одно. А может и ни одного, как в пифагоровых тройках (правильно бы сказать "примитивные", ну теперь уже поздно метаться). $5^3-3^3=2 \cdot 7^2 \Rightarrow 10^3-6^3=28^2.$

[Andrey A]

PS PS PS
Ведь эта ситуация прямо продолжается на нечетные степени. Без особой уверенности в голосе. $3^5-1^5=2 \cdot 11^2 \Rightarrow 6^5-2^5=88^2$ Ну да. Пропорциональные получаются только домножением на $10$-ю степень. Интересно, могут быть тождества для $5$-х степеней?

[victor.l]

Для $z=3t$. Если имеется решение $a^2-b^2=c^2$ в натуральных взаимно простых то ему соотвествует $x^3-y^3=z^2$ в натуральных взаимно простых числах. Если $c=p^n$ где $p$ произвольное нечетное простое число то $2b+1=p^{2n}$. Тогда $x=3b^2+6b+2$ $y=3b^2-1$ $z=3c(3b^2+3b+1)$.

[B@R5uk]

Dmitriy40 в сообщении #1434240 писал(а):

Значение $r=1727$ даёт аж три решения, с разными $l$ (взаимно простыми с $r$). С $l$ такого не обнаружил.

А я игрался, перебирая по очереди "подквадратное" число и подбирая для него кубы. Поскольку разность соседних кубов растёт с аргументом, для каждого такого числа есть лишь ограниченное количество решений. Это количество как правило 0, иногда 1; два варианта для представления квадрата разностью кубов пока не нашёл.

В связи с найденным вами забавным фактом возникает вопрос: если зафиксировать вычитаемый куб, то количество решений ограничено? В принципе же ничего не запрещает брать всё большие и большие квадраты и кубы и смотреть, когда же совпадёт? Не очень глубокий эксперимент показывает, что если результаты сортировать по возрастанию квадратов, то вычитаемый куб пляшет вполне себе свободно во всём доступном диапазоне.

-- 14.01.2020, 04:59 --

(Оффтоп)

57737
   13² =     8³ -     7³;  / 1
   28² =    10³ -     6³;  / 2
   49² =    14³ -     7³;  / 7
  104² =    32³ -    28³;  / 4
  147² =    28³ -     7³;  / 7
  181² =   105³ -   104³;  / 1
  189² =    33³ -     6³;  / 3
  224² =    40³ -    24³;  / 8
  351² =    72³ -    63³;  / 9
  361² =    57³ -    38³;  / 19
  388² =   114³ -   110³;  / 2
  392² =    56³ -    28³;  / 28
  507² =    65³ -    26³;  / 13
  549² =    74³ -    47³;  / 1
  588² =    71³ -    23³;  / 1
  676² =    78³ -    26³;  / 26
  756² =    90³ -    54³;  / 18
  832² =   128³ -   112³;  / 16
 1029² =   140³ -   119³;  / 7
 1176² =   112³ -    28³;  / 28
 1323² =   126³ -    63³;  / 63
 1369² =   148³ -   111³;  / 37
 1425² =   130³ -    55³;  / 5
 1448² =   420³ -   416³;  / 4
 1512² =   132³ -    24³;  / 12
 1625² =   200³ -   175³;  / 25
 1792² =   160³ -    96³;  / 32
 1862² =   217³ -   189³;  / 7
 1911² =   154³ -     7³;  / 7
 1922² =   155³ -    31³;  / 31
 2299² =   176³ -    55³;  / 11
 2355² =   193³ -   118³;  / 1
 2521² =  1456³ -  1455³;  / 1
 2808² =   288³ -   252³;  / 36
 2883² =   217³ -   124³;  / 31
 2888² =   228³ -   152³;  / 76
 3104² =   456³ -   440³;  / 8
 3136² =   224³ -   112³;  / 112
 3185² =   217³ -    42³;  / 7
 3216² =   218³ -    26³;  / 2
 3500² =   250³ -   150³;  / 50
 3721² =   305³ -   244³;  / 61
 3969² =   252³ -    63³;  / 63
 4056² =   260³ -   104³;  / 52
 4103² =   273³ -   152³;  / 1
 4332² =   266³ -    38³;  / 38
 4392² =   296³ -   188³;  / 4
 4459² =   392³ -   343³;  / 49
 4537² =   280³ -   111³;  / 1
 4704² =   284³ -    92³;  / 4
 4887² =   945³ -   936³;  / 9
 5103² =   297³ -    54³;  / 27
 5239² =   312³ -   143³;  / 13
 5291² =   336³ -   215³;  / 1
 5341² =  1169³ -  1162³;  / 7
 5404² =  1562³ -  1558³;  / 2
 5408² =   312³ -   104³;  / 104
 5439² =   329³ -   182³;  / 7
 5547² =   344³ -   215³;  / 43
 5733² =   329³ -   140³;  / 7
 6048² =   360³ -   216³;  / 72
 6125² =   350³ -   175³;  / 175
 6216² =   349³ -   157³;  / 1
 6656² =   512³ -   448³;  / 64
 6727² =   713³ -   682³;  / 31
 7035² =   506³ -   431³;  / 1
 7098² =   403³ -   247³;  / 13
 7581² =   608³ -   551³;  / 19
 8232² =   560³ -   476³;  / 28
 8281² =   546³ -   455³;  / 91
 8918² =   987³ -   959³;  / 7
 9264² =   478³ -   286³;  / 2
 9324² =   443³ -    11³;  / 1
 9408² =   448³ -   112³;  / 112
 9477² =   648³ -   567³;  / 81
 9559² =   561³ -   440³;  / 11
 9604² =   490³ -   294³;  / 98
 9633² =   910³ -   871³;  / 13
 9747² =   513³ -   342³;  / 171
10108² =   475³ -   171³;  / 19
10476² =  1026³ -   990³;  / 18
10584² =   504³ -   252³;  / 252
10952² =   592³ -   444³;  / 148
11253² =   506³ -   143³;  / 11
11323² =   585³ -   416³;  / 13
11400² =   520³ -   220³;  / 20
11584² =  1680³ -  1664³;  / 16
11924² =   522³ -    38³;  / 2
12005² =   609³ -   434³;  / 7
12096² =   528³ -    96³;  / 48
12482² =   553³ -   237³;  / 79
12621² =   673³ -   526³;  / 1
12943² =  1161³ -  1118³;  / 43
13000² =   800³ -   700³;  / 100
13117² =   665³ -   496³;  / 1
13689² =   585³ -   234³;  / 117
14336² =   640³ -   384³;  / 128
14823² =   666³ -   423³;  / 9
14896² =   868³ -   756³;  / 28
15288² =   616³ -    28³;  / 28
15376² =   620³ -   124³;  / 124
15876² =   639³ -   207³;  / 9
15987² =   730³ -   511³;  / 73
16129² =   889³ -   762³;  / 127
16807² =   686³ -   343³;  / 343
17303² =   968³ -   847³;  / 121
17784² =   694³ -   262³;  / 2
18228² =  1190³ -  1106³;  / 14
18252² =   702³ -   234³;  / 234
18375² =   700³ -   175³;  / 175
18392² =   704³ -   220³;  / 44
18456² =   863³ -   671³;  / 1
18840² =   772³ -   472³;  / 4
18963² =   889³ -   700³;  / 7
20168² =  5824³ -  5820³;  / 4
20412² =   810³ -   486³;  / 162
20812² =   770³ -   286³;  / 22
21070² =   763³ -    63³;  / 7
21801² =   793³ -   286³;  / 13
22005² =   786³ -   111³;  / 3
22326² =   793³ -    61³;  / 61
22464² =  1152³ -  1008³;  / 144
22625² =  2625³ -  2600³;  / 25
22743² =   817³ -   304³;  / 19
23064² =   868³ -   496³;  / 124
23104² =   912³ -   608³;  / 304
23544² =   858³ -   426³;  / 6
23625² =   825³ -   150³;  / 75
24832² =  1824³ -  1760³;  / 32
24843² =  1001³ -   728³;  / 91
25012² =   858³ -   182³;  / 26
25088² =   896³ -   448³;  / 448
25480² =   868³ -   168³;  / 28
25728² =   872³ -   104³;  / 8
25921² =   897³ -   368³;  / 23
27783² =  1260³ -  1071³;  / 63
28000² =  1000³ -   600³;  / 200
28561² =  1352³ -  1183³;  / 169
28756² =   946³ -   270³;  / 2
29575² =  1105³ -   780³;  / 65
29768² =  1220³ -   976³;  / 244
31339² =  1705³ -  1584³;  / 11
31487² =  1040³ -   511³;  / 1
31752² =  1008³ -   252³;  / 252
31850² =  1015³ -   315³;  / 35
32448² =  1040³ -   416³;  / 208
32824² =  1092³ -   608³;  / 4
32851² =  1026³ -    95³;  / 19
33033² =  1177³ -   814³;  / 11
33124² =  2678³ -  2626³;  / 26
34656² =  1064³ -   152³;  / 152
35113² = 20273³ - 20272³;  / 1
35136² =  1184³ -   752³;  / 16
35672² =  1568³ -  1372³;  / 196
35721² =  1134³ -   567³;  / 567
36296² =  1120³ -   444³;  / 4
36309² =  4585³ -  4564³;  / 7
36963² =  1110³ -   111³;  / 111
36963² =  1332³ -   999³;  / 333
37268² =  1210³ -   726³;  / 242
37632² =  1136³ -   368³;  / 16
37821² =  1874³ -  1727³;  / 1
38475² =  1170³ -   495³;  / 45
39096² =  3780³ -  3744³;  / 36
40824² =  1188³ -   216³;  / 108
41912² =  1248³ -   572³;  / 52
42328² =  1344³ -   860³;  / 4
42728² =  4676³ -  4648³;  / 28
43232² =  6248³ -  6232³;  / 8
43264² =  1248³ -   416³;  / 416
43512² =  1316³ -   728³;  / 28
43602² =  2093³ -  1937³;  / 13
43875² =  1800³ -  1575³;  / 225
44307² =  1761³ -  1518³;  / 3
44376² =  1376³ -   860³;  / 172
45125² =  1425³ -   950³;  / 475
45325² =  2065³ -  1890³;  / 35
45602² =  1359³ -   755³;  / 151
45864² =  1316³ -   560³;  / 28
46225² =  1290³ -   215³;  / 215
46764² =  1509³ -  1077³;  / 3
47089² =  1953³ -  1736³;  / 217
47151² =  1625³ -  1274³;  / 13
47400² =  1310³ -   110³;  / 10
47524² =  1526³ -  1090³;  / 218
47915² =  1332³ -   407³;  / 37
48384² =  1440³ -   864³;  / 288
48500² =  2850³ -  2750³;  / 50
49000² =  1400³ -   700³;  / 700
49728² =  1396³ -   628³;  / 4
50274² =  1953³ -  1701³;  / 63
50421² =  1372³ -   343³;  / 343
51597² =  1386³ -    63³;  / 63
51894² =  1395³ -   279³;  / 279
53067² =  1729³ -  1330³;  / 133
53248² =  2048³ -  1792³;  / 256
53428² =  1919³ -  1615³;  / 19
53816² =  2852³ -  2728³;  / 124
53868² =  1474³ -   670³;  / 134
56280² =  2024³ -  1724³;  / 4
56771² =  3040³ -  2919³;  / 1
56784² =  1612³ -   988³;  / 52
57707² =  1705³ -  1176³;  / 1
57798² =  1495³ -    91³;  / 13
60648² =  2432³ -  2204³;  / 76
61516² =  1690³ -  1014³;  / 338
61800² =  1570³ -   370³;  / 10
62073² =  1584³ -   495³;  / 99
62083² =  5145³ -  5096³;  / 49
62257² =  2849³ -  2680³;  / 1
63291² =  1649³ -   782³;  / 17
63375² =  1625³ -   650³;  / 325
63585² =  1737³ -  1062³;  / 9
63869² =  2312³ -  2023³;  / 289
63882² =  1599³ -   195³;  / 39
64389² =  1898³ -  1391³;  / 13
64715² =  1634³ -   559³;  / 43
64827² =  1617³ -   294³;  / 147
65219² =  1694³ -   847³;  / 847
65856² =  2240³ -  1904³;  / 112
66248² =  1638³ -   182³;  / 182
66248² =  2184³ -  1820³;  / 364
67276² =  2002³ -  1518³;  / 22
68067² = 13104³ - 13095³;  / 9
68625² =  1850³ -  1175³;  / 25
68796² =  1806³ -  1050³;  / 42
70056² =  2158³ -  1726³;  / 2
70357² =  2024³ -  1495³;  / 23
71344² =  3948³ -  3836³;  / 28
72163² =  3289³ -  3120³;  / 13
73403² =  3913³ -  3792³;  / 1
73441² =  2710³ -  2439³;  / 271
73500² =  1775³ -   575³;  / 25
73947² =  2198³ -  1727³;  / 157
74112² =  1912³ -  1144³;  / 8
74529² =  2470³ -  2119³;  / 13
74592² =  1772³ -    44³;  / 4
75264² =  1792³ -   448³;  / 448
75268² = 21730³ - 21726³;  / 2
75411² =  1785³ -    84³;  / 21
75816² =  2592³ -  2268³;  / 324
75950² =  1995³ -  1295³;  / 35
76440² =  1826³ -   626³;  / 2
76472² =  2244³ -  1760³;  / 44
76832² =  1960³ -  1176³;  / 392
77064² =  3640³ -  3484³;  / 52
77293² =  1824³ -   455³;  / 1
77841² =  1953³ -  1116³;  / 279
77976² =  2052³ -  1368³;  / 684
80864² =  1900³ -   684³;  / 76
83808² =  4104³ -  3960³;  / 72
84500² =  1950³ -   650³;  / 650
84672² =  2016³ -  1008³;  / 1008
85995² =  1953³ -   378³;  / 63
86832² =  1962³ -   234³;  / 18
87616² =  2368³ -  1776³;  / 592
89167² =  2888³ -  2527³;  / 361
89425² =  3990³ -  3815³;  / 35
90024² =  2024³ -   572³;  / 44
90584² =  2340³ -  1664³;  / 52
91200² =  2080³ -   880³;  / 80
92672² =  6720³ -  6656³;  / 64
94500² =  2250³ -  1350³;  / 450
95392² =  2088³ -   152³;  / 8
96040² =  2436³ -  1736³;  / 28
96148² =  2451³ -  1763³;  / 43
96768² =  2112³ -   384³;  / 192
98553² =  2242³ -  1159³;  / 19
98592² =  2426³ -  1658³;  / 2
99127² =  2142³ -   119³;  / 119
99856² =  2212³ -   948³;  / 316
504.29916988
271