2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Что такое полуширина резонансной кривой?
Сообщение10.01.2020, 02:49 


10/01/20
2
Объясните, пожалуйста, почему полуширина резонансной кривой определяется именно на уровне 0,71 от резонансной амплитуды и почему добротность равна отношению резонансной частоты к этой полуширине.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое полуширина резонансной кривой?
Сообщение10.01.2020, 03:42 
Аватара пользователя


21/01/09
3775
Дивногорск
Kotyarina в сообщении #1434237 писал(а):
именно на уровне 0,71

Там энергия в два раза меньше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое полуширина резонансной кривой?
Сообщение10.01.2020, 03:56 


10/01/20
2
А почему энергия в 2 раза меньше?

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое полуширина резонансной кривой?
Сообщение10.01.2020, 04:36 
Аватара пользователя


21/01/09
3775
Дивногорск
Потому что уровень такой взяли.

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ \approx 0,707.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое полуширина резонансной кривой?
Сообщение10.01.2020, 21:46 
Модератор
Аватара пользователя


16/02/11
3788
Бурашево
Не энергия, а средняя мощность колебаний. Энергия не рассматривается как характеристика периодических сигналов, потому что для них она бесконечна.

Скажем, если рассматривается последовательный колебательный контур и амплитуда воздействующего напряжения фиксирована (не изменяется при изменении частоты), на резонансной частоте ток через контур имеет амплитуду $I_m$, тогда на границе полосы пропускания ток будет иметь амплитуду $\frac{I_m}{\sqrt{2}}$, соответственно средняя мощность, выделяемая на сопротивлении контура на резонансе в первом случае $P_0=\frac{1}{2}I_m^2R$, а на границе полосы пропускания $P_H=\frac{I_m^2}{4}R$, то есть $P_H=\frac{1}{2}P_0$.

Что касается добротности, то она определяется по результатам анализа свободного процесса $u_{\text{св}}(t)$ в колебательной системе как величина, с коэффициентом $2\pi$, пропорциональная отношению текущего запаса энергии свободного процесса к энергии, теряемой им за период: $$Q=2\pi\frac{E_{\text{св}}(t,+\infty)}{E_{\text{св}}(t,t+T)}$$ Далее дело длинное: найти свободный процесс в контуре, рассмотреть энергию, выделяющуюся на сопротивлении контура и при выполнении условия узкополосности получится та формула для добротности, которая вас интересует. Выражение для свободного процесса в контуре легко можно найти как общее решение его однородного дифференциального уравнения...

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое полуширина резонансной кривой?
Сообщение12.01.2020, 08:48 
Заслуженный участник


28/12/12
6981
profrotter в сообщении #1434429 писал(а):
Не энергия, а средняя мощность колебаний. Энергия не рассматривается как характеристика периодических сигналов, потому что для них она бесконечна.

А вовсе не обязательно речь идет о периодических сигналах. Могут быть банальные колебания грузика на пружинке под действием вынуждающей силы. Тогда речь пойдет именно про энергию.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое полуширина резонансной кривой?
Сообщение12.01.2020, 08:55 


27/08/16
8581
DimaM в сообщении #1434657 писал(а):
Могут быть банальные колебания грузика на пружинке под действием вынуждающей силы.
Какой именно вынуждающей силы? Непериодической?
Фурье-базис состоит из периодических функций.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое полуширина резонансной кривой?
Сообщение12.01.2020, 09:03 
Заслуженный участник


28/12/12
6981
realeugene в сообщении #1434658 писал(а):
Какой именно вынуждающей силы?

Гармонической, разумеется. Стандартное понятие резонанса рассматривает именно этот случай.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое полуширина резонансной кривой?
Сообщение12.01.2020, 09:06 


27/08/16
8581
DimaM в сообщении #1434661 писал(а):
Гармонической, разумеется.
Тогда, после экспоненциально затухающего переходного процесса, содержащего другие частоты, который при рассмотрении ширины линии игнорируют, в пределе остаётся одна возбуждающая частота. Периодическая и с бесконечной энергией.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое полуширина резонансной кривой?
Сообщение12.01.2020, 13:05 
Модератор
Аватара пользователя


16/02/11
3788
Бурашево
DimaM в сообщении #1434657 писал(а):
Могут быть банальные колебания грузика на пружинке под действием вынуждающей силы. Тогда речь пойдет именно про энергию.
Не могли бы Вы продемонстрировать как именно пойдёт речь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое полуширина резонансной кривой?
Сообщение12.01.2020, 16:55 


30/01/18
399
Kotyarina в сообщении #1434237 писал(а):
Объясните, пожалуйста, почему полуширина резонансной кривой определяется именно на уровне 0,71 от резонансной амплитуды и почему добротность равна отношению резонансной частоты к этой полуширине.
Потому что так есть. Это свойство не требует ни каких объяснений. Это как Теорема, доказано и всё тут.

Для того чтобы передоказать для себя это свойство Вам необходимо например:

1) Рассмотреть последовательный LCR-контур.
2) Подать на него напряжение переменной частоты но постоянной амплитуды.
3) Построить АЧХ этого контура (зависимость тока в контуре от частоты подводимого напряжения)
4) Знать, что резонансная частота этого контура $\omega_0= \frac{1}{\sqrt{LC}}$ , и добротность этого контура $Q=\frac{\sqrt { \frac  {L} {C} }}{R}$
5) Определить граничные частоты $\omega_1$ и $\omega_2$ на уровне 3дБ (это уменьшение тока в контуре в $\sqrt{2}$ раза от резонансного)
6) Убедится что резонансная частота $\omega_0 = \sqrt{\omega_1 \omega_2}$ (среднее геометрическое граничных частот)
7) И наконец убедится, что $Q=\frac{\sqrt{\omega_1 \omega_2} }{\omega_1 - \omega_2} $

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое полуширина резонансной кривой?
Сообщение13.01.2020, 06:49 
Заслуженный участник


28/12/12
6981
profrotter в сообщении #1434687 писал(а):
Не могли бы Вы продемонстрировать как именно пойдёт речь?

Мог бы. Рассмотрим одномерные колебания груза массы $m$, прикрепленного к пружине жесткости $k$, под действием вынуждающей силы $F=F_0\cos\omega_t$ при наличии силы сопротивления, пропорциональной скорости $F_{fr}=-b\dot{x}$. Вводим стандартные обозначения $\omega_0=\sqrt{k/m},\;f_0=F_0/m,\;2\gamma=b/m$ и получаем уравнение вынужденных колебаний
$$\ddot{x}+2\gamma\dot{x}+\omega_0^2x=f_0\cos\omega t.$$
Установившаяся амплитуда колебаний
$$A=\frac{f_0}{\sqrt{(\omega^2-\omega_0^2)^2+4\gamma^2\omega^2}},$$
энергия при резонансной частоте $E_0=kA_0^2/2$, где $A_0=A(\omega=\omega_0)$. При удалении частоты от резонансной (подразумевая $f_0=\operatorname{const}$) амплитуда и энергия уменьшается.

-- 13.01.2020, 10:57 --

realeugene в сообщении #1434662 писал(а):
Тогда, после экспоненциально затухающего переходного процесса, содержащего другие частоты, который при рассмотрении ширины линии игнорируют, в пределе остаётся одна возбуждающая частота. Периодическая и с бесконечной энергией.

Вы, по-видимому, держите в уме цепь, на которую подается периодический сигнал. Я же веду речь о другом, см. выше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое полуширина резонансной кривой?
Сообщение13.01.2020, 16:11 
Аватара пользователя


07/03/16
06/12/21
3033
profrotter в сообщении #1434429 писал(а):
Энергия не рассматривается как характеристика периодических сигналов, потому что для них она бесконечна.

Речь ведь не о сигналах, а о резонансе, и, следовательно, о системе, которая запасает энергию.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое полуширина резонансной кривой?
Сообщение13.01.2020, 16:37 
Модератор
Аватара пользователя


16/02/11
3788
Бурашево
DimaM в сообщении #1434810 писал(а):
энергия при резонансной частоте $E_0=kA_0^2/2$
Это не энергия. То есть не полная энергия колебания (что я подразумевал по умолчанию), а энергия, на один период колебания. Это средняя мощность умноженная на период. Я считаю, внесение такой путаницы не продуктивным. Общепринято периодические (гармонические) сигналы характеризовать средней мощностью, а не энергией за какой-либо период времени. О ней и надо говорить при объяснении соотношения амплитуд в резонансе и на границе полосы пропускания частотной характеристики. Но если вам всё же нравится энергия за период, то надо и уточнять, что за энергия имеется в виду. И Вы при этом всегда останетесь в рамках частного случая рассматривая то потенциальную энергию пружины, то энергию электростатического поля в ёмкости и тд. в зависимости от вида колебательной системы.
DimaM в сообщении #1434810 писал(а):
Я же веду речь о другом
О том же. Вы тоже подаёте на вход линейной системы периодическое воздействие (сигнал) $f(t)=f_0\cos(\omega t)$.

Emergency в сообщении #1434931 писал(а):
Речь ведь не о сигналах, а о резонансе, и, следовательно, о системе, которая запасает энергию.
Речь о резонансной кривой, которая представляет собой зависимость от частоты отношения амплитуды гармонического отклика линейной системы к амплитуде гармонического воздействия в стационарном режиме. То есть речь идёт о двух гармонических колебаниях, которые также называются гармоническими сигналами. Понятия энергии для колебаний обычно не вводят (точнее рассматривают их энергию, но только на каком-либо ограниченном временном интервале, который рядышком и указывают), поэтому я и счёл нужным оперировать средними мощностями, которые могут рассматриваться обобщённо применительно к колебаниям без учёта их конкретной физической природы и структуры колебательной системы в которой они наблюдаются.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что такое полуширина резонансной кривой?
Сообщение13.01.2020, 17:08 


27/08/16
8581
DimaM в сообщении #1434810 писал(а):
Я же веду речь о другом, см. выше.
Да, вы ведёте речь про реактивную энергию, запасённую в резонансной системе. В этом случае, да, её можно измерять в джоулях. И, всё равно, всё периодично, только запасённая энергия связана с энергией потерь за один период через добротность.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group