Не энергия, а средняя мощность колебаний. Энергия не рассматривается как характеристика периодических сигналов, потому что для них она бесконечна.
Скажем, если рассматривается последовательный колебательный контур и амплитуда воздействующего напряжения фиксирована (не изменяется при изменении частоты), на резонансной частоте ток через контур имеет амплитуду
![$I_m$ $I_m$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/c/9/1c9e376ea30248e3613f8a1bf633c78482.png)
, тогда на границе полосы пропускания ток будет иметь амплитуду
![$\frac{I_m}{\sqrt{2}}$ $\frac{I_m}{\sqrt{2}}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/1/d/d1d5293773742eff393a32687cdc1bf082.png)
, соответственно средняя мощность, выделяемая на сопротивлении контура на резонансе в первом случае
![$P_0=\frac{1}{2}I_m^2R$ $P_0=\frac{1}{2}I_m^2R$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/7/f/27fd0b64ae12ea97d67cff8ca645ec7e82.png)
, а на границе полосы пропускания
![$P_H=\frac{I_m^2}{4}R$ $P_H=\frac{I_m^2}{4}R$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/4/de4d7d522b4fcd0333836131d4517e0982.png)
, то есть
![$P_H=\frac{1}{2}P_0$ $P_H=\frac{1}{2}P_0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/5/5/8550f9fbe9128e0a17fd16f9602dd4c182.png)
.
Что касается добротности, то она определяется по результатам анализа свободного процесса
![$u_{\text{св}}(t)$ $u_{\text{св}}(t)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/c/1/5c172ddf0cca6050a8efd1001e9a3db282.png)
в колебательной системе как величина, с коэффициентом
![$2\pi$ $2\pi$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/a/7/5a7b63fcb316fdefe42e319d18ab939a82.png)
, пропорциональная отношению текущего запаса энергии свободного процесса к энергии, теряемой им за период:
![$$Q=2\pi\frac{E_{\text{св}}(t,+\infty)}{E_{\text{св}}(t,t+T)}$$ $$Q=2\pi\frac{E_{\text{св}}(t,+\infty)}{E_{\text{св}}(t,t+T)}$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/9/3/393a05a07a15159e924ae0192f09f04d82.png)
Далее дело длинное: найти свободный процесс в контуре, рассмотреть энергию, выделяющуюся на сопротивлении контура и при выполнении условия узкополосности получится та формула для добротности, которая вас интересует. Выражение для свободного процесса в контуре легко можно найти как общее решение его однородного дифференциального уравнения...