Что такое полуширина резонансной кривой?

[Kotyarina]

Объясните, пожалуйста, почему полуширина резонансной кривой определяется именно на уровне 0,71 от резонансной амплитуды и почему добротность равна отношению резонансной частоты к этой полуширине.

[Александрович]

Kotyarina в сообщении #1434237 писал(а):

именно на уровне 0,71

Там энергия в два раза меньше.

[Kotyarina]

А почему энергия в 2 раза меньше?

[Александрович]

Потому что уровень такой взяли.

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ \approx 0,707.

[profrotter]

Не энергия, а средняя мощность колебаний. Энергия не рассматривается как характеристика периодических сигналов, потому что для них она бесконечна.

Скажем, если рассматривается последовательный колебательный контур и амплитуда воздействующего напряжения фиксирована (не изменяется при изменении частоты), на резонансной частоте ток через контур имеет амплитуду $I_m$, тогда на границе полосы пропускания ток будет иметь амплитуду $\frac{I_m}{\sqrt{2}}$, соответственно средняя мощность, выделяемая на сопротивлении контура на резонансе в первом случае $P_0=\frac{1}{2}I_m^2R$, а на границе полосы пропускания $P_H=\frac{I_m^2}{4}R$, то есть $P_H=\frac{1}{2}P_0$.

Что касается добротности, то она определяется по результатам анализа свободного процесса $u_{\text{св}}(t)$ в колебательной системе как величина, с коэффициентом $2\pi$, пропорциональная отношению текущего запаса энергии свободного процесса к энергии, теряемой им за период:

$$Q=2\pi\frac{E_{\text{св}}(t,+\infty)}{E_{\text{св}}(t,t+T)}$$

Далее дело длинное: найти свободный процесс в контуре, рассмотреть энергию, выделяющуюся на сопротивлении контура и при выполнении условия узкополосности получится та формула для добротности, которая вас интересует. Выражение для свободного процесса в контуре легко можно найти как общее решение его однородного дифференциального уравнения...

[DimaM]

profrotter в сообщении #1434429 писал(а):

Не энергия, а средняя мощность колебаний. Энергия не рассматривается как характеристика периодических сигналов, потому что для них она бесконечна.

А вовсе не обязательно речь идет о периодических сигналах. Могут быть банальные колебания грузика на пружинке под действием вынуждающей силы. Тогда речь пойдет именно про энергию.

[realeugene]

DimaM в сообщении #1434657 писал(а):

Могут быть банальные колебания грузика на пружинке под действием вынуждающей силы.

Какой именно вынуждающей силы? Непериодической?
Фурье-базис состоит из периодических функций.

[DimaM]

realeugene в сообщении #1434658 писал(а):

Какой именно вынуждающей силы?

Гармонической, разумеется. Стандартное понятие резонанса рассматривает именно этот случай.

[realeugene]

DimaM в сообщении #1434661 писал(а):

Гармонической, разумеется.

Тогда, после экспоненциально затухающего переходного процесса, содержащего другие частоты, который при рассмотрении ширины линии игнорируют, в пределе остаётся одна возбуждающая частота. Периодическая и с бесконечной энергией.

[profrotter]

DimaM в сообщении #1434657 писал(а):

Могут быть банальные колебания грузика на пружинке под действием вынуждающей силы. Тогда речь пойдет именно про энергию.

Не могли бы Вы продемонстрировать как именно пойдёт речь?

[rascas]

Kotyarina в сообщении #1434237 писал(а):

Объясните, пожалуйста, почему полуширина резонансной кривой определяется именно на уровне 0,71 от резонансной амплитуды и почему добротность равна отношению резонансной частоты к этой полуширине.

Потому что так есть. Это свойство не требует ни каких объяснений. Это как Теорема, доказано и всё тут.

Для того чтобы передоказать для себя это свойство Вам необходимо например:

1) Рассмотреть последовательный LCR-контур.
2) Подать на него напряжение переменной частоты но постоянной амплитуды.
3) Построить АЧХ этого контура (зависимость тока в контуре от частоты подводимого напряжения)
4) Знать, что резонансная частота этого контура $\omega_0= \frac{1}{\sqrt{LC}}$ , и добротность этого контура $Q=\frac{\sqrt { \frac {L} {C} }}{R}$
5) Определить граничные частоты $\omega_1$ и $\omega_2$ на уровне 3дБ (это уменьшение тока в контуре в $\sqrt{2}$ раза от резонансного)
6) Убедится что резонансная частота $\omega_0 = \sqrt{\omega_1 \omega_2}$ (среднее геометрическое граничных частот)
7) И наконец убедится, что $Q=\frac{\sqrt{\omega_1 \omega_2} }{\omega_1 - \omega_2} $

[DimaM]

profrotter в сообщении #1434687 писал(а):

Не могли бы Вы продемонстрировать как именно пойдёт речь?

Мог бы. Рассмотрим одномерные колебания груза массы $m$, прикрепленного к пружине жесткости $k$, под действием вынуждающей силы $F=F_0\cos\omega_t$ при наличии силы сопротивления, пропорциональной скорости $F_{fr}=-b\dot{x}$. Вводим стандартные обозначения $\omega_0=\sqrt{k/m},\;f_0=F_0/m,\;2\gamma=b/m$ и получаем уравнение вынужденных колебаний

$$\ddot{x}+2\gamma\dot{x}+\omega_0^2x=f_0\cos\omega t.$$

Установившаяся амплитуда колебаний

$$A=\frac{f_0}{\sqrt{(\omega^2-\omega_0^2)^2+4\gamma^2\omega^2}},$$

энергия при резонансной частоте $E_0=kA_0^2/2$, где $A_0=A(\omega=\omega_0)$. При удалении частоты от резонансной (подразумевая $f_0=\operatorname{const}$) амплитуда и энергия уменьшается.

-- 13.01.2020, 10:57 --

realeugene в сообщении #1434662 писал(а):

Тогда, после экспоненциально затухающего переходного процесса, содержащего другие частоты, который при рассмотрении ширины линии игнорируют, в пределе остаётся одна возбуждающая частота. Периодическая и с бесконечной энергией.

Вы, по-видимому, держите в уме цепь, на которую подается периодический сигнал. Я же веду речь о другом, см. выше.

[Emergency]

profrotter в сообщении #1434429 писал(а):

Энергия не рассматривается как характеристика периодических сигналов, потому что для них она бесконечна.

Речь ведь не о сигналах, а о резонансе, и, следовательно, о системе, которая запасает энергию.

[profrotter]

DimaM в сообщении #1434810 писал(а):

энергия при резонансной частоте $E_0=kA_0^2/2$

Это не энергия. То есть не полная энергия колебания (что я подразумевал по умолчанию), а энергия, на один период колебания. Это средняя мощность умноженная на период. Я считаю, внесение такой путаницы не продуктивным. Общепринято периодические (гармонические) сигналы характеризовать средней мощностью, а не энергией за какой-либо период времени. О ней и надо говорить при объяснении соотношения амплитуд в резонансе и на границе полосы пропускания частотной характеристики. Но если вам всё же нравится энергия за период, то надо и уточнять, что за энергия имеется в виду. И Вы при этом всегда останетесь в рамках частного случая рассматривая то потенциальную энергию пружины, то энергию электростатического поля в ёмкости и тд. в зависимости от вида колебательной системы.

DimaM в сообщении #1434810 писал(а):

Я же веду речь о другом

О том же. Вы тоже подаёте на вход линейной системы периодическое воздействие (сигнал) $f(t)=f_0\cos(\omega t)$.

Emergency в сообщении #1434931 писал(а):

Речь ведь не о сигналах, а о резонансе, и, следовательно, о системе, которая запасает энергию.

Речь о резонансной кривой, которая представляет собой зависимость от частоты отношения амплитуды гармонического отклика линейной системы к амплитуде гармонического воздействия в стационарном режиме. То есть речь идёт о двух гармонических колебаниях, которые также называются гармоническими сигналами. Понятия энергии для колебаний обычно не вводят (точнее рассматривают их энергию, но только на каком-либо ограниченном временном интервале, который рядышком и указывают), поэтому я и счёл нужным оперировать средними мощностями, которые могут рассматриваться обобщённо применительно к колебаниям без учёта их конкретной физической природы и структуры колебательной системы в которой они наблюдаются.

[realeugene]

DimaM в сообщении #1434810 писал(а):

Я же веду речь о другом, см. выше.

Да, вы ведёте речь про реактивную энергию, запасённую в резонансной системе. В этом случае, да, её можно измерять в джоулях. И, всё равно, всё периодично, только запасённая энергия связана с энергией потерь за один период через добротность.