При исследовании ВТФ я исходил из предположения о том, что равенство
![$a^n + b^n = c^n$ $a^n + b^n = c^n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/1/b/11b677f3b9074b620f3f1152982711c482.png)
, для возрастающих значений показателя степени
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
, может быть представлено единым образом, таким, что при достижении значения
![$n=3$ $n=3$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/a/6/aa6905d780872f0007f642420d7a2d9c82.png)
удастся явно выразить его отличие от младших степеней
![$1$ $1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/3/4/034d0a6be0424bffe9a6e7ac9236c0f582.png)
и
![$2$ $2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/c/76c5792347bb90ef71cfbace628572cf82.png)
. Такое представление удалось получить.
Сделаем следующую замену:
![$\begin{cases}
c - a = ut
\\
c - b = l
\\
a + b - c = vt
\end{cases}$ $\begin{cases}
c - a = ut
\\
c - b = l
\\
a + b - c = vt
\end{cases}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/4/4/e444389e431c634083d1c148af3fe64582.png)
Тогда условия выполнения равенства
![$a^n + b^n = c^n$ $a^n + b^n = c^n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/1/b/11b677f3b9074b620f3f1152982711c482.png)
для первых трёх значений показателя степени
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
примут вид:
![$n =1:\ (vt)^1 + (ut)^1 = (ut + l)^1 - l^1$ $n =1:\ (vt)^1 + (ut)^1 = (ut + l)^1 - l^1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/8/4/784dc7cfe072543b4f9395554fe2687f82.png)
![$n =2:\ (vt)^2 + (ut)^2 = (ut + l)^2 - l^2$ $n =2:\ (vt)^2 + (ut)^2 = (ut + l)^2 - l^2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63b618ae80683f2705f9701202f0abc982.png)
![$n =3:\ (vt)^3 + (ut)^3 = (ut + l)^3 - l^3 + 3!\ vt\cdot ut\cdot l$ $n =3:\ (vt)^3 + (ut)^3 = (ut + l)^3 - l^3 + 3!\ vt\cdot ut\cdot l$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/4/2/54236365c4817a340d69446cbba2831f82.png)
Здесь:
![$n =1:$ $n =1:$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/4/e/e4eacf2e4bee66d9617892a77fe9281582.png)
Поскольку, для этого случая,
![$vt = 0$ $vt = 0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/7/7/c77d3621ccb7253d6099f67056724ff482.png)
, то условие выполняется всегда.
![$n =2:$ $n =2:$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/3/8/d387efac501bbd185e51c92707e317e982.png)
Из записи для этого случая видно, что левая часть равенства является квадратом гипотенузы одного треугольника, а правая - квадратом катета другого. Это можно нарисовать.
![$n =3:$ $n =3:$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/3/c/03c55d89f1ef2a2b386a1c8280402aec82.png)
В этом случае, в отличие от двух первых, различающихся только значением показателя степени
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
, в правой части равенства присутствует дополнительное слагаемое.
Как связан дополнительный член в правой части последнего равенства с его невыполнимостью в натуральных числах, пока неизвестно.