Геометрическая вероятность

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Mihr]

То есть, положение точек Вы задаёте длинами дуг, концами которых эти точки являются? Можно, конечно, и так. Но не лучше ли взять лишь угловые величины этих дуг? Хотя бы, чтобы не таскать множитель $r$ - он нам совершенно ни к чему.
Итак, как я понял, Вы всё-таки предпочитаете квадрат в качестве пространства элементарных исходов. Хорошо, пусть будет квадрат. Теперь ключевой момент задачи. Давайте подумаем, какому условию должны удовлетворять координаты точки этого квадрата, чтобы эта точка соответствовала прямоугольному треугольнику, вписанному в окружность. Что скажете?

[Urcaserem]

Да , на этот вопрос я не отвечу..
Тогда просто от $0$ до $2 \pi$
??

[Mihr]

Urcaserem в сообщении #1433301 писал(а):

Да , на этот вопрос я не отвечу..

Почему же? Это совсем не сложно. Давайте рассуждать вместе.
Вы помните теорему о величине вписанного угла? Надеюсь, помните. Давайте её используем. Итак, один из углов, вписанных в окружность, - прямой. Какова угловая величина дуги, на которую он опирается?

[Urcaserem]

Mihr
В два раза больше, т.е. 180 градусов

[Mihr]

Ну вот. Значит, надо по очереди каждую из трёх дуг приравнять к $\pi$. Получаем совокупность трёх равенств... Каких именно?

-- 03.01.2020, 19:58 --

Интересно, а зачем нам совместность событий? Разве в треугольнике бывает больше одного прямого угла? Очевидно, события и должны быть несовместны в данном случае. Что Вас смущает?

Urcaserem в сообщении #1433305 писал(а):

Дуга AC $=$ $\pi$ и дуги AB и BC должны лежать в пределах от 0 до $\frac{\pi}{2}$ ?

Я думаю, Вы бы не путались, если бы аккуратно всё обозначали и записывали.
Давайте проговорим вместе.
Пусть точка $A$ - начало отсчёта. Её координата равна $0$.
Пусть координаты точек $B,C$ - это $x,y$ соответственно. Тогда одно из трёх: либо $x=\pi$ либо $y=\pi$ либо $|x-y|=\pi$, не так ли?
Осталось понять, какую область задают эти равенства в пространстве элементарных событий, какова мера этой области. Это уже практически конец задачи. Постарайтесь завершить сами: это совсем не сложно.

-- 03.01.2020, 20:06 --

Я так понял, Вы удалили свой пост, пока я писал ответ. Лучше так не делайте, а если у Вас появились новые мысли во время ожидания ответа, просто дописывайте их, коли считаете нужным.

[Urcaserem]

Квадрат со стороной $\pi$
А мера - площадь?

-- 03.01.2020, 20:23 --

Mihr
Да, я нечаянно, с телефона сижу, неочень удобно

[Mihr]

Urcaserem, Вы ведь сами писали

Urcaserem в сообщении #1433288 писал(а):

Возможные исходы
$0 < x,y \leqslant 2\pi r$

После чего я предложил отбросить $r$. Таким образом, у нас
$0 < x,y \leqslant 2\pi$
Очевидно, эта область - квадрат со стороной $2\pi$, а не $\pi$.
Да, мерой плоской области, конечно же, является площадь.
Вы нарисовали внутри квадрата ту подобласть, которая определяется указанной выше совокупностью уравнений? Какова мера (площадь) этой подобласти?

[Urcaserem]

Mihr
Если бы это были неравенства, было бы проще...
Там был бы $ x $ либо больше $\pi$ либо меньше и видна часть плоскости , которая нам нужна
Либо ниже или выше прямых $y= x+\pi$
А тут непонятно....

[Mihr]

Urcaserem,
а что тут непонятного? Линейные неравенства задавали бы полуплоскости, которые в случае пересечения с квадратом выделяли бы его часть. А у нас вместо неравенств - уравнения. Уравнения прямых на плоскости. Эти прямые, пересекаясь с квадратом, выделяют из него четыре отрезка. Какова (плоская) мера каждого из этих отрезков? Какова общая мера всех четырёх отрезков? Какова вероятность того, что получится именно прямоугольный треугольник (не остро- и не тупоугольный)?

[Urcaserem]

$\pi+\pi+\sqrt{2}\times \pi+\sqrt{2}\times\pi$ это удовлетворяющее
$4\times\pi^2$ это общее
??
И их поделить

[Mihr]

Urcaserem, ну что Вы, в самом деле? Мы ведь договорились, что речь идёт о плоской мере, сиречь, о площади. Я Вас не спрашивал о длине отрезков. Я Вас спросил: какую площадь покрывают эти отрезки?

[Urcaserem]

Mihr
Извините, нулевую

[Mihr]

Замечательно. Итак, чему равно отношение площади, покрытой четырьмя отрезками, к площади всего квадрата?

[Urcaserem]

Mihr
Нулю!)