2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Экстремали функционала
Сообщение24.12.2019, 00:26 


23/12/19
28
Добрый день, есть такое задание:

Найдите экстремали следующих функционалов: $J(y)=\int_{1}^{3}y\sqrt{y'}dx ; $y(1)=2, y(3)=8$
Мои шаги решения:
1) Функция $F=y\sqrt{y'}$ зависит только от $y, y'$ и не зависит от $x$, поэтому интеграл уравнения Эйлера будет выглядеть так:
$F-y'F'_{y'}=C$
2) Найдем производную $F'_{y'}$.
$F'_{y'}=(y\sqrt{y'})'=y'\sqrt{y'}+y(\sqrt{y'})'=y'\sqrt{y'}+y(\frac {1} {2\sqrt{y'}})=\frac {y} {2\sqrt{y'}} + y'\sqrt{y'}$
3) Подставим найденное значение в интеграл уравнения Эйлера(1):
$y\sqrt{y'}+y'(\frac{y}{2\sqrt{y'}} + y'\sqrt{y'})=C$
4) Решая данное уравнение получим(опустил подсчеты для экономии места):
$ \sqrt{y'} (\frac{y}{2}+(y')^2) =C $

А вот дальше у меня не получается, не знаю, как продолжить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремали функционала
Сообщение24.12.2019, 00:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Производная в п. 2 найдена неверно (похоже, вы не понимаете смысла записи первого интеграла УЭЛ).

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремали функционала
Сообщение24.12.2019, 01:11 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 !  Azusa_Nakano, а еще обратите внимание, как набираются корни и дроби (выше я поправил ваши неудачные попытки). Это необходимо, иначе прочитать набранное будет малореально.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремали функционала
Сообщение24.12.2019, 01:12 


23/12/19
28
Brukvalub в сообщении #1431735 писал(а):
Производная в п. 2 найдена неверно (похоже, вы не понимаете смысла записи первого интеграла УЭЛ).

Хорошо, а как тогда выглядит верная производная?

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремали функционала
Сообщение24.12.2019, 03:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1439
Антарктика
Azusa_Nakano
Обратите внимание, что запись $F'_{y'}$ означает дифференцирование по переменной $y'$, как если бы она была независимой. Можете вместо $y'$ временно использовать другую букву, скажем $t$, если так будет удобнее. Выше же Вы дифференцируете по $x$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремали функционала
Сообщение24.12.2019, 05:01 


23/12/19
28
thething в сообщении #1431751 писал(а):
Azusa_Nakano
Обратите внимание, что запись $F'_{y'}$ означает дифференцирование по переменной $y'$, как если бы она была независимой.


Вроде исправился, получается так:
$F_y'=(y\sqrt y')'=y\frac{1}{2\sqrt y'}$

Тогда:
$y\sqrt y' - y' y\frac{1}{2\sqrt y'} = C $

Но я все равно с трудом понмаю, что делать дальше

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремали функционала
Сообщение24.12.2019, 05:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1439
Антарктика
Azusa_Nakano в сообщении #1431755 писал(а):
Но я все равно с трудом понмаю, что делать дальше

Упрощать и решать получившийся дифур. Он же элементарный.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремали функционала
Сообщение24.12.2019, 05:34 


23/12/19
28
thething в сообщении #1431756 писал(а):
Упрощать и решать получившийся дифур. Он же элементарный.

Получил $y=\frac{2C}{\sqrt y'}$, правильно?
И как дальше искать экстремали функционала?

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремали функционала
Сообщение24.12.2019, 07:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Ещё раз воспользоваться советом:
thething в сообщении #1431756 писал(а):
Упрощать и решать получившийся дифур. Он же элементарный.


Пожалуйста, не путайте $\sqrt y'$ и $\sqrt{y'}$. Последнее кодируется так: \sqrt{y'}

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремали функционала
Сообщение25.12.2019, 00:05 


23/12/19
28
Я конечно все понимаю, но я не знаю как дальше упрощать вот это:
$y=\frac{2C}{\sqrt{y'}}$
И правильно ли вообще найдена производная?
А еще что делать с $C$, понятно что это константа, но на каком этапе она превращается в $C_1$ и $C_2$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремали функционала
Сообщение25.12.2019, 00:15 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
Azusa_Nakano в сообщении #1431828 писал(а):
Я конечно все понимаю, но я не знаю как дальше упрощать вот это
Для начала возведите обе части равенства в квадрат, а потом перенесите $y'$ влево, а все остальное - вправо. Посмотрите на получившееся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремали функционала
Сообщение25.12.2019, 00:53 


23/12/19
28
Pphantom в сообщении #1431831 писал(а):
Для начала возведите обе части равенства в квадрат, а потом перенесите $y'$ влево, а все остальное - вправо. Посмотрите на получившееся.

Получается такое: $y'=\frac{4C^2}{y^2}$
Дальше наверное нужно искать первообразную, но что делать с $C$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремали функционала
Сообщение25.12.2019, 01:08 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
Azusa_Nakano в сообщении #1431838 писал(а):
Дальше наверное нужно искать первообразную
Дальше нужно решать уравнение с разделяющимися переменными.
Azusa_Nakano в сообщении #1431838 писал(а):
но что делать с $C$?
Ничего. Это константа, которая так и останется. Можете, если так комфортнее, переименовать ее в $C_1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремали функционала
Сообщение25.12.2019, 02:15 


23/12/19
28
Pphantom в сообщении #1431839 писал(а):
Дальше нужно решать уравнение с разделяющимися переменными.

А как оно должно выглядеть?

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремали функционала
Сообщение25.12.2019, 03:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
10078
Azusa_Nakano в сообщении #1431846 писал(а):
А как оно должно выглядеть?
Ваш преподаватель категорически запретил пользоваться учебниками и/или интернетом?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 29 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Ivan 09


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group