2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Экстремали функционала
Сообщение25.12.2019, 03:41 


23/12/19
28
Dan B-Yallay в сообщении #1431850 писал(а):
Azusa_Nakano в сообщении #1431846 писал(а):
А как оно должно выглядеть?
Ваш преподаватель категорически запретил пользоваться учебниками и/или интернетом?

Я понимаю что нужно разделить уравнение на 2 функции, но не знаю на какие.

upd: почитал литературу, сейчас ход мыслей такой:
1. Имеем данное уравнение: $y'=\frac{4C^2}{y^2}$
2. Записываем $y'$ как $\frac{dy}{dx}$
3. Подставляя в (1), получаем: $\frac{dy}{dx}=\frac{4C^2}{y^2}$
3.1 Вопрос, можно ли вместо $4C^2$ написать просто $C_1$, ведь по сути это все равно число.
4. Интегрируем обе части: $\int y^2 dy = 4C^2 dx$
5. Получаем: $\frac{y^3}{3}=4C^2 x$

Правильно ли? И что делать после?

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремали функционала
Сообщение25.12.2019, 04:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
10078
Azusa_Nakano в сообщении #1431851 писал(а):
Я понимаю что нужно разделить уравнение на 2 функции, но не знаю на какие.
По моему термин "разделяющиеся переменные" говорит сам за себя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремали функционала
Сообщение25.12.2019, 04:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
30/12/24
12599
Azusa_Nakano
Как ещё можно записать $y'(x)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремали функционала
Сообщение25.12.2019, 04:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1439
Антарктика
Azusa_Nakano
Вы же не из вакуума досюда дошли, в самом деле!
У Вас перед курсом вариационного исчисления должен был быть обязательный курс дифференциальных уравнений. В котором данный тип уравнений рассматривается в первую очередь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремали функционала
Сообщение25.12.2019, 05:00 


20/03/14
12041
Azusa_Nakano в сообщении #1431851 писал(а):
Я понимаю что нужно разделить уравнение на 2 функции, но не знаю на какие.

Откройте Филиппова/любой другой учебник/задачник по ОДУ.
До ликвидации пробелов в этой части тема побудет в Карантине.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение25.12.2019, 05:01 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:


- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение25.12.2019, 18:26 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремали функционала
Сообщение25.12.2019, 18:31 
Аватара пользователя


07/01/15
1233
Azusa_Nakano, плюс-вторая-константа должна появиться при интегрировании.
Ответ на вопрос 3-1: да, можно опускать лишние множители-константы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремали функционала
Сообщение25.12.2019, 19:06 


23/12/19
28
Azusa_Nakano в сообщении #1431851 писал(а):
Dan B-Yallay в сообщении #1431850 писал(а):
Azusa_Nakano в сообщении #1431846 писал(а):
А как оно должно выглядеть?
Ваш преподаватель категорически запретил пользоваться учебниками и/или интернетом?

Я понимаю что нужно разделить уравнение на 2 функции, но не знаю на какие.

upd: почитал литературу, сейчас ход мыслей такой:
1. Имеем данное уравнение: $y'=\frac{4C^2}{y^2}$
2. Записываем $y'$ как $\frac{dy}{dx}$
3. Подставляя в (1), получаем: $\frac{dy}{dx}=\frac{4C^2}{y^2}$
3.1 Вопрос, можно ли вместо $4C^2$ написать просто $C_1$, ведь по сути это все равно число.
4. Интегрируем обе части: $\int y^2 dy = 4C^2 dx$
5. Получаем: $\frac{y^3}{3}=4C^2 x$

Правильно ли? И что делать после?


В общем решая $\frac{y^3}{3}=C_1^2 x$ после подстановки из условия $y(1)=2$ и $y(3)=8$ получилось $C_1=\frac{8}{3}$ и $C_2=\frac{8}{9}$

SomePupil в сообщении #1431897 писал(а):
Azusa_Nakano, плюс-вторая-константа должна появиться при интегрировании.

А можно прям пальцем ткнуть туда, где не хватает второй константы? По таблицам вроде ни справа, ни слева новая $C$ нигде не вылазит

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремали функционала
Сообщение25.12.2019, 19:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Azusa_Nakano в сообщении #1431851 писал(а):
3.1 Вопрос, можно ли вместо $4C^2$ написать просто $C_1$, ведь по сути это все равно число.
Я чуть уточню: да, если Вы не будете забывать, что оно неотрицательное.
Azusa_Nakano в сообщении #1431903 писал(а):
В общем решая $\frac{y^3}{3}=C_1^2 x$ после подстановки из условия $y(1)=2$ и $y(3)=8$ получилось $C_1=\frac{8}{3}$ и $C_2=\frac{8}{9}$
Ваше $C_1$ не может меняться от одного условия к другому. Меняя её, Вы отбрасываете одно решение и заменяете его другим, что недопустимо. А нужно, чтобы одно решение удовлетворяло всем условиям сразу.

Но Вы не сможете найти такое $C_1$, при котором выполняются все граничные условия: Вы получите противоречие (собственно, уже получили). Это противоречие и показывает, что констант у Вас недостаточно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремали функционала
Сообщение25.12.2019, 19:52 


23/12/19
28
Вроде решил, но не выполняется условие $C_3\geqslant0$:
1) $\frac{y^3}{3}+C_1=4C^2 x+C_2$
2) $\frac{y^3}{3}=4C^2 x+C_2-C_1$
3) Заменяем $4C^2$ на $C_3, C_3\geqslant0$ и $C_2-C_1$ на $C_4$
4) Получим: $\frac{y^3}{3}=C_3 x+C_4$
5) Подставим $y(1)=2$ и $y(3)=8$ и составим систему уравнений.
5.1) $2^3=3(C_3 1 + C_4)$
5.2) $8^3=3(C_3 3 + C_4)$
6) В ходе решения получим: $C_4=\frac{55}{3}$ $C_3=-\frac{47}{3}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремали функционала
Сообщение25.12.2019, 20:05 
Аватара пользователя


11/12/16
14040
уездный город Н
Вычтем 5.1 из 5.2 получается:

$8^3 - 2^3 = 3 \cdot 2 \cdot C_3$
Как у Вас $C_3$ получилось меньше нуля - загадка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремали функционала
Сообщение25.12.2019, 20:21 


23/12/19
28
Пересчитал, теперь вроде все сходится

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремали функционала
Сообщение25.12.2019, 23:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Можете показать, что получилось?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 29 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: drzewo, YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group