2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Экстремали функционала
Сообщение24.12.2019, 00:26 


23/12/19
28
Добрый день, есть такое задание:

Найдите экстремали следующих функционалов: $J(y)=\int_{1}^{3}y\sqrt{y'}dx ; $y(1)=2, y(3)=8$
Мои шаги решения:
1) Функция $F=y\sqrt{y'}$ зависит только от $y, y'$ и не зависит от $x$, поэтому интеграл уравнения Эйлера будет выглядеть так:
$F-y'F'_{y'}=C$
2) Найдем производную $F'_{y'}$.
$F'_{y'}=(y\sqrt{y'})'=y'\sqrt{y'}+y(\sqrt{y'})'=y'\sqrt{y'}+y(\frac {1} {2\sqrt{y'}})=\frac {y} {2\sqrt{y'}} + y'\sqrt{y'}$
3) Подставим найденное значение в интеграл уравнения Эйлера(1):
$y\sqrt{y'}+y'(\frac{y}{2\sqrt{y'}} + y'\sqrt{y'})=C$
4) Решая данное уравнение получим(опустил подсчеты для экономии места):
$ \sqrt{y'} (\frac{y}{2}+(y')^2) =C $

А вот дальше у меня не получается, не знаю, как продолжить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремали функционала
Сообщение24.12.2019, 00:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Производная в п. 2 найдена неверно (похоже, вы не понимаете смысла записи первого интеграла УЭЛ).

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремали функционала
Сообщение24.12.2019, 01:11 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 !  Azusa_Nakano, а еще обратите внимание, как набираются корни и дроби (выше я поправил ваши неудачные попытки). Это необходимо, иначе прочитать набранное будет малореально.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремали функционала
Сообщение24.12.2019, 01:12 


23/12/19
28
Brukvalub в сообщении #1431735 писал(а):
Производная в п. 2 найдена неверно (похоже, вы не понимаете смысла записи первого интеграла УЭЛ).

Хорошо, а как тогда выглядит верная производная?

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремали функционала
Сообщение24.12.2019, 03:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1439
Антарктика
Azusa_Nakano
Обратите внимание, что запись $F'_{y'}$ означает дифференцирование по переменной $y'$, как если бы она была независимой. Можете вместо $y'$ временно использовать другую букву, скажем $t$, если так будет удобнее. Выше же Вы дифференцируете по $x$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремали функционала
Сообщение24.12.2019, 05:01 


23/12/19
28
thething в сообщении #1431751 писал(а):
Azusa_Nakano
Обратите внимание, что запись $F'_{y'}$ означает дифференцирование по переменной $y'$, как если бы она была независимой.


Вроде исправился, получается так:
$F_y'=(y\sqrt y')'=y\frac{1}{2\sqrt y'}$

Тогда:
$y\sqrt y' - y' y\frac{1}{2\sqrt y'} = C $

Но я все равно с трудом понмаю, что делать дальше

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремали функционала
Сообщение24.12.2019, 05:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1439
Антарктика
Azusa_Nakano в сообщении #1431755 писал(а):
Но я все равно с трудом понмаю, что делать дальше

Упрощать и решать получившийся дифур. Он же элементарный.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремали функционала
Сообщение24.12.2019, 05:34 


23/12/19
28
thething в сообщении #1431756 писал(а):
Упрощать и решать получившийся дифур. Он же элементарный.

Получил $y=\frac{2C}{\sqrt y'}$, правильно?
И как дальше искать экстремали функционала?

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремали функционала
Сообщение24.12.2019, 07:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
Ещё раз воспользоваться советом:
thething в сообщении #1431756 писал(а):
Упрощать и решать получившийся дифур. Он же элементарный.


Пожалуйста, не путайте $\sqrt y'$ и $\sqrt{y'}$. Последнее кодируется так: \sqrt{y'}

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремали функционала
Сообщение25.12.2019, 00:05 


23/12/19
28
Я конечно все понимаю, но я не знаю как дальше упрощать вот это:
$y=\frac{2C}{\sqrt{y'}}$
И правильно ли вообще найдена производная?
А еще что делать с $C$, понятно что это константа, но на каком этапе она превращается в $C_1$ и $C_2$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремали функционала
Сообщение25.12.2019, 00:15 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
Azusa_Nakano в сообщении #1431828 писал(а):
Я конечно все понимаю, но я не знаю как дальше упрощать вот это
Для начала возведите обе части равенства в квадрат, а потом перенесите $y'$ влево, а все остальное - вправо. Посмотрите на получившееся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремали функционала
Сообщение25.12.2019, 00:53 


23/12/19
28
Pphantom в сообщении #1431831 писал(а):
Для начала возведите обе части равенства в квадрат, а потом перенесите $y'$ влево, а все остальное - вправо. Посмотрите на получившееся.

Получается такое: $y'=\frac{4C^2}{y^2}$
Дальше наверное нужно искать первообразную, но что делать с $C$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремали функционала
Сообщение25.12.2019, 01:08 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
Azusa_Nakano в сообщении #1431838 писал(а):
Дальше наверное нужно искать первообразную
Дальше нужно решать уравнение с разделяющимися переменными.
Azusa_Nakano в сообщении #1431838 писал(а):
но что делать с $C$?
Ничего. Это константа, которая так и останется. Можете, если так комфортнее, переименовать ее в $C_1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремали функционала
Сообщение25.12.2019, 02:15 


23/12/19
28
Pphantom в сообщении #1431839 писал(а):
Дальше нужно решать уравнение с разделяющимися переменными.

А как оно должно выглядеть?

 Профиль  
                  
 
 Re: Экстремали функционала
Сообщение25.12.2019, 03:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
10078
Azusa_Nakano в сообщении #1431846 писал(а):
А как оно должно выглядеть?
Ваш преподаватель категорически запретил пользоваться учебниками и/или интернетом?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 29 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group