Экстремали функционала

[Azusa_Nakano]

Добрый день, есть такое задание:

Найдите экстремали следующих функционалов: $J(y)=\int_{1}^{3}y\sqrt{y'}dx ; $y(1)=2, y(3)=8$
Мои шаги решения:
1) Функция $F=y\sqrt{y'}$ зависит только от $y, y'$ и не зависит от $x$, поэтому интеграл уравнения Эйлера будет выглядеть так:
$F-y'F'_{y'}=C$
2) Найдем производную $F'_{y'}$.
$F'_{y'}=(y\sqrt{y'})'=y'\sqrt{y'}+y(\sqrt{y'})'=y'\sqrt{y'}+y(\frac {1} {2\sqrt{y'}})=\frac {y} {2\sqrt{y'}} + y'\sqrt{y'}$
3) Подставим найденное значение в интеграл уравнения Эйлера(1):
$y\sqrt{y'}+y'(\frac{y}{2\sqrt{y'}} + y'\sqrt{y'})=C$
4) Решая данное уравнение получим(опустил подсчеты для экономии места):
$ \sqrt{y'} (\frac{y}{2}+(y')^2) =C $

А вот дальше у меня не получается, не знаю, как продолжить.

[Brukvalub]

Производная в п. 2 найдена неверно (похоже, вы не понимаете смысла записи первого интеграла УЭЛ).

[Pphantom]

Azusa_Nakano, а еще обратите внимание, как набираются корни и дроби (выше я поправил ваши неудачные попытки). Это необходимо, иначе прочитать набранное будет малореально.

[Azusa_Nakano]

Brukvalub в сообщении #1431735 писал(а):

Производная в п. 2 найдена неверно (похоже, вы не понимаете смысла записи первого интеграла УЭЛ).

Хорошо, а как тогда выглядит верная производная?

[thething]

Azusa_Nakano
Обратите внимание, что запись $F'_{y'}$ означает дифференцирование по переменной $y'$, как если бы она была независимой. Можете вместо $y'$ временно использовать другую букву, скажем $t$, если так будет удобнее. Выше же Вы дифференцируете по $x$.

[Azusa_Nakano]

thething в сообщении #1431751 писал(а):

Azusa_Nakano
Обратите внимание, что запись $F'_{y'}$ означает дифференцирование по переменной $y'$, как если бы она была независимой.

Вроде исправился, получается так:
$F_y'=(y\sqrt y')'=y\frac{1}{2\sqrt y'}$

Тогда:
$y\sqrt y' - y' y\frac{1}{2\sqrt y'} = C $

Но я все равно с трудом понмаю, что делать дальше

[thething]

Azusa_Nakano в сообщении #1431755 писал(а):

Но я все равно с трудом понмаю, что делать дальше

Упрощать и решать получившийся дифур. Он же элементарный.

[Azusa_Nakano]

thething в сообщении #1431756 писал(а):

Упрощать и решать получившийся дифур. Он же элементарный.

Получил $y=\frac{2C}{\sqrt y'}$, правильно?
И как дальше искать экстремали функционала?

[svv]

Ещё раз воспользоваться советом:

thething в сообщении #1431756 писал(а):

Упрощать и решать получившийся дифур. Он же элементарный.

Пожалуйста, не путайте $\sqrt y'$ и $\sqrt{y'}$. Последнее кодируется так: \sqrt{y'}

[Azusa_Nakano]

Я конечно все понимаю, но я не знаю как дальше упрощать вот это:
$y=\frac{2C}{\sqrt{y'}}$
И правильно ли вообще найдена производная?
А еще что делать с $C$, понятно что это константа, но на каком этапе она превращается в $C_1$ и $C_2$ ?

[Pphantom]

Azusa_Nakano в сообщении #1431828 писал(а):

Я конечно все понимаю, но я не знаю как дальше упрощать вот это

Для начала возведите обе части равенства в квадрат, а потом перенесите $y'$ влево, а все остальное - вправо. Посмотрите на получившееся.

[Azusa_Nakano]

Pphantom в сообщении #1431831 писал(а):

Для начала возведите обе части равенства в квадрат, а потом перенесите $y'$ влево, а все остальное - вправо. Посмотрите на получившееся.

Получается такое: $y'=\frac{4C^2}{y^2}$
Дальше наверное нужно искать первообразную, но что делать с $C$?

[Pphantom]

Azusa_Nakano в сообщении #1431838 писал(а):

Дальше наверное нужно искать первообразную

Дальше нужно решать уравнение с разделяющимися переменными.

Azusa_Nakano в сообщении #1431838 писал(а):

но что делать с $C$?

Ничего. Это константа, которая так и останется. Можете, если так комфортнее, переименовать ее в $C_1$.

[Azusa_Nakano]

Pphantom в сообщении #1431839 писал(а):

Дальше нужно решать уравнение с разделяющимися переменными.

А как оно должно выглядеть?

[Dan B-Yallay]

Azusa_Nakano в сообщении #1431846 писал(а):

А как оно должно выглядеть?

Ваш преподаватель категорически запретил пользоваться учебниками и/или интернетом?