Ненатуральные(безначальные)числа и проблема континуума

[Профессор Снэйп]

Да, не перевелись на Руси опровергатели Кантора. Вот уж воистину: что немцу хорошо, то русскому смерть!

[А.Связной]

AD:

Цитата:

А тут вы типа путаете понятия "элемент" и "подмножество". То есть символы и . Ваше гипотетическое "множество всех конечных множеств" по определению содержит все конечные пожмножества в качестве элементов, а рассуждаете вы так, как будто вы говорите об "объединении всех конечных множеств".

Давайте слегка отвлечемся от психологических предубеждений, связанных с взаимосвязью терминов множество и элемент, предлагаю забавную задачку: будем называть множества корзинами, а элементы яблоками.
В бабушкиной избушке стоит две большие корзины: в первой находится еще одна корзина, а во второй – яблоко, больше в них нет ничего. Вопрос: сколько корзин и яблок в каждой ?

Someone :

Цитата:

Не понимаю я, что за аксиома рефлексивности для включения.

Обычно это называют свойством отношения «нестрого включения» (к сожалению не знаю как писать для него макрос, подскажите). Помимо рефлексивности, оно удовлетворяет транзитивности и антисимметричности.

Цитата:

…множество всех множеств, о котором со времён Рассела известно, что оно противоречиво

Рассел избавился от него своей теорией типов, там есть интересная аксиома редукции, которая не всегда выполняется для множеств следующего уровня абстракции.

Надеюсь Вы обладаете здоровым чувством юмора – я приведу ответы на задачку для AD про корзинки и яблоки.
Ответ прост: в первой корзине есть только одна корзинка и нет яблок, во второй – есть только одно яблоко и нет корзин

P.S:
У бабушки есть прилежный внучек, он говорит, что первая корзинка естественно пуста, т.к. в ней только 1 корзинка, а второй корзины и вовсе нет. Бабушка строго наказала хранить каждое яблочко минимум в двух корзинках – чтобы не украли, и ни в коем случае не оставлять ни одну корзинку без другой.

Правда у бабушки была непутевая внучка. Достала она как-то из чулана большую корзину, в которой ничего не было, взяла с печки кучу бабушкиных корзин, в каждой из которых были другие корзинки и пошла в сад за яблоками. Собрала яблоки и, нарушив бабушкин наказ, положила каждое в отдельную корзинку – благо бабушкиных корзинок там было больше чем яблок, а потом, взяла да сложила их в большую корзину.

К слову сказать, у бабушки была соседка, та вообще каждое яблочко хранила в трех корзинках, не меньше, и никогда не оставляла ни одной корзинки, в которой не было бы еще как минимум двух корзинок – про запас.

[Someone]

А.Связной в сообщении #143167 писал(а):

Обычно это называют свойством отношения «нестрого включения» (к сожалению не знаю как писать для него макрос, подскажите). Помимо рефлексивности, оно удовлетворяет транзитивности и антисимметричности.

Ах, Вы имеете в виду свойство $X\subseteq X$? И что с ним не так? По определению символа $\subseteq$ таким свойством обладает каждое множество.

А бредятину про корзины и яблоки Вы к чему написали?

[А.Связной]

Цитата:

А бредятину про корзины и яблоки Вы к чему написали?

Вы вновь радуете меня новыми эпитетами: враки, бред, абракадабра, теперь бредятина.
На соседнем топике некоторые господа ТАКУЮ ахинею несут про природу векторов, (действительно: «О, Боги…») – и ничего. Однако, постараюсь не дать Вам повода изменить себе и сочиню еще что-нибудь эдакое.

Написал я ее по ряду причин. Во-первых, это забавно, Вам не смешно ? Жаль…
Во-вторых, я хотел на простом и наглядном примере затронуть некоторые вопросы, например, о причинах по которым в основании булеана стоит именно двойка, почему в теории множеств избавились от элементов и на что могут быть похожи нерефлексивные множества.

Причина по которой в основании булеана стоит двойка – это двузначность логики. Если бы теорию множеств строили на неклассической логике (а такие имеются), например, трехзначной, – в основании булеана стояла бы тройка, правда я пока не сообразил как именно изменится натуральный ряд и арифметика на нем. Но, например, возможно, что те множества, которые в классической теории множеств не являются множествами всех подмножеств некоторого множества (например, трехэлементное множество) могут оказаться таковыми, а посему в какой-то из логик вполне возможно найдется множество, множество всех подмножеств которого равно N0.

Что касается избавления от элементов. На примере с корзинами и яблоками отчетливо видно, как можно разрушить их соотношение. Если оставаться на позиции, что каждому подмножеству множества всех подмножеств какого-либо множества соответствует некоторый элемент, что имеет место на натуральном ряду, то этап индукции завершить не удастся. Когда же произносятся волшебные слова: «все элементы в теории множеств – это множества», тут же попадаешь в «зазеркалье», где подмножеству некоторого множества вовсе не обязательно искать элемент. Теперь не надо отвечать на вопросы типа, а какому элементу (натуральному или иному числу) соответствует мощность некоторого подмножества множества всех множеств бесконечного счетного множества. И чихать можно на любые доводы, с этапа индукции, где еще можно сыграть на дихотомии элемента и множества.

Что касается логической общезначимости свойства рефлексивности «нестрого включения» (к сожалению Вы не скопировали мне строчку макроса для его изображения).

Цитата:

Ах, Вы имеете в виду свойство ? И что с ним не так? По определению символа таким свойством обладает каждое множество.

С ним все так. Я пытаюсь рассмотреть следствия отказа от свойства рефлексивности для этого отношения. Счастье теории множеств, что сейчас просто не могут возникнуть вопросы, так сказать, с той стороны, типа: достоверно известно, что множество всех подмножеств Планковских квантов времени существования Вселенной эквивалентно множеству всех подмножеств квантов энергии в ней, математикам предложено определить равны эти множества или одно «строго включает» другое ?
Иначе говоря, дать оценку возраста Вселенной.
Данные получают эмпирически из конечного, поэтому множества формируют снизу и сразу ясно конечно оно или нет, а отсюда и вопросами типа этого практики не беспокоят теоретиков.

Но я пока, по тихой грусти, буду писать свою «бредятину».
Вот например, в теории множеств для описания инвариантных свойств и отношений множеств используют именно отношение «нестрого включения» (ну где же макрос), по той же причине, по которой избавились от элементов.
Для конечных множеств всегда ясно (А xor B) (исключенное «или») – либо подмножество «строго принадлежит» множеству (является его элементом), либо строго ему равно, третьего не дано. Избавившись от элементов их описывают также, как бесконечные множества : (А or B) (не исключенное «или») – с условием неопределенности, из-за необходимости ввести отношение эквивалентности, потому что в реальной задаче, информация о том, конечно или бесконечно произвольное множество почерпывается не из теории, а вводится в нее извне, как данность. Если же в реальной задаче известно об эквивалентности множеств это абсолютно ничего не говорит о том, равны эти множества или одно "строго принадлежит" другому. Для конечных множеств такая ситуация просто не может возникнуть.

Вся моя, как Вы выражаетесь "бредятина", направлена вовсе не на то, чтобы мутить умы и сеять смуту, а является лиш попыткой каким-то способом в несколько иной теории избавится от таких неопределенностей, конечно не без ущерба: некоторое из того, что определено в теории множеств станет неопределенным.

Пока же давайте все же вернемся к этапу индукции, предлагаю задачу:

«Литлвуд против Кантора»

Шары, занумерованные числами 1,2,... кладутся в безразмерный ящик. Действия осуществляются одновременно в моменты времени: 1).1/2, 2).1/3, 3).1/4 … и т.д. минуты до полудня.
В эти моменты в ящик кладут $2^n$ шаров и вынимают шар n.
Сколько шаров останется в ящике в полдень?

[epros]

Someone писал(а):

Множество всех конечных множеств действительно противоречиво. Чтобы не возиться с деталями, я это покажу в рамках ZFC, где все объекты являются множествами.

Пусть $X$ - множество всех конечных множеств. По аксиоме выделения, существует множество $X_1=\{x\in X:|x|=1\}$. Заметим, что для любого множества $x$ одноэлементное множество $\{x\}$ принадлежит множеству $X_1$; более того, $X_1=\{\{x\}:x\text{ - множество}\}$. Но тогда $U=\bigcup X_1$ - множество всех множеств, о котором со времён Рассела известно, что оно противоречиво.

Интересно, а свойство множества "является конечным" вообще формализуется?

[Anton Nonko]

epros в сообщении #143481 писал(а):

Интересно, а свойство множества "является конечным" вообще формализуется?

$|x| < \aleph_0$

[epros]

Anton Nonko писал(а):

epros в сообщении #143481 писал(а):

Интересно, а свойство множества "является конечным" вообще формализуется?

$|x| < \aleph_0$

Это просто запись, а я имею в виду формализацию в терминах аксиоматики теории множеств. Допустим, алеф-нуль можно формализовать как минимальное индуктивное множество (или нет, я путаю с первым бесконечным ординалом?). А как формализовать запись $|x|$? И значок строгого неравенства здесь как понимать? Как существование инъекции одного множества в другое, но не биекции?

Прошу простить за глупые вопросы, но формализация понятия кардинальных чисел - это не моя стихия.

[Anton Nonko]

Я в этом тоже далеко не специалист. Мне пришло в голову такое: множество $A$ - конечно, если существует инъекция $f:A \rightarrow \aleph_0$ и $\exists \alpha \in \aleph_0 \nexists a \in A : f(a)=\alpha$

[MaximKat]

epros
Никакое его подмножество не биективно $\mathbb{N}$ - пойдет?

[epros]

MaximKat писал(а):

epros
Никакое его подмножество не биективно $\mathbb{N}$ - пойдет?

Да, это формализация свойства и именно в терминах теории множеств (ибо "биекция" и $\mathbb{N}$, как мне известно, формализуются в терминах теории множеств). Только нужно подумать, не подходит ли под это свойство что-нибудь помимо конечного множества...

[AD]

А.Связной в сообщении #143255 писал(а):

Пока же давайте все же вернемся к этапу индукции, предлагаю задачу:

МОЖЕТ НЕ НАДА А??
1 (11 страниц)
2 (пока 35 страниц)

[bot]

Угу - явно не стоит. Да и эту бредятину как ещё терпят?

[А.Связной]

AD писал(а):

А.Связной в сообщении #143255 писал(а):

Пока же давайте все же вернемся к этапу индукции, предлагаю задачу:

МОЖЕТ НЕ НАДА А??
1 (11 страниц)
2 (пока 35 страниц)

Теперь-то зачем ? По моему все ясно. Только вот до этого момента споры на указанных Вами темах заканчивались на уровне: шаров не останется, - останется бесконечно много шаров. Некоторые, видимо, сторонники «конструктивистов» говорили, что задача сформулирована некорректно, но указанные ими причины некорректности всех не устраивали, т.к. «не конструктивистам» нужны были иные причины. Теперь они найдены и есть «консенсус» – в формальной части.

bot писал(а):

Угу - явно не стоит. Да и эту бредятину как ещё терпят?

Я и говорю – уже не стоит, а бредятиной до вчерашнего дня было это (в части мнений некоторых из здесь присутствующих, так рьяно отстаивавших, что шаров не останется или что останется бесконечно много шаров):
1 (11 страниц)
2 (пока 35 страниц)[/quote]

Добавлено спустя 29 минут 40 секунд:

Кстати, все содержательные истинные формулы (аксиомы и теоремы) «конструктивистов» и аналогичные формулы «теоретиков-множественников» тоже составляют эквивалентные ( ~ ) множества, причем пересекающиеся. Так что вопрос о существовании актуальной (а не потенциально возможной) теории уровень абстракции которой позволит говорить о них как о «множествах» решается аналогично: для «конструктивистов» это должен быть некорректно сформулированный вопрос, для «не конструктивистов» это должно быть возможно.
Какой дорогой идете товарищи ?

[epros]

А.Связной, Вы случайно не автомат? А то много знакомых слов, но в осмысленные фразы не складываются. И на просьбы пояснить Вы не реагируете.

Вот последний пример: Что Вы имели в виду, когда помянули "содержательные истинные формулы"? В классической логике такое словосочетание иногда звучит. Например, первая теорема Гёделя о неполноте утверждает существование недоказуемого "содержательно истинного утверждения" (кажется, такое словосочетание употребил ещё сам Гёдель). Соответственно, некоторые пытаются различать "содержательную" истинность от доказанной. Вы об этом? Тогда второй вопрос: Где Вы нашли "содержательно истинные формулы" у конструктивистов?

[А.Связной]

epros писал(а):

А.Связной, Вы случайно не автомат? А то много знакомых слов, но в осмысленные фразы не складываются. И на просьбы пояснить Вы не реагируете.

Вот последний пример: Что Вы имели в виду, когда помянули "содержательные истинные формулы"? В классической логике такое словосочетание иногда звучит. Например, первая теорема Гёделя о неполноте утверждает существование недоказуемого "содержательно истинного утверждения" (кажется, такое словосочетание употребил ещё сам Гёдель). Соответственно, некоторые пытаются различать "содержательную" истинность от доказанной. Вы об этом? Тогда второй вопрос: Где Вы нашли "содержательно истинные формулы" у конструктивистов?

Я не автомат, но некоторые Ваши фразы тоже не всегда мне понятны.
Простите, что не ответил сразу на Ваш вопрос в теме "В защиту Литлвуда"
epros писал(а):

Цитата:

Логика у конструктивистов не "двузначная".

Цитата:

А.Связной писал(а):
Простите, забыл определить строго ли принадлежит "двузначность" "однозначности".

Цитата:

Я не понял.

Вы тоже не определили, что значит не "двузначная". Думаю, это не менее туманно, чем мой ответ.
Если логика "однозначная", то все высказывания такой логики имеют одну модальность, а потому истина не отличима от лжи.

Я сказал, что забыл определить, строго ли принадлежит "двузначность" "однозначности", потому, что, как я понимаю, с точки зрения конструктивистов вопрос о существовании множества всех высказываний, имеющих одну модальность некорректен.
С другой точки зрения это вполне возможно. "Двузначность" не может строго принадлежать "однозначности", если последнее множество пусто, а первое нет, если же эти множества не пусты, то "двузначность" вполне может строго или не строго принадлежать "однозначности". Я придерживаюь мнения, что однозначные высказывания (имеющие одну модальность) существуют - мы же говорим, про некоторые высказывания, что они противоречивы - это же не делает их несуществующими ? А вот с вопросом об эквивалентности "двузначности" и "однозначности" я еще не определеился. Поэтому и сказал, что забыл определить: строго ли принадлежит "двузначность" "однозначности", т.к. это зависит от того, на сколько они содержательно конечны или бесконечны.

Теперь насчет Вашего вопроса о Геделе и "содержательно истинном утверждении", которое я нашел у "конструктивистов".
Я полагаю, что конструктивисты, так же, как и теоретики-множественники, опираются на аксиомы, выводят из них теоремы ? не такли ?
Так вот это - формальная система, она может быть противоречивой, не противоречивой, разной. Внутри любой такой системы смысла нет. Содержание ее формулам (высказываниям) можно придать лишь из вне - из другой формальной (или неформальной) системы, имеющей больше выразительных свойств. Если таковой нет - то нет и смысла вообще. По теореме Геделя любая формальная система, способная определить натуральный ряд или неполна или противоречива (из-за аксиомы индукции). Без аксиомы индукции она не категорична. Если Вы, задавая мне вопрос, где я нашел содержательно истинные утверждения у конструктивистов, хотите сказать, что у конструктивистов нет содержательно истинных утверждений, то, извините, тогда для меня они все - бессодержательны, если же Вы хотите сказать, что у "конструктивистов" нет формальной системы, например потому, что она неформальна, но есть содержательно (протистите - просто истинные) утверждения, тогда с формальной точки зрения такая неформальная система актуально противоречива, в ней нет никакого дедуктивного способа отличить истину от лжи, а потому она и представляет собой ту самую "однозначную" логику, и становится понятным, почему из нутри нее вопрос о самом ее существовании считается некорректным, а множество ее высказываний - пустым.