Ненатуральные(безначальные)числа и проблема континуума

[А.Связной]

Предположим, мы считаем натуральные числа 1,2,3…
Досчитаем ли мы до бесконечности ?
Если досчитаем, то первым бесконечным числом будет алеф-нуль – первое число, записываемое бесконечным количеством натуральных цифр, соответственно оно будет счетным. (Согласно Кантора алеф-нуль – минимальное из бесконечных чисел).

Обозначим его 1…
{Запомним – мы только что обозначили ПЕРВОЕ (МИНИМАЛЬНОЕ) бесконечное множество.}

Если к бесконечному счетному числу прибавить любое натуральное число – оно не измениться, соответственно:

0… = любому из натуральных чисел.
{все натуральные числа являются нулевым (нейтральным) элементом на множестве моих чисел.}

Если продолжить считать дальше, то базой индукции будет 1… (алеф-нуль), при этом

{сами мои числа – это множество бесконечных подмножеств алеф-нуль}

Т.к. алеф-нуль – это минимальное бесконечное множество 1…, то получается, что каждое из его последующих подмножеств не смотря на то, что эквивалентно ему, все же не равно ему – т.е. в некотором смысле больше чем 1… (алеф-нуль).

Получается ряд моих чисел:
1…,2…,3…,4…,5…. и т.д.
Отвлекаясь от интерпретации, что является нулевым элементом 0… и что является базой индукции 1…, легко понять, что ряд моих чисел являются моделью арифметики Пеано, т.е. совершенно не отличаются от обычных натуральных чисел (только формой записи), поэтому множество моих чисел

{является не противоречивым}

Согласно Кантора, все счетные подмножества эквивалентны, т.е. любое подмножество минимального из бесконечных множеств (алеф-нуль) – тоже счетно.

Однако, Кантор, рассматривая их эквивалентность, не рассматривал их порядок, а его можно ввести моими числами. Т.е. т.к. бесконечных подмножеств множества натуральных чисел счетное число – их можно пронумеровать.

Из этого следует, что:

{не смотря на то, что подмножества алеф-нуль эквивалентны, они не равны.}

Из того, что эти подмножества не равны, следует, что

{каждое следующее подмножество всегда больше предыдущего.}

Таким образом, первое МИНИМАЛЬНОЕ из бесконечных множеств 1…(алеф-нуль) - всегда меньше любого из своих подмножеств : 2…,3…,4…

Т.е. мы считает не куда-то вне, (как на натуральном ряду), а внутрь единицы - 1…(алеф-нуля), - внутри него есть подмножества и каждое из них больше чем само множество алеф-нуль (1…).

Теперь осталось проявить немного воображения.
Так как мы считаем внутрь единицы и каждое из последующих подмножеств больше предыдущего, то когда мы досчитаем на моих числах до бесконечности мы придем к нулю обычных натуральных чисел. Если считать дальше – то мы просто вернемся на натуральный ряд.

Таким образом множество всех моих чисел должно соответствовать некому числу, которое с одной стороны должно быть равно алеф-нуль, т.к. все эти множества счетны, с другой стороны не должно быть ему равно, т.к. алеф-нуль это 1…

Это кажущееся противоречие разрешимо следующим образом. Алеф-нуль (множество всех моих чисел можно представить Канторовским «с» - континуумом.)

А так как мы считали внутрь единицы, то с=0.

Т.е. несчетное множество (оно же континуум) существует так же как и пустое множество – оно ведь тоже несчетно.
Т.е. и континуум (несчетное множество Кантора) и ноль выражают суть одного и того же, просто к этому мы подходим с разных сторон.

С одной стороны во вне от единицы – когда считаем на натуральных числах, пытаясь найти последнее натуральное число, с другой стороны на действительных числах (т.е. моих числах), когда подходим к тому же считая внутрь единицы – все ближе к нулю.

Теперь, наконец и я осознал суть противоречия :
Изначально (дедуктивно) постулируется, что все возможные комбинации цифр непременно определяют все действительные числа, но некоторые из них не определяют натуральные. Это интерпретация теоремы Кантора, когда множество тех последовательностей цифр, которые не определяют ни одно натуральное число – является пустым, равно нулю.

Приведу явно как соединяются мои и натуральные числа:

0, 1…,2…,3… … 1, 1…, 2…,3… … 2, 1…, 2…,3… … когда досчитаем до бесконечности:
0…,1,2,3… … 1…,1,2,3… … 2…, 1,2,3… … 3…, все комбинации цифр учтены и сосчитаны.

Фрактальная структура.
Таким образом, каждое из подмножеств : натуральные числа и мои числа является счетными, но оба они вместе не могут быть отображены на одно из них. Таким образом несчетное множество существует и равно с одной стороны множеству натуральных чисел и множеству моих чисел вместе, с другой стороны оно равно нулю, т.к. ничего кроме моих чисел и натуральных нет – только пустота, пустое множество.

Добавлено спустя 1 час 3 минуты 5 секунд:

Вечером я уезжаю в отпуск на две недели, по возможности постараюсь заглядывать на форум, но не обещаю, надеюсь когда вернусь будет что посмотреть.
С уважением ко всем, Связной.

[ewert]

А.Связной писал(а):

, надеюсь когда вернусь будет что посмотреть.

Не надейтесь -- достаточно начать сначала, вполне достаточно:

Цитата:

первым бесконечным числом будет алеф-нуль – первое число, записываемое бесконечным количеством натуральных цифр,

И кто вам сказал, что кардиналы записываются хоть какими-то цифрами?

[Бодигрим]

А.Связной в сообщении #137801 писал(а):

Предположим, мы считаем натуральные числа 1,2,3…

Дайте определение "натурального числа".

[Лукомор]

Интересно, а зачем нужно выдумывать какие-то новые числа?
Каковы, так сказать, побудительные мотивы?
Или просто от нечего делать?

[Someone]

Лукомор в сообщении #137853 писал(а):

Каковы, так сказать, побудительные мотивы?

Автору хочется "занумеровать" ими действительные числа.
Он, видимо, не понимает, что при доказательстве счётности нумеровать требуется "обычными", "стандартными" натуральными числами, а не теми странными "числами", которые он пытается придумать. Разумеется, он краем уха слышал о кардинальных числах, но про порядковые числа он ещё не слышал, а то, что он понаписал, вызывает ассоциации именно с ними. Но только ассоциации, не более.

[m_sveznoy]

Не смог авторизоваться под старым ником с комуникатора, пришлось заново регистрироваться.
Господину Sоmeone:
Вы правы, натуральных чисел не хватит для пересчета всех действительных, это я не оспариваю.
Я просто показал, что для этого достаточно двух счетных множеств, являющихся моделями арифметики Пеано, каждое из которых изоморфно натуральному ряду.
Указанная мной фрактальная структура полностью покрывает отрезок, и задает координаты всех действительных чисел на нем. Остается только несчетное множество пустых множеств, которые не соответсвуют ни одному действительному числу.
Я ушел с топика о теореме Кантора, потому что у меня нет сомнений в ее конкретной истинности.
Просто Кантор не рассматривал случая, когда существуют два натуральных ряда.
В этом случае все диагональные числа Кантора сочтены на втором ряду, какой бы из них мы не выбрали первым - для счета.
Сам этот факт удивляет.

По поводу формального категоричного определеня натуральных чисел - его нет.

[Narn]

sveznoy в сообщении #137992 писал(а):

Я просто показал, что для этого достаточно двух счетных множеств, являющихся моделями арифметики Пеано, каждое из которых изоморфно натуральному ряду.

Значит, это и есть натуральный ряд. Аксиомы Пеано определяют его однозначно.

sveznoy в сообщении #137992 писал(а):

Остается только несчетное множество пустых множеств, которые не соответсвуют ни одному действительному числу.

sveznoy в сообщении #137992 писал(а):

По поводу формального категоричного определеня натуральных чисел - его нет.

Есть. Надеюсь, что, если я вру, знатоки меня поправят, но можно сказать, что натуральные числа - это мощности конечных множеств (не очень формальное, но все же определение). А лучше сказать, что определением натуральных чисел является аксиоматика Пеано.

[Someone]

Narn в сообщении #137995 писал(а):

Есть. Надеюсь, что, если я вру, знатоки меня поправят, но можно сказать, что натуральные числа - это мощности конечных множеств (не очень формальное, но все же определение). А лучше сказать, что определением натуральных чисел является аксиоматика Пеано.

Аксиоматика Пеано сама по себе не категорична и имеет различные "нестандартные" модели, в том числе - несчётные. Однако различить их, оставаясь в рамках арифметики Пеано, невозможно: все доказуемые утверждения никак не зависят от выбранной модели. В этой теории также нет средств определить конечные или бесконечные множества.

Для того, чтобы говорить о мощности множества, в частности, для того, чтобы сформулировать теорему Кантора о несчётности множества действительных чисел, нужно иметь не арифметику Пеано, а теорию множеств. Средствами теории множеств можно определить натуральный ряд как наименьшее множество, удовлетворяющее определённым условиям, и этот натуральный ряд удовлетворяет аксиомам Пеано. Множества, равномощные натуральным числам, называются конечными. Если в числе аксиом теории множеств есть аксиома выбора, то мощность натурального ряда оказывается наименьшей из бесконечных мощностей. Если же от аксиомы выбора отказаться, то мощности разных множеств могут оказаться несравнимыми; в частности, возможны бесконечные множества, не содержащие счётного подмножества.

sveznoy в сообщении #137992 писал(а):

Я просто показал, что для этого достаточно двух счетных множеств, являющихся моделями арифметики Пеано, каждое из которых изоморфно натуральному ряду.

Всё, что Вы сочинили, весьма непонятно. Сумма двух счётных множеств есть счётное множество, которое нумеруется обычными натуральными числами. Поэтому "нумерация" двумя натуральными рядами легко преобразуется в нумерацию одним натуральным рядом. Поскольку одним натуральным рядом занумеровать нельзя, то двумя - тоже нельзя.

[А.Связной]

Господину Someone:

Пытаюсь понять, чему равно множество, мощность всех подмножеств которого равно алеф-нуль. Допустим натуральными числами мы считаем все подмножества некоего множества, когда мы их пересчитаем, чему будет равно исходное множество или по крайне мере в каких границах оно будет находится ? Ясно, что оно не может быть равно алеф-нуль и будет меньше, если верна теорема Кантора, в таком случае оно конечно или находится в интерваое между конечно и бесконечно ?

[AD]

В таком случае его не существует, что вы и заметили. Все множества либо конечны, либо бесконечны. У всякого бесконечного множества есть счетное подмножество, и, следовательно, хотя бы континуум подмножеств.

[А.Связной]

Уважаемый, AD:
Я не совсем понял, что значит не существует ?
Может быть это множество пусто или может быть это и не множество вовсе, например, не удовлетворяет аксиоме рефлексивности ?
Вообще, каким именно аксиомам противоречит предположение о существовании множества всех конечных и только конечных множеств ?

[AD]

А.Связной писал(а):

Может быть это множество пусто

Нет, пустое множество имеет лишь конечное число подмножеств (лишь одно).
_________________

А.Связной писал(а):

может быть это и не множество вовсе, например, не удовлетворяет аксиоме рефлексивности ?

Ну из аксиом ZFC легко вывести, что такого множества не существует.
_________________

А.Связной писал(а):

Вообще, каким именно аксиомам противоречит предположение о существовании множества всех конечных и только конечных множеств ?

Фиг его знает, не думал. Ну докажите существование или непроверяемость, если вы так уверены. К чему вы об этом вообще? Выше мы говорили о гипотетическом "множестве, имеющем счетное число подмножеств". С вашей же подачи:

А.Связной писал(а):

Пытаюсь понять, чему равно множество, мощность всех подмножеств которого равно алеф-нуль.

[А.Связной]

Цитата:

А.Связной писал(а):
Вообще, каким именно аксиомам противоречит предположение о существовании множества всех конечных и только конечных множеств ?

Цитата:

Фиг его знает, не думал. Ну докажите существование или непроверяемость, если вы так уверены. К чему вы об этом вообще? Выше мы говорили о гипотетическом "множестве, имеющем счетное число подмножеств".

Доказать не могу, но и опровергнуть тоже. Да и не уверен я, помогите хоть опровергнуть.
Я это к тому, что мне кажется эти два спорных утверждения взаимосвязаны.

Предположение о существовании множества всех конечных и только конечных множеств, противоречиво:
Это множество не может быть конечным, т.к. в этом случае оно будет эквивалентно одному из своих подмножеств, что противоречит определению конечных множеств.
Это множество не может быть и не конечным тоже, т.к. если оно не эквивалентно ни одному из своих подмножеств оно должно быть конечным.

Допустим, есть множества, на которых отношение включения не рефлексивно.
Такие множества не будет ни конечными ни бесконечными.
Например, множество всех конечных и только конечных множеств – нерефлексивное множество. Его подмножествами являются конечные и только конечные множества (мощности которых соответствуют натуральным числам), но в нем нет ни одного подмножества (или натурального числа), эквивалентного самому множеству, т.к. в этом случае множество перестает быть нерефлексивным и становиться обыкновенным конечным (если есть такой элемент) или бесконечным (если есть такое подмножество) множеством.

Такого рода множество, по крайне мере логически, не противоречиво. Математически же оно не удовлетворяет аксиоме рефлексивности для отношения включения множеств и поэтому, возможно некоторым из аксиом ZFC, но я таких не нашел (поэтому и прошу поправить). На мой взгляд, такое множество просто нельзя сконструировать на основе ZFC, но из этого вовсе не следует его противоречивость.

Для нерефлексивных множеств не верна теорема Кантора о мощности всех подмножеств. Даже из определения видно, что множество всех подмножеств эквивалентно самому множеству, т.е. равно 1^n=n.

Предположим, N – нерефлексивное множество. Тогда, например, множество всех четных и только четных чисел – есть нерефлексивное множество Nч . Причем, т.к. никакое нерефлексивное множество N не содержит в себе иных подмножеств, кроме конечных, то Nч не является собственным подмножеством N (и наоборот). Можно положить, что N~Nч.

[AD]

А.Связной писал(а):

Это множество не может быть конечным, т.к. в этом случае оно будет эквивалентно одному из своих подмножеств

А.Связной писал(а):

если оно не эквивалентно ни одному из своих подмножеств оно должно быть конечным.

А тут вы типа путаете понятия "элемент" и "подмножество". То есть символы $\in$ и $\subset$. Ваше гипотетическое "множество всех конечных множеств" по определению содержит все конечные пожмножества в качестве элементов, а рассуждаете вы так, как будто вы говорите об "объединении всех конечных множеств".

[Someone]

А.Связной в сообщении #141913 писал(а):

Может быть это множество пусто или может быть это и не множество вовсе, например, не удовлетворяет аксиоме рефлексивности ?

Что за аксиома рефлексивности?

А.Связной в сообщении #142880 писал(а):

Предположение о существовании множества всех конечных и только конечных множеств, противоречиво:
Это множество не может быть конечным, т.к. в этом случае оно будет эквивалентно одному из своих подмножеств, что противоречит определению конечных множеств.
Это множество не может быть и не конечным тоже, т.к. если оно не эквивалентно ни одному из своих подмножеств оно должно быть конечным.

Абракадабра какая-то. Ничего не понял. Вообще сообщение Ваше какое-то совершенно невразумительное. Без конца упоминаются какие-то рефлексивные множества...

Множество всех конечных множеств действительно противоречиво. Чтобы не возиться с деталями, я это покажу в рамках ZFC, где все объекты являются множествами.

Пусть $X$ - множество всех конечных множеств. По аксиоме выделения, существует множество $X_1=\{x\in X:|x|=1\}$. Заметим, что для любого множества $x$ одноэлементное множество $\{x\}$ принадлежит множеству $X_1$; более того, $X_1=\{\{x\}:x\text{ - множество}\}$. Но тогда $U=\bigcup X_1$ - множество всех множеств, о котором со времён Рассела известно, что оно противоречиво.

А.Связной в сообщении #142880 писал(а):

Такого рода множество, по крайне мере логически, не противоречиво. Математически же оно не удовлетворяет аксиоме рефлексивности для отношения включения множеств

Не понимаю я, что за аксиома рефлексивности для включения. Может быть, Вы имеете в виду аксиому регулярности (фундирования), из которой следует, в частности, что $x\notin x$ для всякого множества $x$? Эта аксиома ни в какой мере не является обязательной, без неё можно обойтись (и тогда для какого-нибудь множества вполне может оказаться $x\in x$). Я не знаю ни одной ситуации, когда такие множества были бы нужны, поэтому нет смысла отказываться от аксиомы регулярности, тем более, что её отсутствие порой сильно осложняет рассуждения.