Сумма ряда

[arseniiv]

Sicker в сообщении #1431384 писал(а):

Вы меня с кем-то путаете

Это же не важно, почитайте всё равно.

[mihaild]

Sicker в сообщении #1431384 писал(а):

Ну да, так вы с ним согласны?

Я согласен с тем, что определение суммы с верхним пределом суммирования меньше нижнего, удовлетворяющее

Sicker в сообщении #1431130 писал(а):

$\sum\limits_{i=5}^3 a_i=-a_4$

- наиболее разумное.

[deep blue]

(Оффтоп)

Sicker Может и нет какого-то строго правила на этот счет, но как по мне это вариант с "душком". Попробую аргументировать почему.

Ясно что создание темы началось чуть раньше чем думы про велосипед.
Но фраза "Думая про велосипед, я создал тему" (порядок в русском языке обычно не важен так что, придерживаясь этой аксиомы, я поставил деепричастный оборот в начало) исключает такую ситуацию. Здесь действие "создал" происходит в какой-то точечный момент (иначе используется 'создавал' а не 'создал') на протяжении длительного действия 'думания' не могло произойти раньше чем думание началось. А это противоречит исходной посылке что создание темы началось чуть раньше чем думы про велосипед.

Правильно было бы сказать так:
Создавая тему, я подумал про велосипед // Здесь 'подумал' совершилось в какой-то точечный момент на протяжении длительного действия 'создавания'. То есть создавать начал раньше либо в тот самый момент как подумал.

Другой вариант:
Создавая тему, я думал про велосипед // Здесь оба действия длительные, и происходят плюс-минус одновременно. И этот плюс-минус можно указать порядком слов в предложении потому что никак больше его не укажешь. Но в предыдущих примерах порядок действий указывала "более сильная" логика чем порядок слов.

[Sicker]

(Оффтоп)

deep blue в сообщении #1431401 писал(а):

Ясно что создание темы началось чуть раньше чем думы про велосипед.

Как раз наоборот, я сначала придумал сабж темы, потом подумал что изобрел велосипед, и с этой мыслёй создал тему чтобы расставить точки над i

[deep blue]

(Оффтоп)

Sicker писал(а):

Как раз наоборот, я сначала придумал сабж темы, потом подумал что изобрел велосипед, и с этой мыслёй создал тему чтобы расставить точки над i

А придумать сабж темы это и есть начало создания темы (в широком смысле). То есть вы сначала начали её создание, потом подумали про велосипед, а потом продолжили её создание

[RIP]

Лукомор в сообщении #1431197 писал(а):

Если $\sum\limits_{i=4}^3 a_i=0$,
и $\sum\limits_{i=5}^4 a_i=0$, то и
$\sum\limits_{i=5}^3 a_i=0$

Неверно: $\sum_{i=4}^{3}a_i+\sum_{i=5}^{4}a_i=a_4+\sum_{i=5}^{3}a_i$, так что никакого противоречия не возникает.

Думаю, что в некоторых областях комбинаторики правило $\sum_{k}^{k-1}=0$, $\sum_{k}^{l-1}=-\sum_{l}^{k-1}$ является стандартным. По крайней мере, аналогичное правило с произведениями я встречал.

[Лукомор]

RIP в сообщении #1431425 писал(а):

Неверно.
$\sum_{i=4}^{3}a_i+\sum_{i=5}^{4}a_i=a_4+\sum_{i=5}^{3}a_i$

Что конкретно неверно и почему? Wolfram Alpha считает все три суммы равными нулю...

[RIP]

Лукомор в сообщении #1431429 писал(а):

Что конкретно неверно и почему?

Я так понял, что Вы использовали (формальное) равенство $\sum_{i=4}^{3}a_i+\sum_{i=5}^{4}a_i=\sum_{i=5}^{3}a_i$, чтобы получить третье равенство (иначе непонятно, откуда оно взялось, как Вам уже написали). Но если действовать формально, то слагаемое $a_4$ встречается в обоих суммах.

[svv]

Sicker в сообщении #1431280 писал(а):

Только я не согласен, что чтобы утверждать, что

svv в сообщении #1431134 писал(а):

$\sum\limits_{k}^{k-1}=0$

надо положить $a_0=0$

Я так и не считаю, $\sum\limits_{k}^{k-1}a_i=0$ справедливо независимо от $a_0=0$.

Я полагал $a_i=0$ при $i<1$, чтобы придать смысл третьей, четвёртой и пятой сумме.

-- Вс дек 22, 2019 08:24:14 --

Лукомор в сообщении #1431429 писал(а):

Wolfram Alpha считает все три суммы равными нулю...

Wolfram Alpha тут ни при чём, он ведь не в курсе того, как мы обобщаем суммирование, на основе каких требований. Мне кажется, Вы этого тоже не поняли, поясню ещё раз.

Я в самом начале написал, что подходы к трактовке сумм $\sum\limits_{i=k}^n$ при $n<k$ могут быть разными. Лично мне больше нравится считать, что такие суммы равны нулю. Этот подход является практически стандартным. Sicker занимается творчеством и кладёт в основу другое правило, я его формулирую как $\sum\limits_k^n=\sum\limits_k^m+ \sum\limits_{m+1}^n$. Мы его принимаем и исследуем.

[Лукомор]

svv в сообщении #1431432 писал(а):

Sicker занимается творчеством и кладёт в основу другое правило,

Да, я это уже понял, согласен, только это чудесатое правило.
Я такое уже встречал в каком-то онлайн калькуляторе.

Просто в моей Вселенной значок суммы не обозначает ничего, кроме суммы,
и если частичная сумма кусочка ряда равна, для примера,:
$\sum\limits_{i=3}^{5} a_i=a_3+a_4+a_5$,
то для меня было бы более естественным полагать:
$\sum\limits_{i=5}^{3} a_i=a_5+a_4+a_3$,
нежели $\sum\limits_{i=5}^{3} a_i=-a_4$.
Впрочем, это дело вкуса, и каждый волен играть по своим правилам.

[mihaild]

svv в сообщении #1431432 писал(а):

Этот подход является практически стандартным

А есть примеры? Я сходу не нашел и не вспомнил вообще ни одной книги, где бы использовались или обсуждались суммы, в которых верхний индекс больше чем на 1 меньше нижнего.

Лукомор в сообщении #1431434 писал(а):

Просто в моей Вселенной значок суммы не обозначает ничего, кроме суммы

В моей тоже. Просто в моей Вселенной разность - это тоже сумма.

[svv]

Так, чтобы более чем на 1 меньше — и я не нашёл (правда, и не искал особо). А на 1 меньше найти легко:

(Бейтмен, Эрдейи, Высшие трансцендентные функции, том 1)

[mihaild]

svv в сообщении #1431458 писал(а):

А на 1 меньше найти легко

Но это место, где правила $\sum_a^b = 0$ и $\sum_a^b = -\sum_{b+1}^{a+1}$ при $a > b$ соглашаются.

[svv]

Я часто вижу определения вроде таких:

Цитата:

Summation may be defined recursively as follows:
$\begin{array}{ll}\sum\limits_{i=a}^b g(i)=0\; , &\text{for}\;b<a\\[1ex]\sum\limits_{i=a}^b g(i)=g(b)+\sum\limits_{i=a}^{b-1} g(i)\; , &\text{for}\;b\ge a\end{array}$

Только, к сожалению, не в книгах, а в статьях. Для примера — в английской Википедии, или в статье James Aspnes, Notes on summations and related topics (гуглится).

А вот новости из Нигерии. Статья Kunle Adegoke, Interpreting the summation notation when the lower limit is greater than the upper limit (гуглится). Там используется в точности наше правило $\sum\limits_k^n a_i=\sum\limits_k^m a_i+ \sum\limits_{m+1}^n a_i$.

[Sicker]

mihaild в сообщении #1431461 писал(а):

$\sum_a^b = -\sum_{b+1}^{a+1}$ при $a > b$ соглашаются.

Может вы хотели написать $\sum_a^b = -\sum_{b+1}^{a-1}$?

-- 22.12.2019, 17:08 --

Лукомор в сообщении #1431434 писал(а):

Просто в моей Вселенной значок суммы не обозначает ничего, кроме суммы,
и если частичная сумма кусочка ряда равна, для примера,:
$\sum\limits_{i=3}^{5} a_i=a_3+a_4+a_5$,
то для меня было бы более естественным полагать:
$\sum\limits_{i=5}^{3} a_i=a_5+a_4+a_3$,
нежели $\sum\limits_{i=5}^{3} a_i=-a_4$.

Тогда по вашей логике $\sum\limits_{i=5}^{5} a_i=a_5+a_5$

-- 22.12.2019, 17:15 --

Лукомор
Вот вам еще доказательство $\sum_k^{k-1} = 0$
$\sum_{i=k}^{n} a_i =0+ a_k+...+a_n$ с $n-k+1$ слагаемым, содержащим $a_i$
При $n=k-1$ будет ноль слагаемых с $a_i$, значит останется только ноль и сумма будет равна нулю

-- 22.12.2019, 17:24 --

svv в сообщении #1431432 писал(а):

Я так и не считаю, $\sum\limits_{k}^{k-1}a_i=0$ справедливо независимо от $a_0=0$.

Я полагал $a_i=0$ при $i<1$, чтобы придать смысл третьей, четвёртой и пятой сумме.

Тогда вопросов больше нет