Сумма ряда

[deep blue]

(Оффтоп)

Sicker писал(а):

Я создал эту тему думая что открыл велосипед

Тут, кстати, еще одна проблема с грамматикой. Использование деепричастия несовершенного вида (думая) вместе с глаголом совершенного вида (создал) означает что Sicker сначала думал что он открыл велосипед, а потом продолжая думать об этом создал еще и тему. Что очевидно противоречит тому что хотел сказать автор.

[Лукомор]

svv в сообщении #1431241 писал(а):

Обе суммы, для которых Вы нашли, что они нулевые, имеют вид $\sum\limits_{i=k}^{k-1} a_i$, и я полностью согласен, что они равны нулю.

А я - не согласен.
Они не равны нулю, и если я нашел, что они нулевые,
то, тем самым, пришел к противоречию.

На самом деле,
$\sum\limits_{i=k}^{k-1} a_i=a_k + a_{k-1}=\sum\limits_{i=(k-1)}^{k} a_i$.

[mihaild]

Лукомор в сообщении #1431258 писал(а):

Они не равны нулю, и если я нашел, что они нулевые,
то, тем самым, пришел к противоречию.

Да где вы это нашли-то?
Можно например принять такое индуктивное определение семейства функционалов $\sum_{x}^y$ на последовательностях элементов коммутативных групп (скорее всего коммутативность и не нужна, но тогда придется внимательно следить): $\sum_{n}^{n-1} = 0$, $\sum_{x}^y a_i + a_{y+1} = \sum_{i = x}^{y + 1} a_i$.
Эквивалентное определение - $\sum_x^y$ при $y \geqslant x$ определяется как обычно, а при $y < x$ положим $\sum_x^y = -\sum_{y + 1}^{x + 1}$.

Лукомор в сообщении #1431197 писал(а):

Если $\sum\limits_{i=4}^3 a_i=0$,
и $\sum\limits_{i=5}^4 a_i=0$, то и
$\sum\limits_{i=5}^3 a_i=0$,

Кажется вы тут считаете что $\sum_5^4 + \sum_4^3 = \sum_5^3$. Но это совершенно не обязано быть правдой - в приведенном svv правиле (которое мне кажется единственным разумным вариантом обобщения функционала $\sum$ на случай, когда верхний индекс меньше нижнего), нужно, чтобы вторая сумма начиналась с индекса, следующего за тем, на которым закончилась предыдущая.
Что ИМХО неудобно - гораздо лучше считать, что верхний индекс не включается. Получаемый функционал $\star_x^y$ удовлетворяет свойствам $\star_x^{x + 1} a = a_x$, $\star_x^z = \star_x^y + \star_y^z$. Соответственно если $y > x$, то $\star_x^y = \sum_x^{y -1}$ (берется обычное определение суммы). И есть та же симметрия, что в интеграле $\star_x^y = -\star_y^x$. Фактически получается что $\star$ - это интеграл Римана-Стилтьеса по ступенчатой функции от какой-то функции, которая в окрестности точки $i$ равна $a_i$.

[Sicker]

(Оффтоп)

deep blue в сообщении #1431251 писал(а):

Тут, кстати, еще одна проблема с грамматикой. Использование деепричастия несовершенного вида (думая) вместе с глаголом совершенного вида (создал) означает что Sicker сначала думал что он открыл велосипед, а потом продолжая думать об этом создал еще и тему. Что очевидно противоречит тому что хотел сказать автор.

Почему противоречит? А как еще можно сказать?
Лукомор
Хоть кому-то тема будет полезной

-- 21.12.2019, 17:29 --

svv в сообщении #1431218 писал(а):

Цитата:

Summation may be defined recursively as follows
$\sum\limits_{i=a}^b g(i)=0$ , for $b< a$. Wiki, Empty Sum

Цитата:

Allowing a "sum" with only 1 or 0 terms reduces the number of cases to be considered in many mathematical formulas. Such "sums" are natural starting points in induction proofs, as well as in algorithms. For these reasons, the "empty sum is zero" extension is standard practice in mathematics and computer programming.

Разумеется, всегда кто-нибудь заявит: «а я это не признаю и в этом не нуждаюсь».

А, т.е. подытоживая, общепринятым является ваше

svv в сообщении #1431134 писал(а):

сли Вы хотите придать смысл и таким суммам, разумно считать, что $a_i=0$ при $i<1$. Это обеспечивает четвёртое и пятое равенство, но противоречит третьему.

Только я не согласен, что чтобы утверждать, что

svv в сообщении #1431134 писал(а):

$\sum\limits_{k}^{k-1}=0$

надо положить $a_0=0$

-- 21.12.2019, 17:32 --

mihaild в сообщении #1431274 писал(а):

Фактически получается что $\star$ - это интеграл Римана-Стилтьеса по ступенчатой функции от какой-то функции, которая в окрестности точки $i$ равна $a_i$.

Вот собственно, как я и допер до этого
$\sum\limits_{i=k}^{n} a_i$ можно понимать как интеграл от ступенчатой функции, которая на промежутке $(i-1;i)$ равна $a_i$, а интегрирование производится по области $[k-1;n]$

[svv]

mihaild в сообщении #1431274 писал(а):

гораздо лучше считать, что верхний индекс не включается

+1000. Я только боялся об этом сказать.

[mihaild]

Sicker в сообщении #1431280 писал(а):

надо положить $a_0=0$

А тут надо уточнять, на чем мы определяем наши функционалы. А именно - можно сказать, что если какой-то из функционалов не зависит от значения какого-то члена последовательности, то он определен и на последовательностях, начинающихся на с $0$. А можно не говорить, т.к. это добавит проблем с областью определения (и договориться, что все последовательности двусторонне бесконечные, а элементы до "реального начала" и после "реального конца" - нулевые).

[Sicker]

mihaild в сообщении #1431305 писал(а):

А тут надо уточнять, на чем мы определяем наши функционалы. А именно - можно сказать, что если какой-то из функционалов не зависит от значения какого-то члена последовательности, то он определен и на последовательностях, начинающихся на с $0$. А можно не говорить, т.к. это добавит проблем с областью определения (и договориться, что все последовательности двусторонне бесконечные, а элементы до "реального начала" и после "реального конца" - нулевые).

Тут я немного ошибся, т.е. являются верными только первое и второе мое тождество
Верно?

[mihaild]

Sicker в сообщении #1431316 писал(а):

Тут я немного ошибся, т.е. являются верными только первое и второе мое тождество

Я считаю разумным считать

Sicker в сообщении #1431130 писал(а):

$\sum\limits_{i=-2}^{-1} a_i=0$

столь же верным как

Sicker в сообщении #1431130 писал(а):

$\sum\limits_{i=1}^0 a_i=0$

[Sicker]

mihaild в сообщении #1431323 писал(а):

Я считаю разумным считать

Так я с этим не спорю, а что по поводу моего второго тождества, оно тоже нулевое?
А обосновать тогда можете?

[Лукомор]

Sicker в сообщении #1431280 писал(а):

$\sum\limits_{i=k}^{n} a_i$ можно понимать как интеграл от ступенчатой функции, которая на промежутке $(i-1;i)$ равна $a_i$, а интегрирование производится по области $[k-1;n]$

А чему тогда, в вашей трактовке, будет равно $\sum\limits_{i=k}^{k} a_i$ ?

[mihaild]

Sicker в сообщении #1431330 писал(а):

Так я с этим не спорю, а что по поводу моего второго тождества, оно тоже нулевое?

Какое тождество, и что вообще значит "тождество нулевое"?

[Sicker]

Лукомор в сообщении #1431332 писал(а):

А чему тогда, в вашей трактовке, будет равно $\sum\limits_{i=k}^{k} a_i$ ?

$a_k$, разумеется

mihaild в сообщении #1431338 писал(а):

Какое тождество, и что вообще значит "тождество нулевое"?

Которое второе сверху в начальном посте темы. "Нулевое тождество" означает тождество, правая часть которого равна нулю

[arseniiv]

Sicker в сообщении #1431154 писал(а):

Ну типа множество функций из пустого множества в непустое пусто

Кроме того, что уже написали svv, mihaild и остальные: гляньте уже «Конкретную математику» (Кнут, Грэхем, Паташник), которую я вам по-моему уже раза два советовал по разным поводам. Там несколько глав про суммы и про доопределения и про всякое. И глупостей с пустыми множествами нет. В частности там предлагается обозначение «неопределённой суммы», соотносящееся с суммой так же, как неопределённый интеграл с определённым. Ещё вслед за ними можно предложить рассматривать последовательность, определённую нулями в нуле и отрицательных числах, если она кажется там не определённой, потому что часто это не просто удобно, но и верно, например для $n\mapsto\binom Nn$.

-- Вс дек 22, 2019 01:06:44 --

Есть куча и других книг, но с этой как минимум полезно начать (и я помню её название).

-- Вс дек 22, 2019 01:07:34 --

Sicker в сообщении #1431364 писал(а):

"Нулевое тождество" означает тождество, правая часть которого равна нулю

Э-э, стоило ради этого слова изобретать.

[mihaild]

Sicker в сообщении #1431364 писал(а):

Которое второе сверху в начальном посте темы

У второго сверху равенства в вашем первом посте правая часть ненулевая. Сформулируйте вопрос полностью, пожалуйста.

[Sicker]

arseniiv в сообщении #1431381 писал(а):

которую я вам по-моему уже раза два советовал по разным поводам

Вы меня с кем-то путаете

mihaild в сообщении #1431383 писал(а):

У второго сверху равенства в вашем первом посте правая часть ненулевая.

Ну да, так вы с ним согласны?