Пройдет ли кирпич в прямоугольное отверстие

[confabulez]

Получается система $\left\{ \begin{array}{lcr} x^2+y^2 =b^2 \\ (d-y)^2+(e-x)^2=a^2 \\ \end{array} \right.$
из которой нужно исключить $x$ и $y$ и получить уравнение четвертой степени?

[wrest]

confabulez в сообщении #1429408 писал(а):

У меня для $d=e$ получилось соотношение $a+b=\sqrt{2}d$

А как это получилось? Например, если имеем квадратное отверстие $d=e$ то, очевидно, в него можно просунуть такой же квадратный кирпич $a=b=d=e$ и тогда $a+b=2d$...

[confabulez]

wrest в сообщении #1429412 писал(а):

А как это получилось?

Из теоремы Пифагора получилось, но я рассматривал именно случай, когда прямоугольник вписан в прямоугольное отверстие, а случай, когда стороны параллельны, я не рассматриваю сразу (там понятно, какие условия нужно накладывать).

[DeBill]

confabulez в сообщении #1429411 писал(а):

из которой нужно исключить $x$ и $y$ и получить уравнение четвертой степени?

Хорошая попытка, но недостаточная (уравнений не хватат...)

(Оффтоп)

Вы написали условие для вписанного параллелограмма. Надо добавить еще условие его прямоугольности - и тогда должно хватить...Вот только это "исключить" еще и реализовать надо...

[confabulez]

DeBill в сообщении #1429417 писал(а):

Хорошая попытка, но недостаточная (уравнений не хватат...)

Еще получается из подобия треугольников $\frac{e-x}{y}=\frac{d-y}{x}$. Да, аналитически будет сложно получить выражение.

[DeBill]

confabulez в сообщении #1429422 писал(а):

ще получается из подобия треугольников

Да, и теперь все должно получиться.
Но: действительно, чисто алгебраическая процедура исключения будет тяжеловата...
Так что можно попробовать чуток схитрить:

confabulez в сообщении #1429422 писал(а):

из подобия треугольников $\frac{e-x}{y}=\frac{d-y}{x}$. Д

Обозначим эти (равные ) дроби через $k$ (и заметим, что $k=\frac{b}{a}$).
Из полученных двух линейных уравнений (считая бременно $k$ известным) найдем $x,y$, и подставим в первое Ваше уравнение. Вспоминая про "заметим", получим что-то....

[confabulez]

DeBill в сообщении #1429429 писал(а):

Вспоминая про "заметим", получим что-то

После преобразований у меня получилось $(d^2+e^2)(a^2+b^2)-4ed\cdot ab=(a^2-b^2)^2$. Похоже на правду?

[wrest]

confabulez в сообщении #1429476 писал(а):

После преобразований у меня получилось $(d^2+e^2)(a^2+b^2)-4ed\cdot ab=(a^2-b^2)^2$. Похоже на правду?

Так выходит, что любой квадрат $a=b$ можно вписать в любой квадрат $d=e$ , ибо тогда ваше равенство обращается в тождество.

[Sender]

В квадрат действительно можно вписать любой квадрат от половинного до такого же размера(точнее, площади).

-- Вт дек 10, 2019 12:00:40 --

confabulez в сообщении #1429476 писал(а):

После преобразований у меня получилось $(d^2+e^2)(a^2+b^2)-4ed\cdot ab=(a^2-b^2)^2$. Похоже на правду?

Вроде так. У меня оно получилось в виде $(ae-bd)^2+(ad-be)^2=(a^2-b^2)^2$. Случай с квадратом особый и должен рассматриваться отдельно.

[confabulez]

Sender в сообщении #1429499 писал(а):

Вроде так.

Спасибо.

[DeBill]

confabulez в сообщении #1429476 писал(а):

Похоже на правду?

Да. Единственно, что нужно еще к этому добавить:
1. из точек кривой,следует оставить (для экстремальных прямоугольников) только те, для которых
"...его "квадратность" (отношение меньшей стороны к большей) должна быть не более "квадратности" дыры".
Дело в том, что уравнения выводились из геометрии, а при нарушении ограничения на "квадратность" один из Ваших параметров ($x,y$) станет отрицательным. Т.е., по честному, Вашу систему уравнений следовало бы дополнить неравенствами $x\geqslant 0,y \geqslant 0$.
2. Допустимыми пр-ками являются те и только только те, которые "меньше либо равны" (по обеим сторонам) экстремальных.

Ну, и какой же получится ответ?
Желательно также: посчитать точно крайние точки построенного "отрезка" экстремальной кривой, убедиться, что все построенное "допустимое" множество лежит в круге радиуса "диагональ дыры", посмотреть, что же будет в случае квадратной дыры

[Sender]

Возможно, имеет смысл считать кирпич заданным и искать подходящие дыры, тогда порядок уравнения кривой понижается до второго.

[confabulez]

DeBill в сообщении #1429506 писал(а):

Ну, и какой же получится ответ?

Получается, что удовлетворяют все $a, b$, для которых
$(d^2+e^2)(a^2+b^2)-4ed\cdot ab-(a^2-b^2)^2\geqslant 0$, при этом $\frac{(ae-bd)}{a^2-b^2}\geqslant 0$

Насчет квадрата: если сторона этого квадрата больше меньшей стороны отверстия, то кирпич не пройдет, а если меньше или равна, то сможем, расположив стороны кирпича параллельно сторонам отверстия.

[DeBill]

confabulez в сообщении #1429517 писал(а):

Получается, что

Да. Можно еще это записать в полярной системе координат - будет чуток понятнее.
И хорошо бы картинку (например, для дыры два на один) допустимых кирпичей нарисовать - я, увы, не умею это делать.

confabulez в сообщении #1429517 писал(а):

Насчет квадрата:

Это - да, и, с учетом добавленных неравенств, теперь все соответствует полученному.
Но я спрашивал про квадратную ДЫРУ.

[Sender]

DeBill в сообщении #1429577 писал(а):

И хорошо бы картинку (например, для дыры два на один) допустимых кирпичей нарисовать - я, увы, не умею это делать.

Нет ничего проще: заходите в wolfram cloud open access, прокручиваете все примеры в белом окне, установив курсор ниже большой оранжевой кнопки "Go Further", и вводите любое выражение на языке wolfram language, например,

d=1;e=2;RegionPlot[((a*e-b*d)^2 + (a*d-b*e)^2 >= (a^2-b^2)^2)&&((a^2-b^2)*(a*e-b*d)>=0)&&((a^2-b^2)*(a*d-b*e)>=0), {a, 0, 5/2}, {b, 0, 5/2}]

(там работает вставка через Ctrl+V). Для обработки введённого выражения (в данном случае вывода картинки) нажимаете Shift+Enter(или клик на шестерёнке рядом с квадратной скобкой справа от выражения и выбор "Evaluate cell").