Цепь в трубке

[pogulyat_vyshel]

Трубка $\Gamma$-образной формы неподвижно закреплена. Одно колено трубки вертикально, другое горизонтально. Изнутри трубка гладкая. В трубку положен гибкий однородный нерастяжимый и несжимаемый трос длины $L$ массы $m$. В начальный момент времени трос покоится и его часть длины $b<L$ находится в вертикальном колене трубки. Какова будет скорость троса в тот момент, когда он весь соскользнет в вертикальное колено трубки под действием силы тяжести?

[DimaM]

$v=\sqrt{\dfrac{g(L^2-b^2)}{L}}?$

[eugensk]

Еще бы растяжение, а то слишком просто. Пусть трос удерживают за горизонтальный конец, и он тянется по Гуку. Тогда я сразу сдаюсь.

[EUgeneUS]

eugensk в сообщении #1426914 писал(а):

а то слишком просто

Не думаю.

$v= \sqrt{ gL (1-\frac{b}{L}) e^{\frac{b}{L}-1}}$

[wrest]

DimaM в сообщении #1426912 писал(а):

$v=\sqrt{\dfrac{g(L^2-b^2)}{L}}?$

Я понял условие так, что при $b=0$ весь трос лежит в горизонтальном колене, и двигаться вообще не начнёт.

[EUgeneUS]

wrest
Это не устойчивое положение, поэтому скатится из него.

[eugensk]

EUgeneUS
Ну не знаю, $mv^2/2 = E_0-E_1$
Потенциальную энергию $E$ кусочно линейного троса в поле тяжести посчитать элементарно.

[EUgeneUS]

eugensk
Это для гнутой трубки, а не для Г-образной.

[eugensk]

EUgeneUS
Кажется, теперь понимаю. Правда не могу сообразить, как считать.

[wrest]

EUgeneUS
А... горизонтальное колено выше вертикального...

[pogulyat_vyshel]

DimaM в сообщении #1426912 писал(а):

$v=\sqrt{\dfrac{g(L^2-b^2)}{L}}?$

Это понятно. Однако, если использовать теорему о движении центра масс в проекции на вертикальную ось то ответ будет совсем не такой, какой вытекает из закона сохранения энергии

[warlock66613]

Видимо, надо аккуратно рассмотреть перегиб троса - тогда окажется, что вертикальная проекция силы, действующей на трос со строны трубки, не нулевая, и ответы, полученные разными способами, сойдутся.

[pogulyat_vyshel]

ну либо считать, что при ударе происходит потеря энергии и отказаться от гипотезы несжимаемости троса, соответственно

[EUgeneUS]

warlock66613 в сообщении #1426986 писал(а):

вертикальная проекция силы, действующей на трос со строны трубки, не нулевая,

Повторю, это в случае если трубка гнутая. То есть если сочленение горизонтальной и вертикальной частей плавное, с радиусом закругления много большим диаметра троса.

А если трубка сочленена "коленом" без плавного перехода, то будет по другому.

Аналогия - шарик скатывается с клина. Есть два существенно разных варианта: поверхность клина плавно сочленена с горизонтольноой плоскостью, и сочленена "углом".

-- 21.11.2019, 06:10 --

pogulyat_vyshel в сообщении #1426993 писал(а):

ну либо считать, что при ударе происходит потеря энергии и отказаться от гипотезы несжимаемости троса, соответственно

Если падает цепь, то никаких проблем не возникает.

Если трос, то случай его конечной толщины и несжимаемости/нерастяжимости приводит к несгибаемости. И он в Г-образную трубку не влезет.
А если толщину считать нулевой, то опять проблем не взникает.
Имхо.

[Pavia]

pogulyat_vyshel в сообщении #1426972 писал(а):

то понятно. Однако, если использовать теорему о движении центра масс в проекции на вертикальную ось то ответ будет совсем не такой, какой вытекает из закона сохранения энергии

Покажите свои выкладки.