Парадокс обмена

[EUgeneUS]

epros в сообщении #1423240 писал(а):

В том, что Вы домысливаете неравноценность.

Я не домысливаю неравноценность, а не исключаю её.

epros в сообщении #1423240 писал(а):

Странно, что Вы не знаете правил. Игра очень проста: два игрока загадывают чёт или нечет....

В таком виде знаю, конечно. (В материалах, по которым учил ТИ, она по-другому называлась, но и такое название упоминалось).

epros в сообщении #1423240 писал(а):

Да, это явно задано. И даже если об этом забыли сказать явно, всё равно это должно подразумеваться как стандартное условие для задач такого класса.

Условие может быть сколь угодно стандартным, но в учебных курсах оно проговаривается явно. Соответственно, и в задачах к учебным курсам, они может неявно использоваться. Курс, к которому прилагается задачка был не обозначен. Условие рациональности игроков (и других действующих лиц и исполнителей) явно не озвучено. С чего бы нам игроков (а особенно каких-то ассистентов, которые конверты готовят) считать рациональными?

На примере, чет-нечета. Вы заметили, что Ваш противник уже пятый раз загадал "чет", двадцатый, сотый.... На каком повторении "чета" Вы решите, что с Вами играет дебил (или робот у которого ГСЧ сломался)?
Вы ни на каком повторении так не решите, и будете считать, что "просто так совпало". А всё потому, что положили априорную вероятность, что противник рационален, в единицу. И никакая последовательность "четов" эту единицу не изменит.
Я априори буду считать, что "95% людей дебилы", а апостеори она изменится.

Тоже самое с конвертами.
Вы положите априорную вероятность единица, что игра симметрична, и никакая последовательность исходов, вас не сдвинет. Даже если мешок денег первого будет расти в почти два раза быстрее, чем у второго.
Я же положу (например) $0.5$, что игра перекошена в мою пользу, и $0.5$, что в пользу противника. И апостеори подстроюсь под ошибку в дизайне игры, или сломанный ГСЧ, или что-то еще, вызывающее перекос. Если он есть. А если перекоса нет, то и не потеряю ничего.

-- 31.10.2019, 13:38 --

EUgeneUS в сообщении #1423250 писал(а):

Условие может быть сколь угодно стандартным, но в учебных курсах оно проговаривается явно.

Более того, условие рациональности игроков не просто проговаривается явно в учебных курсах, а формализуется.

[Лукомор]

EUgeneUS в сообщении #1423054 писал(а):

У игрока достоверно в конверте $x$. Мат. ожидание суммы в конверте $x$
У ведущего с вероятностью $0.5$ в конверте $x/2$ и с вероятностью $0.5$ в конверте $2x$. Мат. ожидание суммы в конверте $5/4 x$.

А чему равна дисперсия случайной суммы в конверте у игрока, и чему - у ведущего7

[EUgeneUS]

Лукомор

При данной процедуре подготовки конвертов.
$X$ - случайная величина в конверте игрока. Единственно, что известно - она всегда больше $0$. Распределение может быть любым на $(0, +\infty)$.
Соответственно, $M[X]$ и $D[X]$ могут быть любыми, допустимыми для распределений на $(0, +\infty)$.

$Y$ - случайная величина в конверте ведущего. Она не является независимой от $X$
$Y = 2 B X + \frac{1}{2} (1-B) X$
где $B$ - "честная монетка" (распределение Бернулли с $p = 1/2$), и эта величина уже независима от $X$.

Тогда
$M[Y] = M[X] + \frac{1}{4} M[X] = \frac{5}{4} M[X]$

$D[Y] = \frac{17}{8} D[X] + (\frac{3}{4} M[X])^2$

если с арифметикой не проврался в последнем пункте.
Таки проврался. Поправил

-- 31.10.2019, 15:57 --

Если интересно, вот для одной из симметричных процедур:

$Y$ - случайная величина, определяющую общую сумму.
Опять же, единственно, что известно - она всегда больше $0$. Распределение может быть любым на $(0, +\infty)$.
Соответственно, $M[Y]$ и $D[Y]$ могут быть любыми, допустимыми для распределений на $(0, +\infty)$.

$X_1 = \frac{1}{3} B Y + \frac{2}{3} (1-B)Y = \frac{2}{3} Y - \frac{1}{3} B Y$ - величина денег в первом конверте.
$X_2 = \frac{2}{3} B Y + \frac{1}{3} (1-B)Y = \frac{1}{3} Y + \frac{1}{3} B Y$ - величина денег во втором конверте.

Тогда:
$M[X_1] = M[X_2] = \frac{1}{2} M[Y]$

$D[X_1] = D[X_2] = \frac{1}{36} (10 D[Y] + (M[Y])^2)$

[EUgeneUS]

epros

Кстати, еще вот такое замечание:

EUgeneUS в сообщении #1423250 писал(а):

априори буду считать, что "95% людей дебилы",

И вряд ли сильно ошибусь. Так как вряд ли больше 5% людей способны качественно эмулировать в голове честную монетку.
В одном из учебников по покеру встречал предложение использовать в качестве ГСЧ секундную стрелку.

[sergey zhukov]

epros в сообщении #1423200 писал(а):

Достаточно дойти до предположения о равенстве двух условных вероятностей и сказать, что из условий задачи это не следует.

А какие две условные вероятности?

[epros]

sergey zhukov в сообщении #1423309 писал(а):

А какие две условные вероятности?

$P(x_2=2x_1|x_1)$ и $P(x_2=\frac{x_1}{2}|x_1)$.

EUgeneUS в сообщении #1423250 писал(а):

Я не домысливаю неравноценность, а не исключаю её.

А смысл? Если Вы "не исключаете" неравноценность, то Вам придётся делать на её основании выводы, которые приведут к тому, что Вы проиграете.

Вот Вы "не исключили", что применяется неравноценная процедура наполнения конвертов, откуда следует, что Вам нужно менять конверты. В итоге, если организаторы заинтересованы в том, чтобы Вы получили поменьше, и разгадают Вашу стратегию, то конверты на самом деле всегда будут наполнять так, что Вы получите минимум.

EUgeneUS в сообщении #1423250 писал(а):

На примере, чет-нечета. Вы заметили, что Ваш противник уже пятый раз загадал "чет", двадцатый, сотый.... На каком повторении "чета" Вы решите, что с Вами играет дебил (или робот у которого ГСЧ сломался)?

Никто не запрещает использовать знание о том, что противник нерационален, если оно вдруг появилось. Просто это выходит за рамки постановки задачи. И если Ваш противник на самом деле рационален, то он накажет Вас за Ваше ложное знание.

EUgeneUS в сообщении #1423250 писал(а):

Я априори буду считать, что "95% людей дебилы", а апостеори она изменится.

В каком направлении дебилы? Со склонностью в чёт или со склонностью в нечет?

EUgeneUS в сообщении #1423250 писал(а):

Вы положите априорную вероятность единица, что игра симметрична, и никакая последовательность исходов, вас не сдвинет. Даже если мешок денег первого будет расти в почти два раза быстрее, чем у второго.

У моего противника мешок денег точно не будет расти вдвое больше, поскольку я буду меняться или не меняться по генератору случайных чисел. Организаторы просто не смогут выбрать такую стратегию наполнения конвертов, чтобы я получал в среднем меньше.

EUgeneUS в сообщении #1423297 писал(а):

И вряд ли сильно ошибусь. Так как вряд ли больше 5% людей способны качественно эмулировать в голове честную монетку.

А Вы вот так уж легко сумеете использовать это несовершенство генератора случайных чисел в голове противника?

[EUgeneUS]

epros в сообщении #1423332 писал(а):

А смысл? Если Вы "не исключаете" неравноценность, то Вам придётся делать на её основании выводы, которые приведут к тому, что Вы проиграете.

Если я не исключаю не равноценность, то это не означает, что я её обнаружу.
А если обнаружу, то попытаюсь использовать. Могу проиграть, если это "замануха" (см. ниже), но буду рассчитывать выиграть.

epros в сообщении #1423332 писал(а):

Вот Вы "не исключили", что применяется неравноценная процедура наполнения конвертов, откуда следует, что Вам нужно менять конверты. В итоге, если организаторы заинтересованы в том, чтобы Вы получили поменьше, и разгадают Вашу стратегию, то конверты на самом деле всегда будут наполнять так, что Вы получите минимум.

Тут два момента.

1. "Если организаторы заинтересованы...". А они заинтересованы? Ведь они теряют одно и тоже количество денег (если второй не подсадной). А если не заинтересованы, то в дизайне игры может быть ошибка (перекошенная процедура подготовки конвертов. Девочки-дизайнеры рассуждали, как игроки во втором абзаце). Причем организаторы игры могут быть и не заинтересованы в обнаружении и исправлении этой ошибки - ведь озвученные правила соблюдаются. И это можно обнаружить.

2. Если организаторы заинтересованы в моём проигрыше - см. ниже.

epros в сообщении #1423332 писал(а):

Никто не запрещает использовать знание о том, что противник нерационален, если оно вдруг появилось. Просто это выходит за рамки постановки задачи. И если Ваш противник на самом деле рационален, то он накажет Вас за Ваше ложное знание.

1. Вот том и дело, что это не выход за рамки задачи. Задача-то одна - получить больше денег. Это выход за рамки теории игр, всего лишь. ТИ говорит, какая стратегия рациональна. ТИ даже может сказать, какой стратегией надо пользоваться, если стратегия противника нерациональна (и известна). Но ТИ ничего не говорит о том, как обнаружить, что противник отклонился от рациональной стратегии. Это уже мат. статистика.
2. Если противник рационален в том смысле, что пользуется рациональной стратегией, то никого он не накажет, потому что ложное знание не сформируется. И сам не проиграет.
2.1. Кроме того, если противник придерживается рациональной стратегии, но не контролирует, что её придерживаюсь я, то я могу "чудить" как угодно - он меня не накажет.
3. Но тут есть подвох - противник может сознательно сформировать ложное знание! Но для этого ему нужно
а) выйти из рациональной стратегии, стать "не рациональным".
б) самому контролировать "рациональность" моей стратегии.

epros в сообщении #1423332 писал(а):

В каком направлении дебилы? Со склонностью в чёт или со склонностью в нечет?

Вообще говоря, это две равнозначные гипотезы, которые нужно проверять.
Если человек генерирует нули и единицы (а не чет-нечет) могу предположить, что будет перекос в сторону единицы, так как она имеет более положительную эмоциональную окраску Но это надо проверять.
А вот что уже проверили (если мне память не изменяет), люди склонны "обрезать" длинные серии. Чем длиннее серия, тем реже она встречается "у людей", чем полагается при честной монетке.

epros в сообщении #1423332 писал(а):

У моего противника мешок денег точно не будет расти вдвое больше, поскольку я буду меняться или не меняться по генератору случайных чисел. Организаторы просто не смогут выбрать такую стратегию наполнения конвертов, чтобы я получал в среднем меньше.

В этом случае надо рассматривать виртуальные мешки денег, которые растут при отсутствии обмена.

epros в сообщении #1423332 писал(а):

А Вы вот так уж легко сумеете использовать это несовершенство генератора случайных чисел в голове противника?

Честно говоря, не уверен. Я хорошо знал, как считать шансы в покере, но в реальной игре не успевал. Поэтому на деньги не играл
Но можно подготовить заранее "костылики".
Например, легко можно посчитать перекос, используя одну руку, на окне, как минимум в 24.
А чтобы меня не поймали на кривом ГСЧ - надеть часы, у которых вместо секунд аппаратный ГСЧ
В общем, готовиться надо.

[epros]

EUgeneUS в сообщении #1423370 писал(а):

А если обнаружу, то попытаюсь использовать

Зачем рассматривать гипотетические ситуации? В задаче нет информации о стратегии противников. Значит надо исходить из предположения, что её нет.

EUgeneUS в сообщении #1423370 писал(а):

"Если организаторы заинтересованы...". А они заинтересованы?

Вот чтобы не тратить время на такие праздные вопросы и нужно выбирать беспроигрышную стратегию, основанную на отсутствии информации.

EUgeneUS в сообщении #1423370 писал(а):

Но ТИ ничего не говорит о том, как обнаружить, что противник отклонился от рациональной стратегии. Это уже мат. статистика.

Статистика тоже ничего об этом не скажет. Мало того, если Вы разработаете хитрую процедуру принятия решения, основанную на анализе статистики, то не дай Бог противник об этом узнает. В таком случае Вы гарантированно проиграете.

EUgeneUS в сообщении #1423370 писал(а):

2. Если противник рационален в том смысле, что пользуется рациональной стратегией, то никого он не накажет, потому что ложное знание не сформируется. И сам не проиграет.
2.1. Кроме того, если противник придерживается рациональной стратегии, но не контролирует, что её придерживаюсь я, то я могу "чудить" как угодно - он меня не накажет.

На самом деле наказывать за нерациональную стратегию - это и есть рациональная стратегия. Другое дело, что вопрос о том, откуда противник узнает Вашу стратегию, остаётся открытым. В задачах на равновесие Нэша предполагается, что знание о стратегии противников полное. При этом если стратегия противника "рандомизированная" (традиционно они называются "смешанными"), то полное знание парадоксальным образом заключается в том, что ход противника предсказать невозможно.

EUgeneUS в сообщении #1423370 писал(а):

А вот что уже проверили (если мне память не изменяет), люди склонны "обрезать" длинные серии. Чем длиннее серия, тем реже она встречается "у людей", чем полагается при честной монетке.

Не думаю, что Вы сможете это эффективно использовать, играя в чёт-нечет без подручных средств. Хотя алгоритм наверняка написать можно.

EUgeneUS в сообщении #1423370 писал(а):

В этом случае надо рассматривать виртуальные мешки денег, которые растут при отсутствии обмена.

Непонятно, о чём Вы. Я бросаю монетку и так решаю, меняться мне или нет. Что бы ни придумали организаторы, в среднем я получу половину всех денег. Лучшей стратегии при отсутствии информации о стратегии организаторов я не знаю.

[EUgeneUS]

epros в сообщении #1423373 писал(а):

На самом деле наказывать за нерациональную стратегию - это и есть рациональная стратегия.

Об чем и речь.

epros в сообщении #1423373 писал(а):

Другое дело, что вопрос о том, откуда противник узнает Вашу стратегию, остаётся открытым.

Или откуда я узнаю, что у противника не рациональная стратегия.
С одной стороны, тут все просто, даже стандартно: на основании серии экспериментов делается вывод, что у противника нет перекоса или есть перекос (и в какую сторону).
С другой стороны, это знание условное: мы выяснили (с какой-то достоверностью) какую стратегию использует противник, если я использую ту, которую использовал в этой серии экспериментов.

epros в сообщении #1423373 писал(а):

В задачах на равновесие Нэша предполагается, что знание о стратегии противников полное.

Да. Причем это "знание" формируется, например, так:

Цитата:

Мы называем участника максимизирующим ожидаемую полезность (участником типа Неймана-Моргенштерна), если его выбор среди всех возможных лотерей описывается функцией вида $U_i(\bar{x}) = \sum\limits_{j \in Q}^{} \sigma_j u_i(x_{ij})$, то есть функцией линейной по вероятности, или, иначе, матожиданием полезности. Именно такими мы и будем считать участников игр далее

(отсюда)

Нужно ли говорить, что для реальных участников - это очень сильное предположение?

-- 01.11.2019, 12:38 --

Как некий итог (м.б. промежуточный):

epros в сообщении #1423373 писал(а):

На самом деле наказывать за нерациональную стратегию - это и есть рациональная стратегия.

Собственно это мной и предлагалось: наказать противника за нерациональную стратегию, буде такое случится.
Априорная вероятность нерациональной стратегии противника не должна быть нулевой.
А значит, нерациональную стратегию надо как-то выявить, чтобы использовать это знание.

-- 01.11.2019, 12:53 --

epros в сообщении #1423373 писал(а):

Непонятно, о чём Вы. Я бросаю монетку и так решаю, меняться мне или нет. Что бы ни придумали организаторы, в среднем я получу половину всех денег. Лучшей стратегии при отсутствии информации о стратегии организаторов я не знаю.

Я о том, что, применяя такую стратегию, Вы записываете на бумажке сумму выигрышей Вашего и противника, как если бы обменов не происходило.
И таким образом получаете информацию о стратегии организаторов. После чего утверждение об "отсутствии информации о стратегии организаторов" перестаёт быть истинным.

[epros]

EUgeneUS в сообщении #1423389 писал(а):

И таким образом получаете информацию о стратегии организаторов. После чего утверждение об "отсутствии информации о стратегии организаторов" перестаёт быть истинным.

В этом не стоит полагаться на статистику, обо она - не точная наука. Формировать решение как результат той или иной обработки исторических данных - это как раз не рациональная стратегия. Если Вы будете так делать, рациональный противник Вас обязательно обыграет.

[EUgeneUS]

epros в сообщении #1423460 писал(а):

Если Вы будете так делать, рациональный противник Вас обязательно обыграет

Каким образом? Телепатией или тем же анализом исторических данных?

[Лукомор]

EUgeneUS в сообщении #1423504 писал(а):

Каким образом? Телепатией или тем же анализом исторических данных?

И телепатия и анализ исторических данных - это из области фантастики!
Будем же реалистами!

Если у казино, с которым Вы хотите тягаться, есть какая-то стратегия,
то это мартингейл, и у Вас нет шансов.
Все решится уже в первом туре.

Вам в руки дадут конверт с большей из двух сумм, ведущий оставит себе меньшую.
"Меняться выгодно!" - и вы проиграли не только первый тур но и всю игру в целом.

Потому что в каждом следующем туре вам будут раскладывать по конвертам половину от суммы предыдущего тура.
Даже если теперь Вы выиграете все остальные туры, убывающая геометрическая прогрессия ваших выигрышей не достигнет предела, которым является Ваш проигрыш в первом туре.
Так что, накапливайте статистику... она Вам пригодится.

-- Сб ноя 02, 2019 07:13:18 --

EUgeneUS в сообщении #1423180 писал(а):

в начале рассуждений придумываем, что процедура асимметрична, а в ходе рассуждений считаем её симметричной. После обмена "ведущий" получает конверт, в котором достоверно сумма $x$.

На самом деле нет никаких симметричных и асимметричных процедур,
а просто люди делятся на оптимистов и пессимистов.

Оптимист уверен, что у него в первом конверте $x$ денег, а во втором - $2x$ или $x/2$,
в среднем $5x/4$ и меняться выгодно!

Пессимист уверен что во втором конверте $x$, а у него в первом конверте $2x$ или $x/2$,
в среднем у него и так уже $5x/4$ против $x$ и меняться не выгодно!

Все дело в том, что просто Вы - оптимист!

-- Сб ноя 02, 2019 07:33:30 --

(Оффтоп)

Я извиняюсь за такое лирическое отступление.
Читал на днях тему про ИСО и неИСО, а думал при этом про парадокс обмена.

И тут мне запала такая мысль: когда мы переходим в "систему отсчета" одного из конвертов с деньгами,
мы, как бы, переходим из некой вероятностной "ИСО" в "неИСО",
в которой законы Теории Вероятностей должны действовать с некоторыми поправками,
аналогично тому как в неИСО физической возникает поправка на ускорение неИСО относительно ИСО,
воплощенная в некой силе инерции.

В возникновении парадокса с обменом конвертов, я считаю,
действует самая сильная из всех сил инерции - инерция мышления.

[epros]

EUgeneUS в сообщении #1423504 писал(а):

Каким образом? Телепатией или тем же анализом исторических данных?

Тем же самым анализом исторических данных.

[EUgeneUS]

Лукомор в сообщении #1423554 писал(а):

"Меняться выгодно!" - и вы проиграли не только первый тур но и всю игру в целом.

Где в недрах темы я делал такой вывод ("Меняться выгодно!").
Это неверный вывод, возникший из-за неоконченных рассуждений.
Если нет никакой дополнительной информации об организаторах и их мотивации (а перед началом первого раунда её нет по условиям), то для игрока ситуация симметричная - у него нет возможности сделать вывод: в какую сторону будет перекос и будет ли вообще.

epros в сообщении #1423600 писал(а):

Тем же самым анализом исторических данных.

А почему бы анализ исторических данных одним игроком приведет к успеху, а другим игроком - заведет в ловушку?

[epros]

EUgeneUS в сообщении #1424058 писал(а):

А почему бы анализ исторических данных одним игроком приведет к успеху, а другим игроком - заведет в ловушку

Вот такой парадокс: Использовать результаты анализа статистики для принятия решения в условиях отсутствия информации о стратегии противника - не рациональная стратегия, а использовать результаты анализа статистики для принятия решения при условии, что их же использует противник - рациональная стратегия.