Парадокс обмена

[EUgeneUS]

Нет же.

Первая процедура: асимметричная. Игроку выгодно меняться, ведущему не выгодно.
Игрок и ведущий не могут рассуждать одинаково. Игрок (но не ведущий) рассуждает, как в стартовом посте.

Вторая процедура: симметричная. Не имеет значения меняться или нет. Никто не может рассуждать как в стартовом посте.

Обе процедуры, не смотря на то, что они различные, полностью удовлетворяют условиям.

Если не согласны - приведу расчеты вероятностей, как доберусь до нормальной клавиатуры.

[epros]

EUgeneUS в сообщении #1422998 писал(а):

Вывод: знания, что в одном конверте в два раза больше, чем в другом, и даже знания, что события "у противника вдвое больше" и "у противника вдвое меньше" равновероятны, не хватает, чтобы принять решение: нужно меняться, не нужно, или всё равно. Нужны уточнения по процедуре подготовки конвертов.

На самом деле достаточно неявного условия о том, что игроки находятся в равных условиях (и оба ничего не знают про процедуру подготовки конвертов). В первом из описанных Вами случаев это не соблюдается.

[EUgeneUS]

Добрался до клавиатуры. Посчитаем вероятности.

Первая, асимметричная процедура.

У игрока достоверно в конверте $x$. Мат. ожидание суммы в конверте $x$
У ведущего с вероятностью $0.5$ в конверте $x/2$ и с вероятностью $0.5$ в конверте $2x$. Мат. ожидание суммы в конверте $5/4 x$.
Игроку меняться выгодно, ведущему не выгодно.
Если поменялись, становится наоборот: обратно меняться игроку не выгодно, ведущему выгодно.
С вероятностью $0.5$ у игрока в два раза больше, чем у ведущего; а с вероятностью $0.5$ у игрока в два раза меньше, чем у ведущего. Условия выполнены.
Распределение $x$ роли не играет.

Вторая, симметричная процедура.

Есть четыре равновероятных случая (вероятность по 0.25):
1. У игрока1 $x$, у игрока2 $2x$
2. У игрока1 $x$, у игрока2 $x/2$
3. У игрока1 $2x$, у игрока2 $x$
4. У игрока1 $x/2$, у игрока2 $x$

В половине случаев, то есть с вероятностью $0.5$ у игрока1 в два раза больше, чем у игрока2, и наоборот тоже в половине случаев. Условия выполнены.
Мат. ожидания сумм в конвертах одинаковы у обоих игроков и равны: $M = (0.25 + 0.25 + 0.25 \cdot 2 + 0.25 \cdot 0.5)x = 1.125 x$

Можно ещё такую процедуру придумать:
1. Выбирается сумма $x$
2. В один конверт кладется $x/3$, в другой в два раза больше.
4. Конверты отдаются игрокам исходя из результата броска честной монетки.
Это тоже симметричная процедура,удовлетворяющая условиям.

-- 30.10.2019, 18:41 --

epros в сообщении #1423050 писал(а):

В первом из описанных Вами случаев это не соблюдается.

Конечно, не соблюдается. Отсюда все перекосы. Но условие "с вероятностью $0.5$ у одного больше в два раза, чем у другого; и с вероятностью $0.5$ у одного меньше в два раза, чем у другого;" соблюдается.

epros в сообщении #1423050 писал(а):

На самом деле достаточно неявного условия о том, что игроки находятся в равных условиях (и оба ничего не знают про процедуру подготовки конвертов).

Если игроки находятся в равных условиях, то на этом всё и заканчивается, и не нужно четыре страницы обсуждений.
Ибо $x = -x$ выполняется только при $x=0$

-- 30.10.2019, 18:51 --

UPD. ИМХО, "парадокс" возникает потому, что каждый игрок считает процедуру асимметричной, но асимметричной в свою пользу, а так не бывает.

[epros]

EUgeneUS в сообщении #1423054 писал(а):

Если игроки находятся в равных условиях, то на этом всё и заканчивается, и не нужно четыре страницы обсуждений.

Разумеется 4 страницы обсуждений не нужны. Нужно было просто внимательно прочитать первый абзац стартового поста. Там речь о ДВУХ ИГРОКАХ, которым ничего кроме того, что денег в одном конверте вдвое больше, чем в другом, не известно. Вы почему-то пишете про игрока и ведущего (которому, вероятно, что-то известно), так что задача сразу становится несимметричной.

[EUgeneUS]

epros в сообщении #1423061 писал(а):

Вы почему-то пишете про игрока и ведущего (которому, вероятно, что-то известно), так что задача сразу становится несимметричной.

Только потому, что в стартовом посте:

EUgeneUS в сообщении #1423054 писал(а):

каждый игрок считает процедуру асимметричной, но асимметричной в свою пользу, а так не бывает.

-- 30.10.2019, 19:05 --

epros в сообщении #1423061 писал(а):

и ведущего (которому, вероятно, что-то известно)

"ведущему" известно ровно столько же, сколько игроку. Конверты готовят "ассистенты". Слово "ведущий" использовалось только для того, чтобы подчеркнуть асимметричность.

[sergey zhukov]

epros в сообщении #1422993 писал(а):

На самом деле такая логика предполагает, что события "у противника вдвое больше" и "у противника вдвое меньше" равновероятны при условии, что у меня $x$. А вот почему это предположение неверно при любом распределении $x$, это уже второй вопрос к топикстартеру.

Честно говоря, не могу себе представить, как бы сконструировать такое распределение, для которого это было бы верно. Например, так можно рассуждать. Берем любой $x$ и назначаем ему какое-нибудь значение функции распределения (пока не нормированной). Тогда мы сразу выясняем, что в точках $2x$ и $x/2$ распределение имеет то же значение. Беря эти точки за исходные, будет последовательно выяснять, что это распределение во первых, не ограничено, а во вторых, во всех точках имеет одно и то же значение.

[epros]

EUgeneUS в сообщении #1423063 писал(а):

Только потому, что в стартовом посте:

EUgeneUS в сообщении #1423054

писал(а):
каждый игрок считает процедуру асимметричной, но асимметричной в свою пользу, а так не бывает.

В стартовом посте не нашёл ничего про асимметричность. По-моему, это Ваше собственное условие, а не топикстартера. У топикстартера исчерпывающая постановка задачи в первом абзаце (потому что отсутствие информации у игроков - это тоже часть постановки задачи).

sergey zhukov в сообщении #1423065 писал(а):

Берем любой $x$ и назначаем ему какое-нибудь значение функции распределения (пока не нормированной). Тогда мы сразу выясняем, что в точках $2x$ и $x/2$ распределение имеет то же значение. Беря эти точки за исходные, будет последовательно выяснять, что это распределение во первых, не ограничено, а во вторых, во всех точках имеет одно и то же значение.

Не понимаю о чём Вы сейчас. Распределение чего? При каких условиях?

[EUgeneUS]

epros в сообщении #1423071 писал(а):

В стартовом посте не нашёл ничего про асимметричность. ... У топикстартера исчерпывающая постановка задачи в первом абзаце (потому что отсутствие информации у игроков - это тоже часть постановки задачи).

Стартовый пост состоит не только из первого абзаца, (в котором можно найти неявное указание на симметричность задачи).
Но и, например, из второго.

[epros]

EUgeneUS в сообщении #1423075 писал(а):

Стартовый пост состоит не только из первого абзаца, (в котором можно найти неявное указание на симметричность задачи).

Постановка задачи там только в первом абзаце. Причём "неявного" в ней только то, что отсутствует прямое указание на симметричность. Однако симметричность следует из того, что условия для игроков определены одинаково.

EUgeneUS в сообщении #1423075 писал(а):

Но и, например, из второго.

Второй абзац - это уже какие-то попытки решения, основанные на ложном предположении.

[EUgeneUS]

epros
Но вопрос задается именно во втором абзаце.
И ошибка в этих рассуждениях как раз в том, что они строятся на несимметричной процедуре подготовки конвертов.

[Лукомор]

EUgeneUS в сообщении #1423054 писал(а):

У игрока достоверно в конверте $x$. Мат. ожидание суммы в конверте $x$
У ведущего с вероятностью $0.5$ в конверте $x/2$ и с вероятностью $0.5$ в конверте $2x$. Мат. ожидание суммы в конверте $5/4 x$.
Игроку меняться выгодно, ведущему не выгодно.

А как игрок узнает, что ведущий точно дал ему конверт в котором $x$/
А если ведущий даст ему свой конверт, а котором с вероятностью $0.5$ в конверте $x/2$ и с вероятностью $0.5$ в конверте $2x$ ?
Ведь тогда игроку меняться будет не выгодно?
Или нет?

[sergey zhukov]

epros в сообщении #1423071 писал(а):

Не понимаю о чём Вы сейчас. Распределение чего? При каких условиях?

А, я понял. Про распределение $x$ (т.е. сумму в конверте одного из игроков) нам ничего знать не нужно. Достаточно знать, что распределение вероятности общей суммы розыгрыша имеет одинаковое значение в точках $x/2$ и $2x$ для любого $x$. Сам $x$ подчиняется какому-то распределению, но нам важно только знать, какое максимальное значение он вообще может принять, т.е. насколько далеко он определяет связь между двумя разными точками распределения общей суммы. Из рассуждений игрока получается, что ограничения тут нет.
Если я получил $x$, а противник может равновероятно получить $x/2$ или $2x$, значит, общая сумма может c равной вероятностью быть $1,5x$ или $3x$. Не причин, почему мы должны считать, что сумма $3x$ может быть поделена между нами только так, что я всегда получаю только $x$, следовательно я могу получить и $2x$, и далее по кругу.

[EUgeneUS]

Лукомор
В условиях, озвученных в первом абзаце стартового поста, никак не узнает.
Ни до вскрытия конверта, ни после вскрытия.

Организаторы игры могут использовать симметричную процедуру, а могут перекошенную. Но так как игрок(и) не знают в какую сторону будет перекос (если вообще будет), то априорная вероятность перекоса в одну сторону равна априорной вероятности в другую. На что обращал внимание уважаемый epros, утверждая что имеется неявное утверждение симметричности игры (на самом деле - нет).

Как оно будет на самом деле, будет видно только после серии игр, когда статистика накопится.

Отдельно нужно сказать, что у игрока, принимающего решение об обмене, всегда есть возможность "симметризовать" игру.

Поэтому на длинной дистанции, имхо, стратегия должна быть такой (если по итогам каждого раунда игроку известно, выиграл он или проиграл):
1. Симметризуем игру - решаем менять или нет, подбрасывая монетку.
2. Набрав ститистику, по которой можно судить о наличии перекоса, меняем или нет, в зависимости от "направления" перекоса.

[epros]

EUgeneUS в сообщении #1423092 писал(а):

Но вопрос задается именно во втором абзаце.

Вы как читаете? Вопрос задан в первом абзаце. А во втором абзаце задан совсем другой вопрос: В чём ошибка (в приведённых рассуждениях)?

EUgeneUS в сообщении #1423092 писал(а):

И ошибка в этих рассуждениях как раз в том, что они строятся на несимметричной процедуре подготовки конвертов.

Там нет никакой процедуры подготовки конвертов. Есть только рассуждения от имени игрока.

sergey zhukov в сообщении #1423113 писал(а):

Про распределение $x$ (т.е. сумму в конверте одного из игроков) нам ничего знать не нужно. Достаточно знать, что распределение вероятности общей суммы розыгрыша имеет одинаковое значение в точках $x/2$ и $2x$ для любого $x$. Сам $x$ подчиняется какому-то распределению, но нам важно только знать, какое максимальное значение он вообще может принять, т.е. насколько далеко он определяет связь между двумя разными точками распределения общей суммы. Из рассуждений игрока получается, что ограничения тут нет.
Если я получил $x$, а противник может равновероятно получить $x/2$ или $2x$, значит, общая сумма может c равной вероятностью быть $1,5x$ или $3x$. Не причин, почему мы должны считать, что сумма $3x$ может быть поделена между нами только так, что я всегда получаю только $x$, следовательно я могу получить и $2x$, и далее по кругу.

Я Вас совершенно не понимаю. Если уж говорить о каких-то распределениях, то наиболее общим образом определяет задачу совместная вероятность $P(x_1, x_2)$, где $x_1$ - количество денег в первом конверте, а $x_2$ - во втором конверте.

EUgeneUS в сообщении #1423118 писал(а):

На что обращал внимание уважаемый epros, утверждая что имеется неявное утверждение симметричности игры (на самом деле - нет).

На самом деле да. Там чётко сказано, что игроки знают "только одно: в одном конверте денег вдвое больше, чем в другом". Т.е. информация, которой они располагают, одинаковая. Это всё, что нужно знать для принятия решения в игровой задаче.

EUgeneUS в сообщении #1423118 писал(а):

Как оно будет на самом деле, будет видно только после серии игр, когда статистика накопится.

Не надо выдумывать свою собственную постановку задачи вместо сформулированной. Вы можете сейчас предполагать что угодно, вплоть до того, что в первый конверт всегда кладут меньше и "после накопления статистики" игроки должны будут это понять. Но задача-то поставлена так, что игроки про принципы раскладывания денег по конвертам ничего не знают (кроме упомянутого). И решение им придётся принимать на основании этого знания, а не какой-то статистики.

[sergey zhukov]

epros в сообщении #1423131 писал(а):

Если уж говорить о каких-то распределениях, то наиболее общим образом определяет задачу совместная вероятность $P(x_1, x_2)$, где $x_1$ - количество денег в первом конверте, а $x_2$ - во втором конверте.

Если следовать только рассуждениям игрока, то мы получаем какую-то информацию только о распределении суммы в обоих конвертах. Прямо говорится, что сумма двух конвертов, равная $1,5x$ или $3x$, имеет равную вероятность розыгрыша для любого $x$. При этом сам $x$ получается не ограничен. Нет такого распределения.