Парадокс обмена

[Лукомор]

EUgeneUS в сообщении #1423054 писал(а):

У игрока достоверно в конверте $x$. Мат. ожидание суммы в конверте $x$
У ведущего с вероятностью $0.5$ в конверте $x/2$ и с вероятностью $0.5$ в конверте $2x$. Мат. ожидание суммы в конверте $5/4 x$.
Игроку меняться выгодно, ведущему не выгодно.
Если поменялись, становится наоборот: обратно меняться игроку не выгодно, ведущему выгодно.
С вероятностью $0.5$ у игрока в два раза больше, чем у ведущего; а с вероятностью $0.5$ у игрока в два раза меньше, чем у ведущего. Условия выполнены.
Распределение $x$ роли не играет.

Вот поясните, почему обратно меняться не выгодно?
У игрока ведь теперь на руках конверт с суммой, мат. ожидание которой $5x/4$.
А у ведущего - с вероятностью $0.5$ в конверте в два раза больше, то-есть $5x/2$, и с вероятностью $0.5$ в конверте в два раза меньше, то-есть $5x/8$. Мат. ожидание суммы в конверте ведущего теперь $25x/16 $.
И меняться обратно - архивыгодно! Если меняться конвертами туда-сюда, то мат. ожидание суммы в каждом конверте будет неограниченно расти в геометрической прогрессии с основанием $5/4$.
Для исправления ситуации предлагаю с каждого обмена взымать налог в размере $20%$.

[EUgeneUS]

Лукомор

Лукомор в сообщении #1423178 писал(а):

А у ведущего - с вероятностью $0.5$ в конверте в два раза больше, то-есть $5x/2$, и с вероятностью $0.5$ в конверте в два раза меньше, то-есть $5x/8$. Мат. ожидание суммы в конверте ведущего теперь $25x/16 $.

Тут ошибка. Аналогичная, как в рассуждениях игроков в стартовом посте: в начале рассуждений придумываем, что процедура асимметрична, а в ходе рассуждений считаем её симметричной. После обмена "ведущий" получает конверт, в котором достоверно сумма $x$.

-- 31.10.2019, 07:55 --

epros в сообщении #1423131 писал(а):

Вы как читаете?

Смотрю глазами и читаю. А Вы?

epros в сообщении #1423131 писал(а):

Вопрос задан в первом абзаце. А во втором абзаце задан совсем другой вопрос: В чём ошибка (в приведённых рассуждениях)?

Вот именно. Причем задача состоит из двух абзацев и заключается в нахождении ошибки в рассуждениях во втором.

epros в сообщении #1423131 писал(а):

Там нет никакой процедуры подготовки конвертов.

Что-то там было про суслика...
Если в условиях задачи ничего не сказано про процедуру подготовки конвертов, то это не значит, что её нет. Её не может не быть, ибо деньги в конвертах таки оказываются.

epros в сообщении #1423131 писал(а):

На самом деле да. Там чётко сказано, что игроки знают "только одно: в одном конверте денег вдвое больше, чем в другом". Т.е. информация, которой они располагают, одинаковая. Это всё, что нужно знать для принятия решения в игровой задаче.

В задаче ничего не сказано, что игроки обладают одинаковой информацией. Там сказано, что ведущий сообщает только одно (видимо, обоим игрокам). Больше ничего не сказано. Кроме того, будет игра симметричной или асимметричной от знаний игроков никак не зависит.

epros в сообщении #1423131 писал(а):

Это всё, что нужно знать для принятия решения в игровой задаче.

Нет. Не всё!
Игроки должны определить априорные вероятности, что игра симметрична, асимметрична в пользу игрока, асимметрична в пользу противника.
Вы предлагаете их определить симметрично, и считать игру симметричной.
Я определю их асимметрично: так как со мной не договаривались, а договаривались ли с противником я не знаю, то априорная вероятность, что игра асимметрична в пользу противника больше, чем априорная вероятность, что игра асимметрична в мою пользу.
А так как:

Цитата:

Априорное распределение часто задается субъективно опытным экспертом.

Вы никогда не докажете, что я не прав. Нету у Вас методов на Костю Сапрыкина.

Далее. Вы видимо не заметили в условиях:

sergey zhukov в сообщении #1422517 писал(а):

Игра продолжается многократно.

А раз так. То у нас появляется апостериорная вероятность. И далеко не факт, что она совпадет с априорной.

Стратегию описал выше:
1. В начале игры, как минимум в первых двух раундах, игрок должен "насильно" симметризовать игру (см. оценки априорной вероятности).
2. После появления оценок матожиданий выигрышей обоих игроков (без учета обменов) - принимать решение об обмене в зависимости от их соотношения.

-- 31.10.2019, 07:56 --

sergey zhukov в сообщении #1423141 писал(а):

Нет такого распределения.

его не может не быть.
И его вид довольно таки поучителен.

[Лукомор]

sergey zhukov в сообщении #1423113 писал(а):

Из рассуждений игрока получается, что ограничения тут нет.

Правильно. Это одна их ошибок в рассуждении игрока.

А ограничение есть, и нам не обязательно знать, какая именно максимальная сумма может оказаться в конверте.
Важно знать, что она существует, и что для нее правило нахождения среднего: "два раза плюс пол раза пополам" - не действует.

Пусть в конверте игрока оказалась именно эта максимальная сумма $x_\max$.
Для нее вероятность получить при обмене сумму $2x_\max$ равна нулю,
а вероятность получить сумму $x\max/2$ равна единице.
И средняя ожидаемая сумма после обмена составит
$0 \cdot 2 {x_\max} + 1 \cdot {x_\max}/2 = {x_\max}/2$.
И не только для $x_\max$, но и для любого $x$, из интервала значений
${x_\max}/2 < x \leqslant {x_\max}$.

-- Чт окт 31, 2019 07:22:55 --

EUgeneUS в сообщении #1423180 писал(а):

Тут ошибка. Аналогичная, как в рассуждениях игроков в стартовом посте: в начале рассуждений придумываем, что процедура асимметрична, а в ходе рассуждений считаем её симметричной.

В стартовом посте всё, как-раз, абсолютно симметрично.
Два абсолютно идентичных игрока, два абсолютно идентичных конверта.
Ведущий. Вручает конверты.
Ведущий не знает, в котором конверте находится $x$ денег, а в котором $5x/4$.
Два абсолютно идентичных игрока делают абсолютно идентичные ошибки.
В чем асимметрия-то?

[EUgeneUS]

Лукомор в сообщении #1423182 писал(а):

В стартовом посте всё, как-раз, абсолютно симметрично.

В стартовом посте просто нет информации, симметрично или несимметрично.
А это не означает, что всё симметрично.

Возможность асимметричной процедуры, удовлетворяющей ("симметричным") условиям, показана.

-- 31.10.2019, 08:44 --

Лукомор

Пусть $M_1$ - мат. ожидание выигрыша первого игрока (без обменов), $M_2$ - аналогично второго игрока.
Оцените $\frac{M_1}{M_2}$
Если "всё симметрично", то $\frac{M_1}{M_2}= \frac{M_2}{M_1} = 1$, но это не так.

-- 31.10.2019, 09:06 --

EUgeneUS в сообщении #1423180 писал(а):

1. В начале игры, как минимум в первых двух раундах, игрок должен "насильно" симметризовать игру (см. оценки априорной вероятности).

Строго говоря, при моих оценках априорной вероятности перекосов игрок должен обязательно меняться (в первых двух раундах).

[Лукомор]

sergey zhukov в сообщении #1423113 писал(а):

Если я получил $x$, а противник может равновероятно получить $x/2$ или $2x$, значит, общая сумма может c равной вероятностью быть $1,5x$ или $3x$. Не причин, почему мы должны считать, что сумма $3x$ может быть поделена между нами только так, что я всегда получаю только $x$, следовательно я могу получить и $2x$, и далее по кругу.

Вы - на правильном пути!
Действительно, если бы у нас было два конверта с одинаковыми суммами в каждом, и мы могли бы обменять их на два конверта, в которых половинная и удвоенная сумма, то это был бы выгодный обмен.
Но у нас только один конверт, и мы не знаем, могут ли, в принципе, существовать и половинная и удвоенная сумма.
Особенно удвоенная.
И вот, имея один конверт, мы пытаемся участвовать сразу в двух играх, причем в игре с меньшей общей суммой, $3x/2$, у нас всегда большая из двух, то-есть $x$, но уж если мы попали в игру с большей общей суммой, то у нас опять $x$, то-есть всегда меньшая из двух сумм.
Вот в этом и заключается вторая ошибка игрока.
А не надо пытаться усидеть сразу на двух стульях!
Вам осталось сделать один шаг до правильного заключения.
Возьмите общую сумму в двух конвертах и рассмотрите все возможные варианты:
какая часть общей суммы может оказаться у игрока в первом конверте, и как она изменится в случае обмена.
На самом деле это детская загадка, и отгадка у нее такая же - детская.

[EUgeneUS]

EUgeneUS в сообщении #1423186 писал(а):

Возможность асимметричной процедуры

Кстати, можно уйти от рассмотрения процедуры раскладывания денег в конверты и рассмотреть:

epros в сообщении #1423131 писал(а):

совместная вероятность $P(x_1, x_2)$, где $x_1$ - количество денег в первом конверте, а $x_2$ - во втором конверте.

При внимательном рассмотрении окажется, что никто не обещал счастья, что $P(x_1, x_2)$ симметрична относительно линии $x_1 = x_2$
Множество, где она может принимать не нулевые значения - да, симметрично. Но может, не значит обязана

-- 31.10.2019, 09:17 --

Лукомор в сообщении #1423191 писал(а):

На самом деле это детская загадка, и отгадка у нее такая же - детская.

Ответ на вопрос:

sergey zhukov в сообщении #1422517 писал(а):

Так рассуждает каждый, что невозможно. В чем ошибка?

Да, детская загадка.

Однако, ответ на вопрос:

sergey zhukov в сообщении #1422517 писал(а):

Какая стратегия максимизации выигрыша?

Не так прост, как может показаться на первый ("симметричный" ) взгляд.

[Лукомор]

EUgeneUS в сообщении #1423186 писал(а):

но это не так.

Почему не так?
А как Вы оцениваете $M_1/M_2$ ?

-- Чт окт 31, 2019 08:36:05 --

EUgeneUS в сообщении #1423186 писал(а):

Возможность асимметричной процедуры, удовлетворяющей ("симметричным") условиям, показана.

Это не означает, что невозможно придумать асимметричную процедуру, при которой обмен не выгоден игроку.

-- Чт окт 31, 2019 08:36:12 --

[EUgeneUS]

Лукомор в сообщении #1423193 писал(а):

Почему не так?
А как Вы оцениваете $M_1/M_2$ ?

Рассмотрим совместную вероятность $P(x, y)$
1. $P(0, 0) = 0$ (какие-то деньги в конвертах всегда есть).
2. Множество, где она может принимать не нулевые значения, есть два луча: $y = 2x$ и $y = x/2$, $x,y > 0$ (у одного всегда в два раза больше... или меньше).
3. $\sum\limits_{y=2x}^{} P(x, y) = \sum\limits_{y=x/2}^{} P(x, y) = 0.5$ (ситуация когда у первого в два раза больше, чем у второго равновероятна ситуации, когда наоборот).

И это всё, что мы знаем об $P(x, y)$

В силу (3) $P(x, y)$ не может принимать ненулеве значения только в точках на одном луче.
Выберем $P'(x, y)$, которая принимает не нулевые значение только в двух точках, по одной на каждом луче.
Расположения этих точек на лучах может быть любым. Ну и подвигаем их.
Получим оценку: $\frac{1}{2} < \frac{M_1}{M_2} < 2$
Поэтому при многократной игре мы должны контролировать это отношение.

-- 31.10.2019, 09:40 --

Лукомор в сообщении #1423193 писал(а):

Это не означает, что невозможно придумать асимметричную процедуру, при которой обмен не выгоден игроку.

Это означает, что такая процедура точно существует.
Далее - априорные ("экспертные" ) вероятности реализации перекосов в ту или иную сторону. В первых двух раундах. Потом появляются оценки матожиданий выигрышей, и можно ориентироваться на них.

[epros]

sergey zhukov в сообщении #1423141 писал(а):

Прямо говорится, что сумма двух конвертов, равная $1,5x$ или $3x$, имеет равную вероятность розыгрыша для любого $x$. При этом сам $x$ получается не ограничен. Нет такого распределения.

Вот Вы о чём. Оказывается, это было объяснение того, почему рассуждение второго абзаца стартового поста неверное. По-моему, слишком сложно. Достаточно дойти до предположения о равенстве двух условных вероятностей и сказать, что из условий задачи это не следует.

EUgeneUS в сообщении #1423180 писал(а):

Причем задача состоит из двух абзацев и заключается в нахождении ошибки в рассуждениях во втором

Нет, задача в первом абзаце, а во втором - попытка решения (неправильная) и вопрос в чём ошибка. Всё-таки Вы как-то не так читаете.

EUgeneUS в сообщении #1423180 писал(а):

В задаче ничего не сказано, что игроки обладают одинаковой информацией. Там сказано, что ведущий сообщает только одно (видимо, обоим игрокам).

Но один из игроков - подсадка и заранее знает, что в каких конвертах. Не хотите ещё так домыслить постановку? Нет уж, если написано, что игрокам сказано только то-то, значит по условиям задачи они больше ничего не знают.

EUgeneUS в сообщении #1423180 писал(а):

Кроме того, будет игра симметричной или асимметричной от знаний игроков никак не зависит.

Вы знаете такую игру, как чёт-нечет? Симметрична она или нет? От чего это ещё зависит кроме знаний игроков?

EUgeneUS в сообщении #1423180 писал(а):

Я определю их асимметрично: так как со мной не договаривались, а договаривались ли с противником я не знаю, то априорная вероятность, что игра асимметрична в пользу противника больше, чем априорная вероятность, что игра асимметрична в мою пользу.

То, что Вы этого не знаете, и означает симметричность: Может быть Вам будут подкладывать меньшую сумму в расчёте на то, что Вы не склонны к обмену, а может быть будут подкладывать большую сумму в расчёте на то, что Вы захотите меняться. Но суть в том, что Вы не можете предпочесть один из вариантов, ибо по условиям задачи оба конверта для Вас априорно равноценны (если перед игрой будет сделана замена, Вы об этом не узнаете).

Вы знаете каково равновесное решение в игре чёт-нечет? Если в реальности один из игроков окажется дебилом, который всегда выбирает чёт, и Вы скажете, что второй игрок должен набрать статистику и после этого начать всегда угадывать решение первого игрока, то Вам на экзамене поставят двойку. Почему? Потому что Вы вышли за рамки постановки игровой задачи, в которой предполагалось, что оба игрока - рациональны, что исключает возможность того, что один из них дебил.

[Лукомор]

EUgeneUS в сообщении #1423198 писал(а):

Далее - априорные ("экспертные" ) вероятности реализации перекосов в ту или иную сторону

Я имел в виду конкретную процедуру раскладывания денег по конвертам.
Всё-таки, существует максимальная сумма, которую можно обнаружить в конверте.
И те, кто раскладывают деньги по конвертам, эту максимальную сумму знают.
поэтому процедуру раскладывания денег предлагаю изменить.
1. Подбрасываем монету и определяем, из какого интервала будем брать $x$:
a). $x\leqslant x_\max/2$
b). $x>x_\max/2$

2a. Если выпал первый интервал, вторичным подбрасыванием монеты определяем количество денег во втором конверте: $2x$ или $x/2$.

2b. Если выпал второй интервал, без подбрасывания монеты вкладываем во второй конверт $x/2$.

При такой процедуре ожидаемое количество денег во втором конверте будет равно:
$\dfrac{5x/4+x/2}{2}=7x/8$.
При такой процедуре раскладывания денег по конвертам во втором конверте, в среднем, меньше денег, чем в первом, и обмен игроку не выгоден.

[EUgeneUS]

Лукомор в сообщении #1423204 писал(а):

Всё-таки, существует максимальная сумма, которую можно обнаружить в конверте.

Не обязательно.
Пусть общая сумма определяется по какому-нибудь распределению с хвостом в бесконечность.

Лукомор в сообщении #1423204 писал(а):

поэтому процедуру раскладывания денег предлагаю изменить.

Это предложение к организаторам игры
По факту игрок не знает процедуры (а значит и точного вида совместной вероятности $P(x,y)$).

-- 31.10.2019, 10:46 --

epros в сообщении #1423200 писал(а):

о один из игроков - подсадка и заранее знает, что в каких конвертах. Не хотите ещё так домыслить постановку?

нет, не хочу. Более того, я вообще не хочу домысливать постановку.

epros в сообщении #1423200 писал(а):

Вы знаете такую игру, как чёт-нечет?

Точных правил не знаю.

epros в сообщении #1423200 писал(а):

То, что Вы этого не знаете, и означает симметричность: Может быть Вам будут подкладывать меньшую сумму в расчёте на то, что Вы не склонны к обмену, а может быть будут подкладывать большую сумму в расчёте на то, что Вы захотите меняться. Но суть в том, что Вы не можете предпочесть один из вариантов, ибо по условиям задачи оба конверта для Вас априорно равноценны (если перед игрой будет сделана замена, Вы об этом не узнаете).

Суть в том, что это Вы домысливаете постановку задачи.
Задайте себе два вопроса: а) $P(x, y)$ симметрична ли относительно $x=y$?, б) а откуда Вы это знаете?
"ибо по условиям задачи оба конверта для Вас априорно равноценны" - это у Вас априори равноценны. А у меня априори неравноценны (почему - писал выше). В чем ошибка?
И Вы постоянно игнорируете то, что игра многократная, и априорные вероятности заменятся апостеорными.

-- 31.10.2019, 10:51 --

epros в сообщении #1423200 писал(а):

Потому что Вы вышли за рамки постановки игровой задачи, в которой предполагалось, что оба игрока - рациональны, что исключает возможность того, что один из них дебил.

Как указал выше, я не знаю точных правил игры "чет-нечет", может в этих правилах заранее задано, что игроки обязаны быть рациональными.
А может в учебной задаче ЯВНО сказано считать игроков рациональными.

В рассматриваемой задаче нет никакой информации о симметричности игры. Нету.
Вы можете назначить априорную вероятность единица, что она симметричная. Можете даже свечку в церкви поставить, чтобы игра была симметричной. Всё это не гарантирует, что игра симметрична на самом деле.
Ссылки на рациональность тут вообще не к месту. Так как организатор игры всегда в минусе.
Кстати, именно рациональность инсайдера приведет к перекосам в сторону подсадной утки.

-- 31.10.2019, 11:06 --

epros
если говорить про аналогии, то вот такая аналогия - игра в орлянку монетой, для которой не гарантируется честность.

[Лукомор]

EUgeneUS в сообщении #1423207 писал(а):

Это предложение к организаторам игры

Да, это Ваше предложение к организаторам игры.
Я его слегка подправил ...
Я просто показал, что Ваша асимметричная игра, если не забывать о некоторых существенных деталях, не выгодна игроку, а выгодна ведущему, то есть все у Вас правильно с точностью до наоборот.

-- Чт окт 31, 2019 10:19:05 --

EUgeneUS в сообщении #1423207 писал(а):

Пусть общая сумма определяется по какому-нибудь распределению с хвостом в бесконечность.

Если бы Вы лично свои деньги выделяли на это шоу, мне кажется и хвост в бесконечность сразу бы очень сильно поубавился, и верхняя граница сумм в конвертах быстро нашлась бы!
И не такая уж страшно большая эта верхняя граница оказалась бы....

[EUgeneUS]

Лукомор
С точки зрения игрока (игроков) сам по себе "хвост в бесконечность" ни на что не влияет.
Если кроме ограничения максимальной суммы ограничивать и минимальную, то это всего лишь приведет к уточнению оценки отношения матожиданий сумм в конвертах до: $1/2 + \varepsilon_1 < M_1/M_2 < 2 - \varepsilon_2$ (неравенства могут оказаться и не строгими), но оценка отношения никак не сведется к $M_1/M_2 =1$

-- 31.10.2019, 11:40 --

Лукомор в сообщении #1423217 писал(а):

Я просто показал, что Ваша асимметричная игра, если не забывать о некоторых существенных деталях, не выгодна игроку, а выгодна ведущему, то есть все у Вас правильно с точностью до наоборот.

Организаторам игры она вообще не выгодна, так как они в любом случае теряют деньги.
А игроку (каждому) игра в любом случае выгодна, так как он в любом случае получает деньги.

Если считаем, что организаторы (или инсайдеры среди организаторов) заинтересованы в том чтобы игрок1 ("подсадная утка" или "ведущий") получил больше денег, чем игрок2, то игрок2 должен положить больше априорной вероятности на перекос в сторону противника. О чем писал уважаемому epros.

[epros]

EUgeneUS в сообщении #1423207 писал(а):

это у Вас априори равноценны. А у меня априори неравноценны (почему - писал выше). В чем ошибка?

В том, что Вы домысливаете неравноценность. По условиям задачи у игрока нет оснований предпочесть один конверт другому.

EUgeneUS в сообщении #1423207 писал(а):

И Вы постоянно игнорируете то, что игра многократная, и априорные вероятности заменятся апостеорными.

Игры, конечно, бывают многоходовые (как шахматы). Но эта постановка - не тот случай. Многократность игры, даже если ТС зачем-то явно упомянул её, ничего не меняет в постановке.

Постараюсь объяснить на примере той же игры чёт-нечет. Рациональная стратегия (решение игровой задачи) в этой игре - использовать генератор случайных чисел с равновероятным выбором чёта или нечета. Понятно, что в однократной игре игрок может как выиграть, так и проиграть. Поэтому однократный результат как бы ни о чём не говорит (кроме везения). А вот на большой статистике можно увидеть, что игрок в среднем выходит на нулевой результат, что на самом деле является наилучшим решением при игре против такого же рационального игрока. Но само-то решение (использовать генератор случайных чисел) находится однократно, а не выбирается по результатам "анализа статистики".

EUgeneUS в сообщении #1423207 писал(а):

Как указал выше, я не знаю точных правил игры "чет-нечет", может в этих правилах заранее задано, что игроки обязаны быть рациональными.

Да, это явно задано. И даже если об этом забыли сказать явно, всё равно это должно подразумеваться как стандартное условие для задач такого класса.

Странно, что Вы не знаете правил. Игра очень проста: два игрока загадывают чёт или нечет. Первый платит рубль второму при совпадении, второй платит рубль первому при несовпадении. Вопрос заключается в том, что должен загадывать каждый игрок из рациональных соображений.

Разумеется, слова про рациональные соображения можно не упоминать, потому что дебилу или человеку, который не ценит деньги, решение вообще не нужно.

Вот как бы Вы стали искать решение? Будете опять домысливать про закономерности, которые могут выявиться в стратегии противника и которые мы должны учесть после анализа статистики?

[Лукомор]

EUgeneUS в сообщении #1423207 писал(а):

вот такая аналогия - игра в орлянку монетой, для которой не гарантируется честность.

Мне Ваша асимметричная процедура представляется такой, которая не гарантирует честность.
Поясню на примере.
Для простоты пусть Вы выбрали $x=100$ рублей.
Подбросив честную монетку, Вы определяете что будет во втором конверте - $50$ или $200$ рублей.
И вы, ведущий, отдаете первому игроку строго первый конверт, и ни в коем случае не второй.
В этом моменте я вижу элемент нечестности ведущего.
Честнее было бы позволить игроку самому, не предвзято, выбирать из двух конвертов один.
Вы бы еще крестом пометили тот конверт в котором сотня лежит, чтобы не перепутать.