Найти матрицу оператора в паре базисов

[Vladonpw]

Найти матрицу $A_{BC}$ линейного оператора $L :R^{3}\to R^{2}$ заданного следующим образом

$ L((x,y,z)) = (3y+2z, 4x-7y) $ в базисах

$B={{(-5, -3, -2), (3, 0, 1), (5, 2, 2)}}$ , $C={(4, 3), (-3, -2)}$

Вроде, нашел теорию в учебнике Ким Крицков "Линейная алгебра и аналитическая геометрия", посмотрел примеры задач в соответствующем задачнике, но такого не нашел. Не понимаю, как применить теорию к решению этой задачи.

$$ F \cdot \begin{pmatrix} X \\ Y\\ Z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3y+2z \\ 4x-7y \end{pmatrix}$$

Update:
Что нужно сделать с полученной матрицей $F$?
$A'=T^{-1}\cdot A \cdot T$ - переход из одного базиса в другой для оператора
Но тут сразу в двух базисах, еще и размерности разные. Не понимаю, что следует сделать.


Спасибо.

[Eule_A]

Vladonpw
Вы начните с того, что сформулируйте определение матрицы оператора в некотором базисе - и действуйте в полном соответствии.
А ещё лучше - начните с приведения формул в порядок. Они у Вас набраны неправильно.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Eule_A]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: формулы исправлены.

-- 14.10.2019, 21:06 --

Vladonpw, ещё раз призываю не искать все формулы, напоминающие условие, а дать определение объекта, который требуется построить.

[Vladonpw]

Верно ли я понимаю, что решением будут следующие действия:
1. $F_1 = F \cdot B $ - получение образа векторов базиса B
2. $F_2 = C \cdot F_1$ - переход от естественного базиса к базису C

Таким образом решением будет являться матрица $C \cdot F \cdot B$

Правильно ли я понимаю, что в пункте 1) образы будут записаны в естественном базисе?

[Vladonpw]

Eule_A
Так выходит что, объектом будет матрица, состоящая из образов первого базиса, записанная во втором базисе

[Eule_A]

Vladonpw
Осталось аккуратнее сформулировать (как именно следует записать образы базисных векторов) да и сделать уже.

[Vladonpw]

Eule_A
Образы базисных векторов в столбцы записать.
Я немного так и не понял:
брать матрицу $C$ в произведении или же $C^{-1}$ , где матрица $C$ - переход от естественного к базису $C$

[Eule_A]

Vladonpw в сообщении #1420861 писал(а):

Я немного так и не понял:
брать матрицу $C$ в произведении или же $C^{-1}$ , где матрица $C$ - переход от естественного к базису $C$

Вы говорите о вещах, которые Вам никто не советовал. Здесь, по крайней мере. Что за естественный базис?.. От кого к кому переходят...

Vladonpw в сообщении #1420861 писал(а):

Образы базисных векторов в столбцы записать.

Вот у Вас есть базисные векторы в пространстве $R^3$. Нашли их образы при отображении. Результат разложили по базису пространства $R^2$ - результат записали по столбцам. Какой ещё переход Вы собрались делать?

[Vladonpw]

Eule_A в сообщении #1420862 писал(а):

Результат разложили по базису пространства $R^2$ - результат записали по столбцам.

1. Воздействую оператором $F$ на вектора базиса $B$ и получаю матрицу $G = \begin{pmatrix} F(B_1) &F(B_2) & F(B_3) \end{pmatrix}$, где $F(B_i)$ - векторы столбцы
2. А как сделать правильно дальнейший ход?
P.s. запутался уже) не могу понять, как разложить по базису $C$

[Eule_A]

Знаете, начните всё-таки записывать не в общем абстрактном виде формулы, а применительно к Вашей задаче. Напишите хотя бы один образ базисного вектора из совокупности $B$. Дальше вспомните и запишите, что значит по определению - "разложить вектор по базису". Запишите это применительно к найденному образу базисного вектора.

Задача-то простая совсем, чтобы столько о ней говорить.

[Vladonpw]

Eule_A

$$G = \begin{pmatrix} -13& 2& 10 \\ 1& 12& 6 \end{pmatrix}$$

$$C = \begin{pmatrix} 4& -3 \\ 3& -2 \end{pmatrix}$$

$$ $С^{-1}$ = \begin{pmatrix} -2& 3 & \\ -3& 4 \end{pmatrix}$$

$$ $C^{-1} \cdot G = \begin{pmatrix} 29& 32 &-2 \\ 43& 42 & -6 \end{pmatrix}$-итоговый ответ$$

[Eule_A]

Проверяю (что и Вы могли сделать). Первый столбец матрицы, которую Вы называете ответом, должен быть координатами образа первого базисного вектора в базисе пространства $R^2$. Т.е. $F(B_1)=29C_1+43C_2$. Аналогично с двумя остальными столбцами. Получается?

[Vladonpw]

Eule_A
Верно все, спасибо)

[pandemodeus]

Нет, ну можно, конечно, рассмотреть оператор в естественных базисах пространств и расписать его матрицу, затем выписать матрицы перехода от естественных базисов к указанным, и воспользоваться формулой для матрицы оператора в различных базисах. В указанном Вами учебнике это рассматривается. Но путь 1) Подействовать - 2) Разложить короче.