2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Найти матрицу оператора в паре базисов
Сообщение14.10.2019, 18:09 


14/10/19
55
Найти матрицу $A_{BC}$ линейного оператора $L :R^{3}\to R^{2}$ заданного следующим образом

$ L((x,y,z)) = (3y+2z, 4x-7y) $ в базисах

$B={{(-5, -3, -2), (3, 0, 1), (5, 2, 2)}}$ , $C={(4, 3), (-3, -2)}$

Вроде, нашел теорию в учебнике Ким Крицков "Линейная алгебра и аналитическая геометрия", посмотрел примеры задач в соответствующем задачнике, но такого не нашел. Не понимаю, как применить теорию к решению этой задачи.

$$ F \cdot \begin{pmatrix}
 X \\
 Y\\
 Z
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
3y+2z \\
 4x-7y
\end{pmatrix}$$

Update:
Что нужно сделать с полученной матрицей $F$?
$A'=T^{-1}\cdot A \cdot T$ - переход из одного базиса в другой для оператора
Но тут сразу в двух базисах, еще и размерности разные. Не понимаю, что следует сделать.


Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти матрицу оператора в базисах
Сообщение14.10.2019, 18:16 
Модератор
Аватара пользователя


30/09/17
1237
Vladonpw
Вы начните с того, что сформулируйте определение матрицы оператора в некотором базисе - и действуйте в полном соответствии.
А ещё лучше - начните с приведения формул в порядок. Они у Вас набраны неправильно.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение14.10.2019, 18:41 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение14.10.2019, 21:05 
Модератор
Аватара пользователя


30/09/17
1237
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: формулы исправлены.


-- 14.10.2019, 21:06 --

Vladonpw, ещё раз призываю не искать все формулы, напоминающие условие, а дать определение объекта, который требуется построить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти матрицу оператора в паре базисов
Сообщение14.10.2019, 21:36 


14/10/19
55
Верно ли я понимаю, что решением будут следующие действия:
1. $F_1 = F \cdot B $ - получение образа векторов базиса B
2. $F_2 = C \cdot F_1$ - переход от естественного базиса к базису C

Таким образом решением будет являться матрица $C \cdot F \cdot B$

Правильно ли я понимаю, что в пункте 1) образы будут записаны в естественном базисе?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти матрицу оператора в паре базисов
Сообщение15.10.2019, 13:00 


14/10/19
55
Eule_A
Так выходит что, объектом будет матрица, состоящая из образов первого базиса, записанная во втором базисе

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти матрицу оператора в паре базисов
Сообщение15.10.2019, 13:29 
Модератор
Аватара пользователя


30/09/17
1237
Vladonpw
Осталось аккуратнее сформулировать (как именно следует записать образы базисных векторов) да и сделать уже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти матрицу оператора в паре базисов
Сообщение15.10.2019, 13:41 


14/10/19
55
Eule_A
Образы базисных векторов в столбцы записать.
Я немного так и не понял:
брать матрицу $C$ в произведении или же $C^{-1}$ , где матрица $C$ - переход от естественного к базису $C$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти матрицу оператора в паре базисов
Сообщение15.10.2019, 14:03 
Модератор
Аватара пользователя


30/09/17
1237
Vladonpw в сообщении #1420861 писал(а):
Я немного так и не понял:
брать матрицу $C$ в произведении или же $C^{-1}$ , где матрица $C$ - переход от естественного к базису $C$

Вы говорите о вещах, которые Вам никто не советовал. Здесь, по крайней мере. Что за естественный базис?.. От кого к кому переходят...
Vladonpw в сообщении #1420861 писал(а):
Образы базисных векторов в столбцы записать.

Вот у Вас есть базисные векторы в пространстве $R^3$. Нашли их образы при отображении. Результат разложили по базису пространства $R^2$ - результат записали по столбцам. Какой ещё переход Вы собрались делать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти матрицу оператора в паре базисов
Сообщение15.10.2019, 14:31 


14/10/19
55
Eule_A в сообщении #1420862 писал(а):
Результат разложили по базису пространства $R^2$ - результат записали по столбцам.


1. Воздействую оператором $F$ на вектора базиса $B$ и получаю матрицу $G = \begin{pmatrix}
F(B_1) &F(B_2) & F(B_3) 
\end{pmatrix}$, где $F(B_i)$ - векторы столбцы
2. А как сделать правильно дальнейший ход?
P.s. запутался уже) не могу понять, как разложить по базису $C$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти матрицу оператора в паре базисов
Сообщение15.10.2019, 14:51 
Модератор
Аватара пользователя


30/09/17
1237
Знаете, начните всё-таки записывать не в общем абстрактном виде формулы, а применительно к Вашей задаче. Напишите хотя бы один образ базисного вектора из совокупности $B$. Дальше вспомните и запишите, что значит по определению - "разложить вектор по базису". Запишите это применительно к найденному образу базисного вектора.

Задача-то простая совсем, чтобы столько о ней говорить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти матрицу оператора в паре базисов
Сообщение15.10.2019, 15:06 


14/10/19
55
Eule_A
$$G = \begin{pmatrix}
 -13& 2& 10 \\
 1& 12& 6
\end{pmatrix}$$

$$C = \begin{pmatrix}
 4&  -3 \\
 3& -2  
\end{pmatrix}$$

$$ $С^{-1}$ = \begin{pmatrix}
 -2& 3 & \\
 -3& 4 
\end{pmatrix}$$

$$ $C^{-1} \cdot G = \begin{pmatrix}
 29& 32 &-2 \\
 43& 42  & -6 
\end{pmatrix}$-итоговый ответ$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти матрицу оператора в паре базисов
Сообщение15.10.2019, 15:24 
Модератор
Аватара пользователя


30/09/17
1237
Проверяю (что и Вы могли сделать). Первый столбец матрицы, которую Вы называете ответом, должен быть координатами образа первого базисного вектора в базисе пространства $R^2$. Т.е. $F(B_1)=29C_1+43C_2$. Аналогично с двумя остальными столбцами. Получается?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти матрицу оператора в паре базисов
Сообщение15.10.2019, 15:55 


14/10/19
55
Eule_A
Верно все, спасибо)

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти матрицу оператора в паре базисов
Сообщение18.10.2019, 19:20 


06/02/19
74
Нет, ну можно, конечно, рассмотреть оператор в естественных базисах пространств и расписать его матрицу, затем выписать матрицы перехода от естественных базисов к указанным, и воспользоваться формулой для матрицы оператора в различных базисах. В указанном Вами учебнике это рассматривается. Но путь 1) Подействовать - 2) Разложить короче.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group