2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Найти матрицу оператора в паре базисов
Сообщение14.10.2019, 18:09 


14/10/19
55
Найти матрицу $A_{BC}$ линейного оператора $L :R^{3}\to R^{2}$ заданного следующим образом

$ L((x,y,z)) = (3y+2z, 4x-7y) $ в базисах

$B={{(-5, -3, -2), (3, 0, 1), (5, 2, 2)}}$ , $C={(4, 3), (-3, -2)}$

Вроде, нашел теорию в учебнике Ким Крицков "Линейная алгебра и аналитическая геометрия", посмотрел примеры задач в соответствующем задачнике, но такого не нашел. Не понимаю, как применить теорию к решению этой задачи.

$$ F \cdot \begin{pmatrix}
 X \\
 Y\\
 Z
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
3y+2z \\
 4x-7y
\end{pmatrix}$$

Update:
Что нужно сделать с полученной матрицей $F$?
$A'=T^{-1}\cdot A \cdot T$ - переход из одного базиса в другой для оператора
Но тут сразу в двух базисах, еще и размерности разные. Не понимаю, что следует сделать.


Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти матрицу оператора в базисах
Сообщение14.10.2019, 18:16 
Модератор
Аватара пользователя


30/09/17
1237
Vladonpw
Вы начните с того, что сформулируйте определение матрицы оператора в некотором базисе - и действуйте в полном соответствии.
А ещё лучше - начните с приведения формул в порядок. Они у Вас набраны неправильно.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение14.10.2019, 18:41 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение14.10.2019, 21:05 
Модератор
Аватара пользователя


30/09/17
1237
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: формулы исправлены.


-- 14.10.2019, 21:06 --

Vladonpw, ещё раз призываю не искать все формулы, напоминающие условие, а дать определение объекта, который требуется построить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти матрицу оператора в паре базисов
Сообщение14.10.2019, 21:36 


14/10/19
55
Верно ли я понимаю, что решением будут следующие действия:
1. $F_1 = F \cdot B $ - получение образа векторов базиса B
2. $F_2 = C \cdot F_1$ - переход от естественного базиса к базису C

Таким образом решением будет являться матрица $C \cdot F \cdot B$

Правильно ли я понимаю, что в пункте 1) образы будут записаны в естественном базисе?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти матрицу оператора в паре базисов
Сообщение15.10.2019, 13:00 


14/10/19
55
Eule_A
Так выходит что, объектом будет матрица, состоящая из образов первого базиса, записанная во втором базисе

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти матрицу оператора в паре базисов
Сообщение15.10.2019, 13:29 
Модератор
Аватара пользователя


30/09/17
1237
Vladonpw
Осталось аккуратнее сформулировать (как именно следует записать образы базисных векторов) да и сделать уже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти матрицу оператора в паре базисов
Сообщение15.10.2019, 13:41 


14/10/19
55
Eule_A
Образы базисных векторов в столбцы записать.
Я немного так и не понял:
брать матрицу $C$ в произведении или же $C^{-1}$ , где матрица $C$ - переход от естественного к базису $C$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти матрицу оператора в паре базисов
Сообщение15.10.2019, 14:03 
Модератор
Аватара пользователя


30/09/17
1237
Vladonpw в сообщении #1420861 писал(а):
Я немного так и не понял:
брать матрицу $C$ в произведении или же $C^{-1}$ , где матрица $C$ - переход от естественного к базису $C$

Вы говорите о вещах, которые Вам никто не советовал. Здесь, по крайней мере. Что за естественный базис?.. От кого к кому переходят...
Vladonpw в сообщении #1420861 писал(а):
Образы базисных векторов в столбцы записать.

Вот у Вас есть базисные векторы в пространстве $R^3$. Нашли их образы при отображении. Результат разложили по базису пространства $R^2$ - результат записали по столбцам. Какой ещё переход Вы собрались делать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти матрицу оператора в паре базисов
Сообщение15.10.2019, 14:31 


14/10/19
55
Eule_A в сообщении #1420862 писал(а):
Результат разложили по базису пространства $R^2$ - результат записали по столбцам.


1. Воздействую оператором $F$ на вектора базиса $B$ и получаю матрицу $G = \begin{pmatrix}
F(B_1) &F(B_2) & F(B_3) 
\end{pmatrix}$, где $F(B_i)$ - векторы столбцы
2. А как сделать правильно дальнейший ход?
P.s. запутался уже) не могу понять, как разложить по базису $C$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти матрицу оператора в паре базисов
Сообщение15.10.2019, 14:51 
Модератор
Аватара пользователя


30/09/17
1237
Знаете, начните всё-таки записывать не в общем абстрактном виде формулы, а применительно к Вашей задаче. Напишите хотя бы один образ базисного вектора из совокупности $B$. Дальше вспомните и запишите, что значит по определению - "разложить вектор по базису". Запишите это применительно к найденному образу базисного вектора.

Задача-то простая совсем, чтобы столько о ней говорить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти матрицу оператора в паре базисов
Сообщение15.10.2019, 15:06 


14/10/19
55
Eule_A
$$G = \begin{pmatrix}
 -13& 2& 10 \\
 1& 12& 6
\end{pmatrix}$$

$$C = \begin{pmatrix}
 4&  -3 \\
 3& -2  
\end{pmatrix}$$

$$ $С^{-1}$ = \begin{pmatrix}
 -2& 3 & \\
 -3& 4 
\end{pmatrix}$$

$$ $C^{-1} \cdot G = \begin{pmatrix}
 29& 32 &-2 \\
 43& 42  & -6 
\end{pmatrix}$-итоговый ответ$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти матрицу оператора в паре базисов
Сообщение15.10.2019, 15:24 
Модератор
Аватара пользователя


30/09/17
1237
Проверяю (что и Вы могли сделать). Первый столбец матрицы, которую Вы называете ответом, должен быть координатами образа первого базисного вектора в базисе пространства $R^2$. Т.е. $F(B_1)=29C_1+43C_2$. Аналогично с двумя остальными столбцами. Получается?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти матрицу оператора в паре базисов
Сообщение15.10.2019, 15:55 


14/10/19
55
Eule_A
Верно все, спасибо)

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти матрицу оператора в паре базисов
Сообщение18.10.2019, 19:20 


06/02/19
74
Нет, ну можно, конечно, рассмотреть оператор в естественных базисах пространств и расписать его матрицу, затем выписать матрицы перехода от естественных базисов к указанным, и воспользоваться формулой для матрицы оператора в различных базисах. В указанном Вами учебнике это рассматривается. Но путь 1) Подействовать - 2) Разложить короче.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: dgwuqtj


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group