Дискуссионное решение в радикалах кубического уравнения

[dmd]

Продолжение полином-анализа.


Короткая нотация полином-переменных:

$x_{ji}=x_j-x_i,f_{21}=f_2-f_1,a_{32}=a_3-a_2,b_{41}=b_4-b_1,...$


Однопеременная полином-функция степени $n$:

$\begin{cases}\displaystyle f_{21}=\sum_{i=1}^{n} a_{1(i)}x_{21}^i\\ \displaystyle a_{2(i)}\bigg|_{i=1}^{n}=\sum_{j=i}^{n} {{j}\choose{i}} a_{1(j)}x_{21}^{j-i}\end{cases}$

По сути это функция и все её производные.


Любые изменения функции от состояния $1$ описываются коэффициентами с индексом $1$ как $a_1$:

$\begin{cases}\displaystyle f_{31}=\sum_{i=1}^{n} a_{1(i)}x_{31}^i\\ \displaystyle a_{3(i)}\bigg|_{i=1}^{n}=\sum_{j=i}^{n} {{j}\choose{i}} a_{1(j)}x_{31}^{j-i}\end{cases}$


Но изменения от состояния $2$ должны описываться коэффициентами с индексом $2$, т.е. $a_2$, которые являются аналогами стандартных производных:

$\begin{cases}\displaystyle f_{32}=\sum_{i=1}^{n} a_{2(i)}x_{32}^i\\ \displaystyle a_{3(i)}\bigg|_{i=1}^{n}=\sum_{j=i}^{n} {{j}\choose{i}} a_{2(j)}x_{32}^{j-i}\end{cases}$



Код для проверки в Вольфраматике (изменения функции, высчитанные напрямую и через производные коэффициенты - должны совпасть):

n=RandomInteger[{16,48}];
Print["n = ",n];
a1=RandomInteger[{-100,100},n];
f21=Sum[a1[[i]] x21^i,{i,1,n}];
Print["f21 = ",f21];
t21=RandomInteger[{-100,100}];
Print["x21 = ",t21];
Print["f21 = ",s21=f21/.x21->t21];
f31=Sum[a1[[i]] x31^i,{i,1,n}];
Print["f31 = ",f31];
t31=RandomInteger[{-100,100}];
Print["x31 = ",t31];
Print["f31 = ",s31=f31/.x31->t31];
Print["x32 = x31-x21 = ",t32=t31-t21];
Print["f32 = f31-f21 = ",s31-s21];
a2=Table[Sum[Binomial[j,i]a1[[j]] x21^(j-i),{j,i,n}],{i,1,n}];
f32=Sum[(a2[[i]]/.x21->t21) x32^i,{i,1,n}];
Print["f32 = ",f32];
Print["f32(",t32,") = ",f32/.x32->t32];


Выглядит примерно так:

[dmd]

Двупеременная полином-функция степени $n$ со всеми её частными производными:

$\begin{cases}\displaystyle f_{21}=\sum_{i=0}^{n} \sum_{j=0}^{n} a_{1(i,j)}x_{21}^i y_{21}^j \quad : \, 1 \leq i+j \leq n\\ \displaystyle a_{2(i,j)}\bigg|_{i=0}^{n}\bigg|_{j=0}^{n}=\sum_{K_i=i}^{n}\sum_{K_j=j}^{n} {{K_i}\choose{i,K_i-i}} {{K_j}\choose{j,K_j-j}} a_{1(K_i,K_j)}x_{21}^{K_i-i}y_{21}^{K_j-j} \quad : \, 1 \leq i+j \leq K_i+K_j \leq n\end{cases}$


Проверка:

n=RandomInteger[{8,16}];
Print["n = ",n];
a1=Table[If[1<=i+j<=n,RandomInteger[{-100,100}],0],{i,0,n},{j,0,n}];
f21=Sum[a1[[i+1,j+1]] x21^i y21^j,{i,0,n},{j,0,n}];
Print["f21 = ",f21];
tx21=RandomInteger[{-100,100}];ty21=RandomInteger[{-100,100}];
Print["x21 = ",tx21," , y21 = ",ty21];
Print["f21 = ",s21=f21/.{x21->tx21,y21->ty21}];
f31=Sum[a1[[i+1,j+1]] x31^i y31^j,{i,0,n},{j,0,n}];
Print["f31 = ",f31];
tx31=RandomInteger[{-100,100}];ty31=RandomInteger[{-100,100}];
Print["x31 = ",tx31," , y31 = ",ty31];
Print["f31 = ",s31=f31/.{x31->tx31,y31->ty31}];
Print["x32 = x31-x21 = ",tx32=tx31-tx21," , y32 = y31-y21 = ",ty32=ty31-ty21];
Print["f32 = f31-f21 = ",s31-s21];
a2=Table[If[1<=i+j<=n,Sum[If[i+j<=Ki+Kj<=n,Multinomial[i,Ki-i]Multinomial[j,Kj-j]a1[[Ki+1,Kj+1]]x21^(Ki-i)y21^(Kj-j),0],{Ki,i,n},{Kj,j,n}],0],{i,0,n},{j,0,n}];
f32=Sum[(a2[[i+1,j+1]]/.{x21->tx21,y21->ty21}) x32^i y32^j,{i,0,n},{j,0,n}];
Print["f32 = ",f32];
Print["f32(",tx32,",",ty32,") = ",f32/.{x32->tx32,y32->ty32}];


Выглядит проверка так:



Индуктивно должно быть понятно, как могут выглядеть формулы для производных коэффициентов в трёх-/четырёх-переменных полином-функциях - в них всегда будут присутствовать произведения мультиномиальных коэффициентов.

[dmd]

Примеры элементарных функций.


$f(x)=\dfrac{1}{x}$

$f_{21}=\dfrac{1}{x_{21}}$, $f_{31}=\dfrac{1}{x_{31}}$, но $f_{32} \neq \dfrac{1}{x_{32}}$

От состояния $2$ функция "живёт" строго полиномно:

$f_{32} = a_2 x_{32} + b_2 x_{32}^2 + c_2 x_{32}^3 + ...$

$f_{32} = f_{31}-f_{21} = \dfrac{1}{x_{31}} - \dfrac{1}{x_{21}} = \dfrac{1}{x_{32}+x_{21}} - \dfrac{1}{x_{21}} = -\dfrac{x_{32}}{x_{21}(x_{32}+x_{21})}=\\ \phantom{} \qquad -\dfrac{x_{32}}{x_{21}^2} + \dfrac{x_{32}^2}{x_{21}^2 (x_{32}+x_{21})} = -\dfrac{x_{32}}{x_{21}^2} + \dfrac{x_{32}^2}{x_{21}^3} - \dfrac{x_{32}^3}{x_{21}^3 (x_{32}+x_{21})} = ...$

Т.е. $a_2 = -\dfrac{1}{x_{21}^2}$, $b_2 = \dfrac{1}{x_{21}^3}$, $c_2 = -\dfrac{1}{x_{21}^4}$, ...

У Лагранжа в "Теории аналитических функций" (1797) это $p,q,r$:


Проверка:
f21=1/x21;
Print["f21 = ",f21];
t21=RandomInteger[{1,100}];
Print["x21 = ",t21];
Print["f21 = ",s21=f21/.x21->t21];
f31=1/x31;
Print["f31 = ",f31];
t31=RandomInteger[{1,100}];
Print["x31 = ",t31];
Print["f31 = ",s31=f31/.x31->t31];
Print["x32 = x31-x21 = ",t32=t31-t21];
Print["f32 = f31-f21 = ",(s31-s21)//N];
n=RandomInteger[{500,1000}];
Print["n = ",n];
a2=Table[(-1)^i /x21^(i+1),{i,1,n}];
f32=Sum[(a2[[i]]/.x21->t21) x32^i,{i,1,n}];
(*Print["f32 = ",f32];*)
Print["f32(",t32,") = ",(f32/.x32->t32)//N];

Если степенной ряд $f_{32}$ сходится при конкретных значениях коэффициентов $a_2$, то проверка идеально выполняется.



$f(x)=\sqrt{x}$

$f_{21}=\sqrt{x_{21}}$, $f_{31}=\sqrt {x_{31}}$

$f_{32}=a_2 x_{32}+b_2 x_{32}^2 + c_2 x_{32}^3+ ...$

$f_{32}=f_{31}-f_{21}= \sqrt {x_{31}}-\sqrt {x_{21}}= \sqrt {x_{32}+x_{21}}-\sqrt {x_{21}}=\dfrac {x_{32}} {\sqrt {x_{32}+x_{21}} + \sqrt {x_{21}}}=\\ \phantom{} \qquad \dfrac {x_{32}} {2\sqrt {x_{21}}}-\dfrac {x_{32}^2} {2\sqrt {x_{21}} (\sqrt {x_{32}+x_{21}} + \sqrt {x_{21}})^2}=\dfrac {x_{32}} {2\sqrt {x_{21}}}-\dfrac {x_{32}^2} {8x_{21}\sqrt {x_{21}}}+\\ \phantom{} \qquad \dfrac {x_{32}^3 (\sqrt {x_{32}+x_{21}} + 3\sqrt {x_{21}})} {8x_{21}\sqrt {x_{21}} (\sqrt {x_{32}+x_{21}} + \sqrt {x_{21}})^3}=...\\$

Т.е. $a_2=\dfrac{1}{2\sqrt{x_{21}}}$, $b_2=-\dfrac{1}{8x_{21}\sqrt{x_{21}}}$, $c_2=\dfrac{1}{16x_{21}^2\sqrt {x_{21}}}$, ...



Проверка:
f21=Sqrt[x21];
Print["f21 = ",f21];
t21=RandomInteger[{1,100}];
Print["x21 = ",t21];
Print["f21 = ",s21=f21/.x21->t21];
f31=Sqrt[x31];
Print["f31 = ",f31];
t31=RandomInteger[{1,100}];
Print["x31 = ",t31];
Print["f31 = ",s31=f31/.x31->t31];
Print["x32 = x31-x21 = ",t32=t31-t21];
Print["f32 = f31-f21 = ",(s31-s21)//N];
n=RandomInteger[{500,1000}];
Print["n = ",n];
a2=Table[(-1)^(i-1) Numerator[(2i-3)!!/i!]/(Denominator[Binomial[2i,i]/4^i]Sqrt[x21^(2i-1)]),{i,1,n}];
f32=Sum[(a2[[i]]/.x21->t21) x32^i,{i,1,n}];
(*Print["f32 = ",f32];*)
Print["f32(",t32,") = ",(f32/.x32->t32)//N];



$f(x)=A^{x}$

$f_{21}=A^{x_{21}}$, $f_{31}=A^{x_{31}}$

$f_{32}=a_2 x_{32}+b_2 x_{32}^2 + c_2 x_{32}^3+ ...$

$f_{32}=f_{31}-f_{21}= A^{x_{31}}-A^{x_{21}}= A^{x_{32}+x_{21}}-A^{x_{21}}=A^{x_{21}}(A^{x_{32}}-1)$

$A^{x_{32}}=e^{x_{32}\ln {A}}=1+\dfrac {x_{32}\ln {A}} {1!}+\dfrac {(x_{32}\ln {A})^2} {2!}+\dfrac {(x_{32}\ln {A})^3} {3!}+...$

$f_{32}=A^{x_{21}}\left(\dfrac {x_{32}\ln {A}} {1!}+\dfrac {(x_{32}\ln {A})^2} {2!}+\dfrac {(x_{32}\ln {A})^3} {3!}+...\right)$

Т.е. $a_2=A^{x_{21}}\ln{A}$, $b_2=A^{x_{21}}\dfrac {(\ln {A})^2} {2!}$, $c_2=A^{x_{21}}\dfrac {(\ln {A})^3} {3!}$, ...

Проверка:
A=RandomInteger[{2,32}];
f21=A^x21;
Print["f21 = ",f21];
t21=RandomInteger[{1,100}];
Print["x21 = ",t21];
Print["f21 = ",s21=f21/.x21->t21];
f31=A^x31;
Print["f31 = ",f31];
t31=RandomInteger[{1,100}];
Print["x31 = ",t31];
Print["f31 = ",s31=f31/.x31->t31];
Print["x32 = x31-x21 = ",t32=t31-t21];
Print["f32 = f31-f21 = ",Round[s31-s21]];
n=RandomInteger[{500,1000}];
Print["n = ",n];
a2=Table[Log[A]^i/i!,{i,1,n}];
f32=(A^x21/.x21->t21)Sum[a2[[i]] x32^i,{i,1,n}];
(*Print["f32 = ",f32];*)
Print["f32(",t32,") = ",Round[f32/.x32->t32]];

[dmd]

Демонстрация в Геогебре полином-констант двух-переменной кубической полином-функции.

[dmd]

Sicker в сообщении #1417408 писал(а):

Я кстати еще школьником натыкался на эти "Производные - это меняющиеся коэффициенты полинома" на каком-то форуме, но не врубился, в чем дело. Тут краткий экскурс для сторонних читателей никто сделать не собирается?

Простейший пример свободно падающего камня. Он имеет меняющуюся скорость в разные моменты времени. Скорость одновременно и коэффициент в уравнении движения и его первая производная. Потребуется понятие аналитического полинома. Пусть аналитический полином такой, у которого коэффициенты меняются. Попробую показать как и почему.

Пусть переменная это $x$, аналитический полином это $f$ и меняющиеся коэффициенты $a,b,c,...$. И потребуется понятие состояний изменения переменных. Переменные меняются от состояния 1 к состоянию 2, от состояния 1 к 3, от 2 к 3, и т.д., при этом состояния учитываем в индексах переменных. Заметим также, что переменными являются все введённые термы $x,f,a,b,c,...$.

Рассмотрим квадратичное изменение $f$ в зависимости от изменения $x$, как будто смотрим на падающий камень в терминах меняющихся состояний.

Изменение от состояния 1 к состоянию 2 есть $f_2-f_1=a_1(x_2-x_1)+b_1(x_2-x_1)^2$.

От 1 к 3: $\quad f_3-f_1=a_1(x_3-x_1)+b_1(x_3-x_1)^2$.

От 2 к 3: $\quad f_3-f_2=a_2(x_3-x_2)+b_2(x_3-x_2)^2$.

Простейшими манипуляциями находим изменение между $a_1$ и $a_2$ и от $b_1$ до $b_2$:

$b_2-b_1=0$

и

$a_2-a_1={\color{magenta}2}b_1(x_2-x_1)$.

Заметим что $a$ это скорость изменения $f$, и $b$ это ускорение изменения $f$. Т.е. ускорение в квадратичных изменениях постоянно, и это алгебраичный факт.

Полностью аналогично и индуктивно находим как меняются коэффициенты кубического аналитического полинома:

$f_2-f_1=a_1(x_2-x_1)+b_1(x_2-x_1)^2+c_1(x_2-x_1)^3$

$a_2-a_1={\color{magenta}2}b_1(x_2-x_1)+{\color{magenta}3}c_1(x_2-x_1)^2$

$b_2-b_1={\color{magenta}3}c_1(x_2-x_1)$

$c_2-c_1=0$

Снова полностью аналогично находим все изменения аналитического полинома четвёртой степени:

$f_2-f_1=a_1(x_2-x_1)+b_1(x_2-x_1)^2+c_1(x_2-x_1)^3+d_1(x_2-x_1)^4$

$a_2-a_1={\color{magenta}2}b_1(x_2-x_1)+{\color{magenta}3}c_1(x_2-x_1)^2+{\color{magenta}4}d_1(x_2-x_1)^3$

$b_2-b_1={\color{magenta}3}c_1(x_2-x_1)+{\color{magenta}6}d_1(x_2-x_1)^2$

$c_2-c_1={\color{magenta}4}d_1(x_2-x_1)$

$d_2-d_1=0$

Продолжая индукцию для общего аналитического полинома степени $n$ мы увидим, как фиксированные коэффициенты рядом с соответствующими $a_1,b_1,c_1,...$ выстроят весь треугольник Паскаля.

Для дальнейшего переобозначим $a_1\to a_{1,1}$, $b_1\to a_{1,2}$, $c_1\to a_{1,3}$,...

Тогда изменение аналитического полинома степени $n$ и все формы изменений его меняющихся коэффициентов выглядят так:

$\begin{cases} \displaystyle f_2-f_1=\sum_{i=1}^{n} {a_{1,i} (x_2-x_1)^i}\\ \displaystyle a_{2,i}\bigg|_{i=1}^{n}=\sum_{j=i}^{n} {{j}\choose{i}} a_{1,j} (x_2-x_1)^{j-i}\end{cases}$

$\begin{cases} \displaystyle f_3-f_1=\sum_{i=1}^{n} {a_{1,i} (x_3-x_1)^i}\\ \displaystyle a_{3,i}\bigg|_{i=1}^{n}=\sum_{j=i}^{n} {{j}\choose{i}} a_{1,j} (x_3-x_1)^{j-i}\end{cases}$

$\begin{cases} \displaystyle f_3-f_2=\sum_{i=1}^{n} {a_{2,i} (x_3-x_2)^i}\\ \displaystyle a_{3,i}\bigg|_{i=1}^{n}=\sum_{j=i}^{n} {{j}\choose{i}} a_{2,j} (x_3-x_2)^{j-i}\end{cases}$

Продолжая индукцию для двух переменных $x$ и $y$ мы увидим в формулах произведение двух мультиномиальных коэффициентов:

$\begin{cases} \displaystyle f_2-f_1=\sum_{i,j \ge 0 \atop 1 \le i+j \le n} {a_{1,i,j} (x_2-x_1)^i (y_2-y_1)^j}\\\\ \displaystyle a_{2,i,j}\bigg|_{i,j=0}^{n}=\sum_{k \ge i,m \ge j \atop 1\le i+j \le k+m \le n} {{k}\choose{i,k-i}} {{m}\choose{j,m-j}} a_{1,k,m} (x_2-x_1)^{k-i} (y_2-y_1)^{m-j}\end{cases}$

Индукция легко продолжится для любого количества переменных, и примерно понятно как будут выглядеть формулы меняющихся коэффициентов.

Коэффициенты $a_{2,...}$ - аналоги стандартных производных. Любые соотношения между разными коэффициентами $a_{2,...}$ - аналоги дифуров из стандартного мат.анализа.

Pphantom в сообщении #1417303 писал(а):

dmd в сообщении #1417300 писал(а):

Производные - это меняющиеся коэффициенты полинома. Определенные интегралы - те же коэффициенты полинома, но в обратном смысле от производных. Неопределенные интегралы - соответствующие функции именно при рассмотрении сквозь призму меняющихся коэффициентов.

... и весь матанализ обсуждает только аналитические функции. Это, конечно, сильно упростит дело, но и ликвидирует большую часть смысла этого дела.

Совершенно не имеет значения, сходится у нас ряд функции или расходится, конечный он или бесконечный, аналитическая функция или нет - ни чем и ни как не возможно отменить вышеописанные зависимости, они будут выполняться в любом аналоге ряда Тейлора. Просто Вы исходите из того, что ряд Тейлора является следствием дифференциального исчисления. Но по-моему наоборот, аналитический полином, коим и является любой ряд Тейлора - есть первопричина существования анализа.

Посмотрите как Лагранж демонстрировал примеры разложения в ряд элементарных функций. Где там вычисления производных? Их там нет, потому что это примеры алгебраических сериализаций.

Достаточно один раз увидеть своим внутренним взором всю картину взаимосвязанных изменений меняющихся коэффициентов любой элементарной функции, допустим $e^x$, $log(x)$, $sin(x)$, представленной в воображении аналитическим рядом с меняющимися коэффициентами, чтоб согласиться с алгебраичностью анализа.

[arseniiv]

Ну вы функции-то какие выбрали. Возьмите функцию Дирихле.

(Оффтоп)

[/trollmode]

[beroal]

Я срезался на этой фразе.

dmd в сообщении #1418709 писал(а):

Простейшими манипуляциями находим изменение между $a_1$ и $a_2$ и от $b_1$ до $b_2$:

[Red_Herring]

dmd в сообщении #1418709 писал(а):

Достаточно один раз увидеть своим внутренним взором всю картину взаимосвязанных изменений меняющихся коэффициентов любой элементарной функции, допустим $e^x$, $log(x)$, $sin(x)$, представленной в воображении аналитическим рядом с меняющимися коэффициентами, чтоб согласиться с алгебраичностью анализа.

Запущенный случай.

[Pphantom]

dmd, вы в курсе, что возобновление закрытой темы - это нарушение? Выписывать официальное предупреждение не буду, поскольку это уже очень древняя история, но настоятельно рекомендую в этой теме соответствующие взгляды не рекламировать. Следующая попытка будет обработана в точном соответствии с правилами.

[Lia]

dmd в сообщении #1418709 писал(а):

Посмотрите как Лагранж демонстрировал примеры разложения в ряд элементарных
функций. Где там вычисления производных? Их там нет, потому что это примеры алгебраических сериализаций.

Вы только эти две страницы прочитали? Пролистните чуть вперед, и будут вычисления производных. И общая формула ряда Тейлора в ее современном виде.