Пределы. Второй замечательный предел. Определение числа e.

[ewert]

oleg.k в сообщении #1417944 писал(а):

Не воспринимаю я теорию предела функций через последовательности,

Значит, Вы не воспринимаете приближённых вычислений. Вообще, как класса.

oleg.k в сообщении #1417944 писал(а):

$f$ инъективная. Взяли все стрелочки и развернули их. Получили функцию $f^{-1}$. Все. $f(X)$ непусто же.

Инъективна, да. Но это ещё не значит, что сюръективна. Нам же нужна именно биекция.

[oleg.k]

ewert в сообщении #1417945 писал(а):

Значит, Вы не воспринимаете приближённых вычислений. Вообще, как класса.

Не соглашусь. Я не воспринимаю последовательности лишь как инструмент, с помощью которого строится теория пределов. Я строю сначала саму теорию пределов через определение Коши (которое согласуется с моим интуитивным пониманием предела) со всеми ее теоремами, затем доказываю критерий Гейне и использую последовательности в свое удовольствие. Я понимаю прекрасно, что они дают все достаточные основания, но почему-то мне такой стиль мышления не удобен.

ewert в сообщении #1417945 писал(а):

Инъективна, да. Но это ещё не значит, что сюръективна. Нам же нужна именно биекция.

С биекцией вообще все прекрасно. Но достаточно и инъекции. Просто область определения обратной функции будет не $Y$, а $f(X)$.

[arseniiv]

Я знаю хорошее определение: $e = \cos i - i \sin i$.

ewert в сообщении #1417894 писал(а):

Определение через ряд не мотивировано ничем.

По-моему, это слишком сильно. Ряд сводится к ряду экспоненты, а тот и пользу имеет, и сам получается достаточно естественно не обязательно как ряд Тейлора, хоть и потребует интеграла с переменным верхним пределом (но мы же о неформальной мотивации?). У нас есть 1, к которой мы непрерывно начисляем проценты так, чтобы за единичное время в первом приближении начислилось сколько было: довольно быстро очевидно, что это интеграл $\int_0^t 1\,dt = t$. Но это именно что первое приближение, начисленное за интересующее время $t$ тоже даёт прирост, $\int_0^t t\,dt = t^2/2$. В следующем приближении и он даст прирост $t^3/3!$ и так далее. Вот и ряд. Исхитрившись, можно получить сразу его значение в единице и более-менее геометрическим образом.

-- Сб сен 28, 2019 21:34:59 --

Ну в принципе вру я, нормально это ряд Тейлора. Но.

[mihaild]

arseniiv в сообщении #1417967 писал(а):

Я знаю хорошее определение: $e = \cos i - i sin i$.

А $\cos$ и $\sin$ это что?

[arseniiv]

Это как раз была шутка. (А вот синус там поправлю.)

[Mihr]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #1417894 писал(а):

определение $e$ как такого основания, при котором производная показательной функции равна ей самой -- вполне идейно

Именно такая идея (в несколько завуалированном виде) присутствовала в школьном учебнике под редакцией Колмогорова, по которому я когда-то учился. Насколько помню, в этом учебнике число $e$ определялось как такое основание показательной функции, при котором график этой функции пересекает ось ординат под углом в 45 градусов. (В смысле, касательная к графику в точке пересечения с осью ординат имеет такой наклон). Или, возможно, как такое основание логарифма, при котором график логарифмической функции пересекает ось абсцисс под углом в 45 градусов: здесь я не вполне уверен в своей памяти. Уверен лишь в том, что это число определялось именно как подходящее число для нужного наклона касательной. А вот откуда берётся оценка этого числа, толком не объяснялось.

[Eule_A]

(Оффтоп)

Mihr в сообщении #1417980 писал(а):

Или, возможно, как такое основание логарифма, при котором график логарифмической функции пересекает ось абсцисс под углом в 45 градусов: здесь я не вполне уверен в своей памяти.

По-моему всё-таки через показательную функцию.

[ewert]

Mihr в сообщении #1417980 писал(а):

, в этом учебнике число $e$ определялось как такое основание показательной функции, при котором график этой функции пересекает ось ординат под углом в 45 градусов.

Вообще-то это не шибко хорошо. Пока нет производной -- что нам до углов-то? Тем более что все остальные углы всё равно абы какие.

Ну по бедности -- наверное, и такое сойдёт.

[Mihr]

ewert в сообщении #1418009 писал(а):

Пока нет производной -- что нам до углов-то?

Ну, насколько я помню, в той учебной программе производные были в 9-м классе, интегралы - в 10-м. И, к тому моменту, когда вводилось число $e$, производные уже были изучены. Или, может, наоборот, производные были сразу после... Сейчас трудно вспомнить. Факт, что вскоре это определение оказывалось полезным при рассмотрении производной показательной функции.

[ewert]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1417967 писал(а):

Ряд сводится к ряду экспоненты, а тот и пользу имеет,

Имеет. Но слишком поздно.

arseniiv в сообщении #1417967 писал(а):

не обязательно как ряд Тейлора, хоть и потребует интеграла с переменным верхним пределом

А вот интегралов там совсем не обязательно.

arseniiv в сообщении #1417967 писал(а):

нормально это ряд Тейлора

Совсем не обязательно ряд (в стандартном понимании), достаточно просто формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Из которой, конечно, следует и ряд, но это уж его личное дело.

Главное, что всё это, независимо от корректности, есть чесание правым ухом за левой коленкой.

[Munin]

ewert в сообщении #1418015 писал(а):

Главное, что всё это, независимо от корректности, есть чесание правым ухом за левой коленкой.

А может быть, и нет.

Суть в том, что:
- при стандартном изложении со 2-м замечательным пределом - мотивация полностью промолчена, и всё должно "заиграть" только весьма позже, примерно к курсу ТФКП и ОДУ - через год-полтора после замечательного предела;
- если опираться на мотивации, вполне изложимые на школьном уровне строгости и на основе школьных знаний (пусть мы и знаем, что нестрогих), можно сразу показать много (!) мотиваций и много разных определений, а потом уже, может быть, сказать "ну а теперь возьмём одно из них, и начнём всё строго доказывать, а до остальных дойдём позже, но мы уже знаем, что всё это - ровно тот Грааль, который нам в будущем будет нужен".

И кажется, нет никаких аргументов против второго. Хотя, может быть, он потребует примерно отдельной лекции (или хотя бы часа) "размахивания руками". Но может быть, оно того будет стоить.

[arseniiv]

Вот-вот. От мотивации не обязательно требоваться какой-то точной преточности. Когда мы можем её сделать яснее, говоря на точном языке — хорошо, но если мы можем иметь и какую-то неточную, но всё ещё не искажающую истину, грех отбрасывать её.

[ewert]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1418028 писал(а):

мотивация полностью промолчена, и всё должно "заиграть" только весьма позже, примерно к курсу ТФКП и ОДУ - через год-полтора после замечательного предела;

Всё заиграет примерно через три лекции. За которые будут начитаны и ТФКП, и ОДУ, и ФА, и ВМ, и МЛиТА, и вообще всё-всё-всё. Ну Вам лучше знать, что такое "лекция", и что такое "курс"; и что всё это одно и то же -- Вам прекрасно известно. Вы всё знаете, везде побывали.

-- Вс сен 29, 2019 00:54:04 --

Ну а теперь немного серьёзнее.

Munin в сообщении #1418028 писал(а):

если опираться на мотивации, вполне изложимые на школьном уровне строгости и на основе школьных знаний (пусть мы и знаем, что нестрогих), можно сразу показать много (!) мотиваций и много разных определений, а потом уже, может быть, сказать "ну а теперь возьмём одно из них, и начнём всё строго доказывать,

И через полгода Вы эту лекцию закончите. То-то мотиваций наберётся.

Вы же ни разу в жизни не отсчитывали время, оставшееся до звонка. Ни разу не пытались структурировать поток информации, дозируя соотношение лирики и формального изложения. Поэтому ничего удивительного, что и единицы времени оказываются безразмерными. Что минута, что лекция, что семестр, что микросекунда -- какая разница-то?

[jekyl]

Mihr в сообщении #1417887 писал(а):

Ну, альтернативных определений числа $e$, вероятно, можно отыскать немало. Чем не альтернативное определение:

$$e=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}$$

ewert в сообщении #1417888 писал(а):

Оно альтернативно своей одарённостью (т.е. абсолютной бесполезностью). В отличие от через производную, кстати.

Извините, что старую тему подымаю. Но чем плохо такое определение? Из него сразу вытекает иррациональность числа $e$, например. Оценка погрешности при вычислении тоже легко получается, в отличие от изначального.
Доказать, что $\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac1{n}\right)^n=\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!}$ занимает ну минут 20, от силы.

[ewert]

jekyl в сообщении #1421274 писал(а):

Из него сразу вытекает иррациональность числа $e$, например.

Это, конечно, само по себе хорошо, но и периферийно. Дефекты же гораздо существеннее.

jekyl в сообщении #1421274 писал(а):

Доказать, что $\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac1{n}\right)^n=\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!}$ занимает ну минут 20, от силы.

20 минут -- это уже непозволительная роскошь. Кроме того, требуется знание бинома Ньютона, что присутствует не у каждого студента. В общем, "начинание хорошее, но не для нашего климата" (с)