2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4
 
 Re: Пределы. Второй замечательный предел. Определение числа e.
Сообщение28.09.2019, 15:55 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
oleg.k в сообщении #1417944 писал(а):
Не воспринимаю я теорию предела функций через последовательности,

Значит, Вы не воспринимаете приближённых вычислений. Вообще, как класса.

oleg.k в сообщении #1417944 писал(а):
$f$ инъективная. Взяли все стрелочки и развернули их. Получили функцию $f^{-1}$. Все. $f(X)$ непусто же.

Инъективна, да. Но это ещё не значит, что сюръективна. Нам же нужна именно биекция.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пределы. Второй замечательный предел. Определение числа e.
Сообщение28.09.2019, 16:07 


17/08/19
246
ewert в сообщении #1417945 писал(а):
Значит, Вы не воспринимаете приближённых вычислений. Вообще, как класса.
Не соглашусь. Я не воспринимаю последовательности лишь как инструмент, с помощью которого строится теория пределов. Я строю сначала саму теорию пределов через определение Коши (которое согласуется с моим интуитивным пониманием предела) со всеми ее теоремами, затем доказываю критерий Гейне и использую последовательности в свое удовольствие. Я понимаю прекрасно, что они дают все достаточные основания, но почему-то мне такой стиль мышления не удобен.


ewert в сообщении #1417945 писал(а):
Инъективна, да. Но это ещё не значит, что сюръективна. Нам же нужна именно биекция.
С биекцией вообще все прекрасно. Но достаточно и инъекции. Просто область определения обратной функции будет не $Y$, а $f(X)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пределы. Второй замечательный предел. Определение числа e.
Сообщение28.09.2019, 19:30 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Я знаю хорошее определение: $e = \cos i - i \sin i$. :|

ewert в сообщении #1417894 писал(а):
Определение через ряд не мотивировано ничем.
По-моему, это слишком сильно. Ряд сводится к ряду экспоненты, а тот и пользу имеет, и сам получается достаточно естественно не обязательно как ряд Тейлора, хоть и потребует интеграла с переменным верхним пределом (но мы же о неформальной мотивации?). У нас есть 1, к которой мы непрерывно начисляем проценты так, чтобы за единичное время в первом приближении начислилось сколько было: довольно быстро очевидно, что это интеграл $\int_0^t 1\,dt = t$. Но это именно что первое приближение, начисленное за интересующее время $t$ тоже даёт прирост, $\int_0^t t\,dt = t^2/2$. В следующем приближении и он даст прирост $t^3/3!$ и так далее. Вот и ряд. Исхитрившись, можно получить сразу его значение в единице и более-менее геометрическим образом.

-- Сб сен 28, 2019 21:34:59 --

Ну в принципе вру я, нормально это ряд Тейлора. Но.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пределы. Второй замечательный предел. Определение числа e.
Сообщение28.09.2019, 19:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9090
Цюрих
arseniiv в сообщении #1417967 писал(а):
Я знаю хорошее определение: $e = \cos i - i sin i$. :|
А $\cos$ и $\sin$ это что?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пределы. Второй замечательный предел. Определение числа e.
Сообщение28.09.2019, 20:00 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Это как раз была шутка. (А вот синус там поправлю.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Пределы. Второй замечательный предел. Определение числа e.
Сообщение28.09.2019, 20:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
4984

(Оффтоп)

ewert в сообщении #1417894 писал(а):
определение $e$ как такого основания, при котором производная показательной функции равна ей самой -- вполне идейно

Именно такая идея (в несколько завуалированном виде) присутствовала в школьном учебнике под редакцией Колмогорова, по которому я когда-то учился. Насколько помню, в этом учебнике число $e$ определялось как такое основание показательной функции, при котором график этой функции пересекает ось ординат под углом в 45 градусов. (В смысле, касательная к графику в точке пересечения с осью ординат имеет такой наклон). Или, возможно, как такое основание логарифма, при котором график логарифмической функции пересекает ось абсцисс под углом в 45 градусов: здесь я не вполне уверен в своей памяти. Уверен лишь в том, что это число определялось именно как подходящее число для нужного наклона касательной. А вот откуда берётся оценка этого числа, толком не объяснялось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пределы. Второй замечательный предел. Определение числа e.
Сообщение28.09.2019, 20:16 
Модератор
Аватара пользователя


30/09/17
1237

(Оффтоп)

Mihr в сообщении #1417980 писал(а):
Или, возможно, как такое основание логарифма, при котором график логарифмической функции пересекает ось абсцисс под углом в 45 градусов: здесь я не вполне уверен в своей памяти.

По-моему всё-таки через показательную функцию.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пределы. Второй замечательный предел. Определение числа e.
Сообщение28.09.2019, 22:20 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Mihr в сообщении #1417980 писал(а):
, в этом учебнике число $e$ определялось как такое основание показательной функции, при котором график этой функции пересекает ось ординат под углом в 45 градусов.

Вообще-то это не шибко хорошо. Пока нет производной -- что нам до углов-то? Тем более что все остальные углы всё равно абы какие.

Ну по бедности -- наверное, и такое сойдёт.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пределы. Второй замечательный предел. Определение числа e.
Сообщение28.09.2019, 22:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/09/14
4984
ewert в сообщении #1418009 писал(а):
Пока нет производной -- что нам до углов-то?

Ну, насколько я помню, в той учебной программе производные были в 9-м классе, интегралы - в 10-м. И, к тому моменту, когда вводилось число $e$, производные уже были изучены. Или, может, наоборот, производные были сразу после... Сейчас трудно вспомнить. Факт, что вскоре это определение оказывалось полезным при рассмотрении производной показательной функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пределы. Второй замечательный предел. Определение числа e.
Сообщение28.09.2019, 22:50 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1417967 писал(а):
Ряд сводится к ряду экспоненты, а тот и пользу имеет,

Имеет. Но слишком поздно.

arseniiv в сообщении #1417967 писал(а):
не обязательно как ряд Тейлора, хоть и потребует интеграла с переменным верхним пределом

А вот интегралов там совсем не обязательно.

arseniiv в сообщении #1417967 писал(а):
нормально это ряд Тейлора

Совсем не обязательно ряд (в стандартном понимании), достаточно просто формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Из которой, конечно, следует и ряд, но это уж его личное дело.

Главное, что всё это, независимо от корректности, есть чесание правым ухом за левой коленкой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пределы. Второй замечательный предел. Определение числа e.
Сообщение28.09.2019, 23:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
ewert в сообщении #1418015 писал(а):
Главное, что всё это, независимо от корректности, есть чесание правым ухом за левой коленкой.

А может быть, и нет.

Суть в том, что:
- при стандартном изложении со 2-м замечательным пределом - мотивация полностью промолчена, и всё должно "заиграть" только весьма позже, примерно к курсу ТФКП и ОДУ - через год-полтора после замечательного предела;
- если опираться на мотивации, вполне изложимые на школьном уровне строгости и на основе школьных знаний (пусть мы и знаем, что нестрогих), можно сразу показать много (!) мотиваций и много разных определений, а потом уже, может быть, сказать "ну а теперь возьмём одно из них, и начнём всё строго доказывать, а до остальных дойдём позже, но мы уже знаем, что всё это - ровно тот Грааль, который нам в будущем будет нужен".

И кажется, нет никаких аргументов против второго. Хотя, может быть, он потребует примерно отдельной лекции (или хотя бы часа) "размахивания руками". Но может быть, оно того будет стоить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пределы. Второй замечательный предел. Определение числа e.
Сообщение28.09.2019, 23:28 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Вот-вот. От мотивации не обязательно требоваться какой-то точной преточности. Когда мы можем её сделать яснее, говоря на точном языке — хорошо, но если мы можем иметь и какую-то неточную, но всё ещё не искажающую истину, грех отбрасывать её.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пределы. Второй замечательный предел. Определение числа e.
Сообщение28.09.2019, 23:44 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1418028 писал(а):
мотивация полностью промолчена, и всё должно "заиграть" только весьма позже, примерно к курсу ТФКП и ОДУ - через год-полтора после замечательного предела;

Всё заиграет примерно через три лекции. За которые будут начитаны и ТФКП, и ОДУ, и ФА, и ВМ, и МЛиТА, и вообще всё-всё-всё. Ну Вам лучше знать, что такое "лекция", и что такое "курс"; и что всё это одно и то же -- Вам прекрасно известно. Вы всё знаете, везде побывали.


-- Вс сен 29, 2019 00:54:04 --

Ну а теперь немного серьёзнее.

Munin в сообщении #1418028 писал(а):
если опираться на мотивации, вполне изложимые на школьном уровне строгости и на основе школьных знаний (пусть мы и знаем, что нестрогих), можно сразу показать много (!) мотиваций и много разных определений, а потом уже, может быть, сказать "ну а теперь возьмём одно из них, и начнём всё строго доказывать,

И через полгода Вы эту лекцию закончите. То-то мотиваций наберётся.

Вы же ни разу в жизни не отсчитывали время, оставшееся до звонка. Ни разу не пытались структурировать поток информации, дозируя соотношение лирики и формального изложения. Поэтому ничего удивительного, что и единицы времени оказываются безразмерными. Что минута, что лекция, что семестр, что микросекунда -- какая разница-то?

 Профиль  
                  
 
 Re: Пределы. Второй замечательный предел. Определение числа e.
Сообщение17.10.2019, 17:33 


07/11/18
71
Mihr в сообщении #1417887 писал(а):
Ну, альтернативных определений числа $e$, вероятно, можно отыскать немало. Чем не альтернативное определение:
$$e=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}$$

ewert в сообщении #1417888 писал(а):
Оно альтернативно своей одарённостью (т.е. абсолютной бесполезностью). В отличие от через производную, кстати.

Извините, что старую тему подымаю. Но чем плохо такое определение? Из него сразу вытекает иррациональность числа $e$, например. Оценка погрешности при вычислении тоже легко получается, в отличие от изначального.
Доказать, что $\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac1{n}\right)^n=\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!}$ занимает ну минут 20, от силы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Пределы. Второй замечательный предел. Определение числа e.
Сообщение17.10.2019, 17:46 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
jekyl в сообщении #1421274 писал(а):
Из него сразу вытекает иррациональность числа $e$, например.

Это, конечно, само по себе хорошо, но и периферийно. Дефекты же гораздо существеннее.

jekyl в сообщении #1421274 писал(а):
Доказать, что $\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac1{n}\right)^n=\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{k!}$ занимает ну минут 20, от силы.

20 минут -- это уже непозволительная роскошь. Кроме того, требуется знание бинома Ньютона, что присутствует не у каждого студента. В общем, "начинание хорошее, но не для нашего климата" (с)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 60 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group