О введении вспомогательного угла в тригонометрии

[Mihr]

Munin в сообщении #1417812 писал(а):

Давать-то дают, но не в школьной математике, а в школьной физике.

Возможно, Вы недопоняли. Я имел в виду решение тригонометрических уравнений методом введения дополнительного угла. Сейчас этот метод в школе излагают. И именно на уроках математики (что естественно).

[Munin]

Mihr в сообщении #1417825 писал(а):

Я имел в виду решение тригонометрических уравнений методом введения дополнительного угла.

А я имел в виду сам метод, что и обсуждалось в теме до того, как вы заимели в виду что-то своё.

В физике этот метод тоже используется, но не для решения тригонометрических уравнений (чем физика не занимается), а для описания сложения колебаний.

[Mihr]

Ох...
Munin, прочтите, пожалуйста, второе сообщение темы. Там уже речь идёт о математике.

Munin в сообщении #1417833 писал(а):

В физике этот метод тоже используется

Вы не поверите, я в курсе. Ну, и что? От этого мои слова становятся неверны?

[Eule_A]

Оффтоп отделён. Конструктивное обсуждение можно продолжать здесь.

Но: не в первый раз наблюдаю тенденцию, когда на замечания модератора, не сопровождаемые санкциями, реакция, по сути, отсутствует. Предупреждаю - хотя это, казалось бы, должно быть лишним - в последующие разы в аналогичных ситуациях будут следовать наказания без последних китайских предупреждений. Независимо от заслуженности или количества сообщений. Имена, надеюсь, не нужно произносить?

[fred1996]

Munin в сообщении #1417833 писал(а):

Mihr в сообщении #1417825 писал(а):

Я имел в виду решение тригонометрических уравнений методом введения дополнительного угла.

А я имел в виду сам метод, что и обсуждалось в теме до того, как вы заимели в виду что-то своё.

В физике этот метод тоже используется, но не для решения тригонометрических уравнений (чем физика не занимается), а для описания сложения колебаний.

Вот сходу могу предложить две простенькие задачки на эту формулу совсем не на колебания.
1. Футболист находится на расстоянии $d$ от ворот высоты $h$
С какой минимальной скоростью он должен пнуть мяч и под каким углом, чтобы попасть в перекладину.
2. На шероховатой горизонтальной поверхности с к-том трения $\mu$ лежит брусок массы $m$. Под каким углом к нему надо приложить силу $F$, чтобы он двигался с максимальным ускорением.
Очевидно, можно эти задачки решить и с производными, но элегантнее через "тригонометрию".

[Munin]

Про футболиста не знаю через тригонометрию.

[gris]

(Оффтоп)

можно попробовать?
предполагается плоская задача со школьной кинематикой.
для удобства пусть $c,s,t$ - косинус и синус угла удара и время попадания.
$d=cvt; h=svt-gt^2/2; $ Исключим время.
$h=ds/c-gd^2/2v^2c^2$ Выделим квадрат скорости.
$\dfrac {ds-hc}{c}=\dfrac{gd^2}{2c^2v^2}$

$v^2=\dfrac{gd^2}{2c(ds-hc)}$

В общем, похоже. Попробуем при $d=h$. Видно, что при возрастании угла от нуля до половины прямого выражение справа отрицательно и в перекладину вообще не попасть. Далее каждому углу соответствует одна скорость, функция непрерывна и слева и справа уходит в бесконечность. То есть минимум скорости как функции угла существует. Мне кажется, он соответствует запрошенному минимуму.
Теперь надо найти угол $x$, при котором при заданных значениях $d,h $ принимается минимальное положительное значение выражения
$\dfrac{1}{\cos x(d\sin x-h\cos x)}; x\in(0,\pi/2).$
Ну теперь естественно ввести дополнительный угол $y\big | \tg y=h/d$ и искать максимум

$2\cos x\cdot\sin (x-y)=-\sin (y)+\sin (2x-y); x\in(y,\pi/2).$
То есть искомый угол равен $\pi/4+y/2$

Есть ли смысл в моём рассуждении? Наверное, можно проще

[StaticZero]

(Оффтоп)

$$ \begin{cases} d = v t \cos \alpha \\ h = v t \sin \alpha - \frac{g t^2}{2} \end{cases} $$

$$ \frac{h}{t} = \frac{h v \cos \alpha}{d} = v \sin \alpha - \frac{g t}{2} = v \sin \alpha - \frac{g d}{2 v \cos \alpha} $$

$$ v \left( \frac{h}{d} \cos \alpha - \sin \alpha \right) + \frac{g d}{2 v \cos \alpha} = 0 $$

$$ v \sqrt{h^2 + d^2} \cos (\alpha + \phi) + \frac{g d^2}{2 v \cos \alpha} = 0 $$

$$ 2 v^2 \sqrt{h^2 + d^2} \cos \alpha \cos (\alpha + \phi) + g d^2 = 0 $$

$$ v^2 \sqrt{h^2 + d^2} \left(\cos (2 \alpha + \phi) + \cos \phi \right) + g d^2 = 0 $$

$$ \cos (2 \alpha + \phi) = -1, \qquad \alpha = \frac{\pi - \phi}{2}, \qquad \cos \phi = \frac{h}{\sqrt{h^2 + d^2}}, \ \sin \phi = \frac{d}{\sqrt{h^2 + d^2}} $$

$$ v^2 = g d \ctg \frac{\phi}{2} $$