О введении вспомогательного угла в тригонометрии

[arseniiv]

Eule_A в сообщении #1417747 писал(а):

Слышали о введении вспомогательного угла при решении тригонометрических уравнений типа $a\sin x+b\cos x=c$?

Кстати вот одно из преобразований, на котором стоило бы заострять внимание. Я его кажется в школьные времена упустил или чуть не упустил, а оно выглядит куда фундаментальнее, чем всякие синусы четверного угла.

Eule_A: Выделено из темы «Уравнение результирующего движения»

[Munin]

Просто его обычно дают рядом с комплексными числами.

[Eule_A]

arseniiv в сообщении #1417762 писал(а):

оно выглядит куда фундаментальнее, чем всякие синусы четверного угла.

По-моему, когда я вёл занятия по теории механических колебаний в общей физике, это была одна из самых часто используемых формул. Если не самая частая. И при этом изначально - по непонятной мне причине - этот приём знали далеко не все. Мне казалось, что в школьную программу это входит. Но сейчас не удивлюсь, если какой-нибудь деятель и исключил.

[realeugene]

Munin в сообщении #1417751 писал(а):

А если не гармоническим, то каков смысл слов "амплитуда, частота, фаза"?

Вопрос был не для вас.

-- 27.09.2019, 19:16 --

(Оффтоп)

Eule_A в сообщении #1417766 писал(а):

И при этом изначально - по непонятной мне причине - этот приём знали далеко не все.

Я, вот, только что про него услышал. Его название. Сам сразу бы к комплексным числам переходил.
Может, подзабыл ненужное из школьной программы.

[fred1996]

Eule_A в сообщении #1417766 писал(а):

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1417762 писал(а):

оно выглядит куда фундаментальнее, чем всякие синусы четверного угла.

По-моему, когда я вёл занятия по теории механических колебаний в общей физике, это была одна из самых часто используемых формул. Если не самая частая. И при этом изначально - по непонятной мне причине - этот приём знали далеко не все. Мне казалось, что в школьную программу это входит. Но сейчас не удивлюсь, если какой-нибудь деятель и исключил.

Я вот тоже не помню, чтобы в школьной математики давали такую формулу.
Зато в задачках по физике она используется сплошь и рядом. Прямо начиная с кинематики, а не только гармонических колебаний. Не знаю как в России, но американские школьники этой формулы не знают поголовно. Даже вполне продвинутые олимпиадники. Парадокс, однако.

[Mihr]

fred1996 в сообщении #1417785 писал(а):

Я вот тоже не помню, чтобы в школьной математики давали такую формулу.

В то время, когда Вы были школьником, - не давали. Сейчас дают.

[arseniiv]

realeugene в сообщении #1417777 писал(а):

Сам сразу бы к комплексным числам переходил.

Кстати сейчас вывел через них и вижу, что если заранее знать косинус/синус суммы и решение системы $x\cos y = a, x\sin y = b$ (точнее, его наличие для любых $a, b$), то проще в $\mathbb C$ не лезть.

[Eule_A]

realeugene в сообщении #1417777 писал(а):

Я, вот, только что про него услышал. Его название. Сам сразу бы к комплексным числам переходил.
Может, подзабыл ненужное из школьной программы.

Насчёт названия не ручаюсь, что оно вот в точности такое. Поэтому и уравнение привёл, чтобы яснее было (осталось только, чтобы ТС в теме ещё хотя бы раз отметился...). Но вероятность того, что этот метод дадут в школе, гораздо больше вероятности, что в школе расскажут о комплексных числах. Скажем, когда я учился, то тригонометрии в школе было много (и лишним это не было), а комплексных чисел не было совсем (от чего, по правде сказать, я ничего не потерял: ну, узнал чуть позже - не страшно).
Да, и обсуждаемую формулу к ненужным я бы ни при каком подходе не отнёс. Но это уже моё мнение.

-- 27.09.2019, 19:46 --

arseniiv в сообщении #1417789 писал(а):

проще в $\mathbb C$ не лезть

Вот-вот. Довольно редкий случай, когда без комплексных чисел хоть немного, но лучше, чем с ними. Или, по крайней мере, не хуже.

[Mihr]

arseniiv в сообщении #1417789 писал(а):

проще в $\mathbb C$ не лезть

+1.

[Утундрий]

Почти в тему:

$$\begin{gathered} \operatorname{ch} ^2 x - \operatorname{sh} ^2 x = 1 \hfill \\ 1 + \operatorname{sh} ^2 x = \operatorname{ch} ^2 x \hfill \\ \left( {\frac{1}{{\operatorname{ch} x}}} \right)^2 + \left( {\operatorname{th} x} \right)^2 = 1 \hfill \\ \fbox{\operatorname{th} x = \sin y} \hfill \\ \end{gathered} $$

Иногда облегчает возню с тригонометрией в знаменателе.

[realeugene]

arseniiv в сообщении #1417789 писал(а):

Кстати сейчас вывел через них и вижу, что если заранее знать косинус/синус суммы и решение системы $x\cos y = a, x\sin y = b$ (точнее, его наличие для любых $a, b$), то проще в $\mathbb C$ не лезть.

Это если их помнить. Я, вот, большинство школьных тригонометрических формул уже успешно подзабыл. Для комплексных чисел бессмысленных плюсов/минусов нужно помнить меньше.

[Munin]

realeugene в сообщении #1417777 писал(а):

Вопрос был не для вас.

А главное, мой вопрос тоже не для вас. Это для ТС, "предмет для размышлений", наводящий вопрос для ответа на тот, который задали вы.

fred1996 в сообщении #1417785 писал(а):

Я вот тоже не помню, чтобы в школьной математики давали такую формулу.

Mihr в сообщении #1417786 писал(а):

В то время, когда Вы были школьником, - не давали. Сейчас дают.

Давать-то дают, но не в школьной математике, а в школьной физике.

[arseniiv]

realeugene в сообщении #1417797 писал(а):

Это если их помнить. Я, вот, большинство школьных тригонометрических формул уже успешно подзабыл. Для комплексных чисел бессмысленных плюсов/минусов нужно помнить меньше.

Согласен, что вывести многие из них весьма просто на месте, хотя мне не удалось за один присест одолеть произведения двух функций, кажется, но притом я эти формулы и не помню, зато вот косинус/синус суммы я если и забуду, то нескоро. Хоть они и одни из самых просто выводимых, они и запомнились лучше остальных, повезло. Ну а решение системы $x\cos y = a, x\sin y = b$ — это в одном клубке с полярными координатами и арктангенсом2, засело само как-то, в школе разумеется последний не проходят.

[Eule_A]

Munin в сообщении #1417812 писал(а):

но не в школьной математике

Именно в ней - в моём опыте, по крайней мере. Так что не будьте столь категоричны: есть оба варианта, очевидно. Не считая третьего: когда не дают ни там, ни там.

Ладно, господа. Приятно поговорить о более или менее простых вещах в своё удовольствие - это все любят. Ну, да и хватит. Теперь ждём реакции ТС, если она будет.

[Munin]

Eule_A в сообщении #1417814 писал(а):

есть оба варианта, очевидно.

Да, согласен. Не имел в виду категоричности, а хотел только подчеркнуть существование варианта.