Пределы. Второй замечательный предел. Определение числа e.

[ForQuestion$]

Не до конца понимаю, почему предел $\lim_{n\to \infty}=\frac{1}{2}(1+\frac{1}{n})^n$ может быть равен только $\frac{e}{2}$. Точнее, конечно, я знаю определение числа e через предел. Но я не понимаю, почему обязательно пользоваться им и мы не имеем права рассмотреть предел как $\frac{1}{2}(1+\frac{1}{\infty})^\infty$ и получить $\frac{1}{2}$.
Можете пожалуйста объяснить или подсказать в какой теме пробел? Гуглом пользоваться умею, но не могу найти именно ответ на свой вопрос

[mihaild]

ForQuestion в сообщении #1417578 писал(а):

рассмотреть предел как $\frac{1}{2}(1 + \frac{1}{\infty})^\infty$

А что это вообще значит?
Это неформальная запись общего вида выражения под пределом. Значение предела выражения такого вида может быть любым, в том числе предел может не существовать. Какое конкретно получится значение предела - зависит от того, что скрывается за значками $\infty$.

[iifat]

Пробел, естественно, в теории пределов. И заполняется он не гуглом, а систематическим чтением учебника.

[ForQuestion$]

iifat в сообщении #1417583 писал(а):

Пробел, естественно, в теории пределов. И заполняется он не гуглом, а систематическим чтением учебника.

Вы правы, но я вроде читала :( И вроде поняла..
Скорее понять бы с какого раздела перечитать, эх

-- 26.09.2019, 15:50 --

mihaild в сообщении #1417582 писал(а):

ForQuestion в сообщении #1417578 писал(а):

рассмотреть предел как $\frac{1}{2}(1 + \frac{1}{\infty})^\infty$

А что это вообще значит?
Это неформальная запись общего вида выражения под пределом. Значение предела выражения такого вида может быть любым, в том числе предел может не существовать. Какое конкретно получится значение предела - зависит от того, что скрывается за значками $\infty$.

Вроде что-то начинаю понимать, спасибо)

[Sender]

ForQuestion в сообщении #1417578 писал(а):

почему обязательно пользоваться им и мы не имеем права рассмотреть предел как $\frac{1}{2}(1+\frac{1}{\infty})^\infty$ и получить $\frac{1}{2}$

Грубо говоря, эти бесконечности при определённых условиях могут "уравновесить" друг друга. Вообще, есть понятие неопределённости вида $1^{\infty}$.

[ForQuestion$]

Sender в сообщении #1417589 писал(а):

ForQuestion в сообщении #1417578 писал(а):

почему обязательно пользоваться им и мы не имеем права рассмотреть предел как $\frac{1}{2}(1+\frac{1}{\infty})^\infty$ и получить $\frac{1}{2}$

Грубо говоря, эти бесконечности при определённых условиях могут "уравновесить" друг друга. Вообще, есть понятие неопределённости вида $1^{\infty}$.

Оох). Спасибо вам большое
В упор не увидела 1 в степени бесконечность как неопределенность каким-то образом.Теперь-то понятно)

[alcoholist]

ForQuestion[math]$ в сообщении #1417578 писал(а):

почему обязательно пользоваться им и мы не имеем права рассмотреть предел как $\frac{1}{2}(1+\frac{1}{\infty})^\infty$ и получить $\frac{1}{2}$

Вот, пожалуйста:

$$\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^n=\frac{1}{2}.$$

Для того, чтобы получалось число $e$, бесконечности должны быть, что называется, "одного порядка".

[Munin]

alcoholist в сообщении #1417591 писал(а):

Для того, чтобы получалось число $e$, бесконечности должны быть, что называется, "одного порядка".

Вот я беру одного порядка:

$$\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{2n}=\ldots$$

Доктор, что я делаю не так?

[venco]

Munin в сообщении #1417756 писал(а):

Доктор, что я делаю не так?

Путаете необходимость и достаточность.

[ewert]

ForQuestion$ в сообщении #1417578 писал(а):

Точнее, конечно, я знаю определение числа e через предел. Но я не понимаю, почему обязательно пользоваться им

Но надо ведь хоть чем-то пользоваться. У вас есть альтернативное определение числа $e$?..

[Munin]

ewert в сообщении #1417781 писал(а):

У вас есть альтернативное определение числа $e$?..

$\dfrac{d}{dx}e^x=e^x.$

[oleg.k]

Munin в сообщении #1417809 писал(а):

ewert в сообщении #1417781 писал(а):

У вас есть альтернативное определение числа $e$?..

$\dfrac{d}{dx}e^x=e^x.$

У Зорича 10 страниц (138 - 148 с) посвящены определению экспоненты через натуральные, затем целые, затем рациональные показатели, потом доопределение до непрерывности, потом доказательство корректности определения и прочая морока. Объясните мне кто-нибудь пожалуйста ради чего нужно такое определение? Имхо гораздо естественнее ввести экспоненту как решение очевидного дифура или как обратную логарифму, определенному через интеграл. Какая такая необходимость в этой функции в теории пределов? Почему нельзя немного подождать? Все важные случаи в теории пределов можно объяснить на всяких сигнумах, параболах, гиперболах, триг.функциях и т.д.

[ewert]

oleg.k в сообщении #1417819 писал(а):

Имхо гораздо естественнее ввести экспоненту как решение очевидного дифура

Для этого нужно знать как минимум, что такое показательная функция (до того же знать про дифуры и вовсе бессмысленно).

oleg.k в сообщении #1417819 писал(а):

или как обратную логарифму, определенному через интеграл.

Для этого как минимум надо знать, что такое обратная функция (соответственно, знать про интеграл не обязательно).

oleg.k в сообщении #1417819 писал(а):

Почему нельзя немного подождать?

Вот и подождите. Через полгода где-то всё будет, а пока что ещё не завезли. Пока Вы даже не знаете, что такое корень.

Munin в сообщении #1417809 писал(а):

$\dfrac{d}{dx}e^x=e^x.$

Определение хорошее. Но, во-первых, не настолько безобидное, как Вам кажется. А во-вторых, вопрос был не к Вам.

[oleg.k]

ewert в сообщении #1417868 писал(а):

Для этого нужно знать как минимум, что такое показательная функция (до того же знать про дифуры и вовсе бессмысленно).

Знать, что такое показательная функция для того чтобы определить экспоненту как решение дифура $f'(x) = f(x); f(0) = 1$?

ewert в сообщении #1417868 писал(а):

Для этого как минимум надо знать, что такое обратная функция (соответственно, знать про интеграл не обязательно).

Уж обратные то функции к этому моменту знают. Про функции надо говорить еще до теории пределов и даже до действительных чисел. А вот про интеграл знать придется. Но об этом и вопрос. Кто торопит? Ну будет про экспоненту рассказано в конце первого семестра, в чем беда?

ewert в сообщении #1417868 писал(а):

Вот и подождите. Через полгода где-то всё будет, а пока что ещё не завезли. Пока Вы даже не знаете, что такое корень.

Я то мог бы и подождать (мне торопиться некуда), а вот ТС-у придется сложнее. Она увидит эту конструкцию экспоненты через 10 возведений в разные степени (причем рациональные степени определены через корни и повезло еще, если корни нормально были определены во время рассказа про $\mathbb{R},$ ведь теоремы Больцано-Коши и теоремы о непрерывности обратной функции пока еще нету) и ей будет справедливо казаться, что конструкция искусственная.

[Munin]

ewert в сообщении #1417868 писал(а):

Но, во-первых, не настолько безобидное, как Вам кажется.

А я и не говорю, что безобидное. Вопрос был, есть ли альтернативное определение. Ровно на него я и ответил.

ewert в сообщении #1417868 писал(а):

А во-вторых, вопрос был не к Вам.

За это извините.