Кривизна пространства и неоднородность/анизотропия

[Brukvalub]

Согласен, ваши замечательные результаты и новаторские подходы к геометрии "кривых пространств" нельзя игнорировать! Как говорится, "трэшняк и нелепую популярщину - в массы!" Чтобы немедленно изложить все это гениальное на лекциях, нужно сначала кое-что уточнить. Вот вы пишете:

sergey zhukov в сообщении #1416342 писал(а):

Выражение для кривизны в каждой точке пространства содержит не только значение функции масштаба в этой точке, но и ее первые и вторые производные в заданной сетке координат.

Дайте, пожалуйста, точное определение "кривизны", чтобы мои лекции по вашим материалам не пострадали "кривизной".

[sergey zhukov]

По моему, нелепая популярщина - это когда за искривленное пространство принимают непрерывным образом деформированную прямоугольную сетку координат (и называют это "переменной плотностью пространства"). Такой уровень понимания свойства кривизны пространства и в самом деле никуда не годится, но он очень распространен. Уж если понимать кривизну пространства, как деформацию плоской сетки координат, то нужно помнить, что метрический тензор в каждой точке сетки задает в общем случае такую деформацию, после которой плоская сетка получает разрыв в каждой точке. Появление разрывов - это и есть проявление кривизны. Метрический тензор в общем случае задает гораздо более общую деформацию (результат которой не так-то просто отобразить), чем просто непрерывную, которая в смысле кривизны пространства вообще ничего не меняет.

Точное выражение для кривизны пространства на данном этапе не требуется. Важно просто, что это собственное свойство пространства, и оно может быть вычислено с учетом как метрики, так и системы координат, в которой она определена. При этом произвольность в выборе системы координат не влияет на численный результат, т.к. эта произвольность всегда компенсируется метрикой. Под численным результатом можно понимать, например, скалярную кривизну. Свойство кривизны заданного пространства проявляется в том, что компоненты метрики такого пространства зависят от координат в любой возможной системе координат.

Кривизна пространства - понятие непростое, но все же в нем нет ничего абсолютно нового, если разобрать его на таком хорошо известном примере, как проекция глобуса на плоскость. Это я и хотел сделать, пользуясь такими терминами, как "масштаб" вместо "метрика".

К сожалению, точного соответствия здесь нет, т.к. метрика может прямо пониматься, как функция масштаба только в частном случае прямоугольных ортонормированных координат, т.е. в равнопромежуточной проекции глобуса. Только тогда метрика - это функция, задающая масштаб на карте в любой ее точке в зависимости от координат и направления (задаваемого, скажем, углом от меридиана). В остальных проекциях метрика может быть понята только в более общем смысле, как первая квадратичная форма.

Когда я начинал эту тему, то думал, что кривизна пространства может быть просто другим названием неоднородности и анизотропии этого пространства. Теперь я понял, что анизотропия и неоднородность - это неизбежные свойства сетки координат, наложенной на сферу, а не свойства самой этой сферы. Именно из-за невозможности нанести на поверхность сферы однородную сетку координат (т.е. такую, у которой все прямоугольные ячейки одинаковы) получается, что однородная поверхность сферы покрывается неоднородной системой координат, откуда и возникает метрика, зависимая от точки пространства.

Думаю, можно заканчивать эту тему.

[Munin]

sergey zhukov в сообщении #1416983 писал(а):

По моему, нелепая популярщина

Мне кажется, что критиковать популярные материалы может тот, кто разбирается в предмете, причём на более высоком уровне, чем популярный. То есть, человек, который смотрит на популяризацию "с другой стороны", понимает, что надо сказать, а что не надо. Что сказать легко, а что трудно.

sergey zhukov в сообщении #1416983 писал(а):

это когда за искривленное пространство принимают непрерывным образом деформированную прямоугольную сетку координат (и называют это "переменной плотностью пространства").

Не знаю, где вы такое нашли. Довольно нелепо негодовать против того, чего не бывает.

Остальное - чушь.

sergey zhukov в сообщении #1416983 писал(а):

Кривизна пространства - понятие непростое, но все же в нем нет ничего абсолютно нового, если разобрать его на таком хорошо известном примере, как проекция глобуса на плоскость. Это я и хотел сделать, пользуясь такими терминами, как "масштаб" вместо "метрика".

Это верно, всё там можно разобрать, но у вас это не получилось.

sergey zhukov в сообщении #1416983 писал(а):

Теперь я понял, что анизотропия и неоднородность - это неизбежные свойства сетки координат

Снова, вы что-то "поняли", но на самом деле ничего не поняли.

[sergey zhukov]

Не будет большим преувеличением сказать, что искривление пространства большинство людей связывает просто с криволинейными координатами. Особенно в трехмерном случае, когда искривление пространства геометрически никак нельзя изобразить. В таком случае все равно рисуют трехмерные криволинейные координаты, хотя они тут совершенно бесполезны. Я думаю, что многие люди даже не замечают, что между двумерным и трехмерным изображением искривленного пространства есть принципиальная разница. Я это могу говорить довольно уверенно, поскольку сам так думал недавно.

Известно, что в теории упругости задание произвольного перемещения точек деформируемого тела позволяет однозначно определить тензор деформаций. Обратное неверно, потому, что задание произвольного тензора деформации ведет в общем случае к нарушению сплошности деформируемого тела. На компоненты тензора деформаций должно быть наложено дополнительное условие совместности деформаций Сен-Венана (или просто условие неразрывности), которое связывает вторые производные компонент тензора деформаций.
Если рассматривать метрический тензор, как тензор деформаций (а искривленное пространство - как пространство, полученное деформированием плоского), то искривленное пространство описывается метрическим тензором, на компоненты которого вместо условия неразрывности (фактически условие сохранения евклидовости пространства) наложено условие связности. Даже чисто геометрически очевидно, что, например, искривленная поверхность складывается из кусочков, на которые распадается плоская поверхность после ее разрывной деформации.

[Утундрий]

sergey zhukov в сообщении #1417518 писал(а):

Не будет большим преувеличением сказать, что искривление пространства большинство людей связывает просто с криволинейными координатами.

На планете имеется уже более восьми миллиардов людей. Как вы умудрились опросить большинство из них - ума не приложу.

[epros]

sergey zhukov в сообщении #1417518 писал(а):

Если рассматривать метрический тензор, как тензор деформаций

Лучше рассматривать его как определение расстояний между точками и не выдумывать всякую фигню.

sergey zhukov в сообщении #1417518 писал(а):

(а искривленное пространство - как пространство, полученное деформированием плоского),

Если напрячь мозг, то станет очевидно, что способов определения плоского пространства, деформацией которого якобы получено данное искривлёное, бесконечно много. То бишь житель Питера может предположить, что линейки в Москве были деформированы, или наоборот - москвич может предположить, что линейки в Питере были деформированы.

Поэтому спор об изначальном плоском пространстве рискует перерасти в драку.

sergey zhukov в сообщении #1417518 писал(а):

наложено условие связности.

Э...ээ, я привык понимать слово "связность" как ту штуку, которая определяет параллельный перенос. Вы об этом или это очередное понятие Вашего собственного изобретения?

sergey zhukov в сообщении #1417518 писал(а):

Даже чисто геометрически очевидно, что, например, искривленная поверхность складывается из кусочков, на которые распадается плоская поверхность после ее разрывной деформации.

Это что за "разрывная деформация"? Если порвать сферу на мелкие кусочки и попытаться разложить их на плоскости, то без сжатий и растяжений эти кусочки во что-то целостное не выложатся.

[Munin]

sergey zhukov
Почему вы какие-то свои проблемы (пусть даже прошлые проблемы) приписываете большинству других людей? Пусть вы сами так думали - какое это отношение имеет к другим людям?

[sergey zhukov]

epros в сообщении #1417536 писал(а):

Лучше рассматривать его как определение расстояний между точками и не выдумывать всякую фигню.

Совершенно верно. Аналогии из теории упругости все равно в итоге ограничены. Но мне кажется, что не следует пренебрегать возможностью связать новое с хорошо известным, даже и в частном случае.

epros в сообщении #1417536 писал(а):

Это что за "разрывная деформация"?

Например, рассмотрим пластину. Вы же понимаете, что если в каждой точке пластины произвольно и независимо определить линейную деформацию, то каждый квадратик этой пластины превратится в произвольный параллелограмм. После такой деформации пластина будет разорвана в каждой точке, т.к. эти параллелограммы не складываются друг с другом. Их деформация была задана произвольно и не была согласована. Даже если все компоненты тензора деформации гладко зависят от координат.

Однако эти же параллелограммы можно сложить друг с другом без зазоров в искривленную пластину. Здесь я не могу точно судить о том, всегда ли это возможно при произвольном гладком тензоре деформации, но по крайней мере существует широкий класс таких деформаций, результат которых можно сложить в какую-нибудь искривленную поверхность. Этот класс ограничен некоторым условием на тензор деформации, который я тут называю условием связности (т.е. возможность сохранить непрерывность плоской пластины после деформации ценой ее искривления). В этом смысле искривленное пространство задается разрывной деформацией плоского пространства. И не обязательно плоского, конечно. Вообще любого другого.

Если мы хотим, чтобы пластина и после деформации осталась сплошной и плоской, то на тензор деформации нужно наложить условие неразрывности. А если, например, мы неравномерно нагреваем пластину и она начинает выгибаться, значит мы задали на ней тензор деформации, который не подчиняется условию неразрывности, а только условию связности. Он превращает плоскую поверхность в искривленную. А если она выгнулась и все равно треснула, то значит тензор деформации перестал подчиняться и связности.

epros в сообщении #1417536 писал(а):

Поэтому спор об изначальном плоском пространстве рискует перерасти в драку.

Изначально плоское - это для наглядности, поскольку речь шла о том, как отобразить кривизну пространства деформацией изначально плоской сетки. Разумеется, в общем случае можно представлять, как одно искривленное пространство деформируется в другое. Просто это уже не так наглядно, как появление разрывов при переходе от плоского к искривленному пространству.

Munin в сообщении #1417603 писал(а):

Почему вы какие-то свои проблемы (пусть даже прошлые проблемы) приписываете большинству других людей?

Согласен, не нужно мне было так говорить. Мне только кажется, что большинству людей непонятно именно это. Я это сказал не для того, чтобы выгодно выделится на фоне тех, кому приписываю всякие глупости. Я это сказал потому, что трудности в правильном понимании идеи искривленного пространства очевидно широко распространены, так же как и неправильные представления. И я взял на себя смелость предположить, в чем заключается главная трудность, т.е. как именно человек обычно пытается понять эту идею и как лучше всего показать, что этот путь неверный.

[Munin]

sergey zhukov в сообщении #1417607 писал(а):

Мне только кажется, что большинству людей непонятно именно это.

Угу. Вот именно, что вам кажется.

Я имею некоторый опыт общения с людьми, объясняя им разные штуки. Так вот, им непонятно всем разное.

[epros]

sergey zhukov в сообщении #1417607 писал(а):

Но мне кажется, что не следует пренебрегать возможностью связать новое с хорошо известным, даже и в частном случае.

Я подозреваю, что понятие расстояния между точками Вам известно не хуже понятия деформации. Тем более, что деформация - это как раз изменение расстояний между точками.

sergey zhukov в сообщении #1417607 писал(а):

Вы же понимаете, что если в каждой точке пластины произвольно и независимо определить линейную деформацию, то каждый квадратик этой пластины превратится в произвольный параллелограмм. После такой деформации пластина будет разорвана в каждой точке, т.к. эти параллелограммы не складываются друг с другом.

Не понимаю смысла этих извращений. Разумеется можно, например, правую полуплоскость растянуть вдвое вдоль линии границы, а левую полуплоскость - сжать вдвое вдоль линии границы. После этого на границе образуется разрыв, который никак не получится устранить, ибо расстояния между точками границы, измеренные по левой и по правой полуплоскостям, не совпадут. В итоге никакого искривлённого пространства Вы не получите.

sergey zhukov в сообщении #1417607 писал(а):

Разумеется, в общем случае можно представлять, как одно искривленное пространство деформируется в другое.

А ещё лучше представлять, что ничего не деформируется, а пространство изначально имеет такую кривизну.

[sergey zhukov]

epros в сообщении #1417627 писал(а):

Я подозреваю, что понятие расстояния между точками Вам известно не хуже понятия деформации

Да, теперь то я уже лучше представляю, что значит "задать координаты и метрический тензор на многообразии". Но я все же не могу не заметить, что понятие не метрического пространства, в котором сетка координат есть, а расстояния все равно нет (если мы его еще не определили) - это очень, очень странное понятие. Я даже долго не мог уяснить, что вот именно об этом (задание координат точек и совершенно независимое от этого задание расстояния между ними) и идет речь. Если бы я объяснял это сам себе, то теперь сказал бы так: представим, что мы адресовали точки некоторого пространства буквами, а не цифрами. Какое расстояние между точками ASF и KLТ? Очевидно, что мы должны просто назначить его, и все. Расстояние между точками никак не следует из названия точек. С цифровыми обозначениями ровно то же самое.

Сначала я долго думал, что речь идет просто о криволинейных координатах на плоскости, а метрический тензор просто задает закон деформации прямоугольных координат в криволинейные (соответственно, никакой независимости координат и расстояния нет, каждая криволинейная клетка по прежнему имеет стороны единичной длины). Это по сути деформация с сохранением кривизны. Но потом я понял, что метрический тензор может задавать гораздо более общий закон деформации - деформация с изменением кривизны. Непрерывная деформация - это частный и наименее интересный случай. Гораздо интереснее, когда метрический тензор задает такую деформацию, которая вынуждает плоскость разорваться, т.е. такую деформацию пространства, которая приводит к изменению его кривизны.
Мне кажется, что этот пример позволяет четко понять где - переход от одних криволинейных координат к другим, а где - от одной кривизны пространства к другой.

epros в сообщении #1417627 писал(а):

После этого на границе образуется разрыв, который никак не получится устранить, ибо расстояния между точками границы, измеренные по левой и по правой полуплоскостям, не совпадут. В итоге никакого искривлённого пространства Вы не получите.

Компоненты метрического тензора должны гладко зависеть от координат. В противном случае очевидно нарушается условие связности, результат такой деформации уже ни во что не сложишь. Как в вашем примере.

epros в сообщении #1417627 писал(а):

А ещё лучше представлять, что ничего не деформируется, а пространство изначально имеет такую кривизну.

Конечно. Когда уже все понял.

[Munin]

sergey zhukov в сообщении #1417784 писал(а):

Но я все же не могу не заметить, что понятие не метрического пространства, в котором сетка координат есть, а расстояния все равно нет (если мы его еще не определили) - это очень, очень странное понятие.

Вообще говоря, в таких пространствах и сетки координат нет. И вообще, сетка координат пространству не нужна.

sergey zhukov в сообщении #1417784 писал(а):

Какое расстояние между точками ASF и KLТ? Очевидно, что мы должны просто назначить его, и все. Расстояние между точками никак не следует из названия точек.

Однако оно может следовать из других свойств пространства. Какое расстояние между северным и южным полюсом сферы радиуса 1? Это нельзя "просто назначить", это уже вычисляется однозначно.

[sergey zhukov]

Munin в сообщении #1417810 писал(а):

Вообще говоря, в таких пространствах и сетки координат нет. И вообще, сетка координат пространству не нужна.

Не метрическое пространство без координат - это удивительным не кажется. О каком вообще расстоянии может идти речь, если нельзя даже точно сказать, между чем мы собираемся его мерить? Но если координаты уже заданы и точки адресованы, то горазд труднее понять, каким образом в этом случае можно еще и метрику задать совершенно независимо. Особенно осложняет понимание тот факт, что все это рассматривается в плоском пространстве, у которого просто нет такого количества "степеней свободы".

Munin в сообщении #1417810 писал(а):

Какое расстояние между северным и южным полюсом сферы радиуса 1? Это нельзя "просто назначить", это уже вычисляется однозначно.

Да, когда мы произвольно назначаем расстояния, то просто сооружаем некоторую геометрию. Но если геометрия уже задана (скажем, сфера радиуса 1), то никакой свободы у нас нет. Расстояния следуют из геометрии.
Этим примером я хотел пояснить, что в плоском пространстве сетка координат (прямо или криволинейная) адресует все точки, и, одновременно, визуально отражает вид косоугольных координат в каждой точке пространства (масштабы по осям везде равны стороне клеток, углы между осями равны углам пересечения координатных линий). Но когда мы задаем искривленное пространство, то сетка координат нужна только для однозначной адресации точек. Теперь единичный масштаб вдоль координатных линий всюду по разному соотносится с величиной клетки и в общем случае не равен ей, величина клетки вообще перестает определять длину масштаба на координатой линии. Это приводит к тому, что и углы между координатными линиями прямо не соответствуют углам, нарисованным на плоскости.
Мне было трудно понять простую мысль, что искривленное пространство задается любой сеткой координат, масштаб которой по координатным линиям просто не равен размерам ее клеток.

[Munin]

sergey zhukov в сообщении #1417886 писал(а):

Но если координаты уже заданы и точки адресованы, то горазд труднее понять, каким образом в этом случае можно еще и метрику задать совершенно независимо. Особенно осложняет понимание тот факт, что все это рассматривается в плоском пространстве, у которого просто нет такого количества "степеней свободы".

Послушайте, откуда все эти ваши фантазии? Вы не пробовали нормальный учебник почитать?

[Sicker]

sergey zhukov
Я думаю могу вам помочь Ваше понятие искривленной сетки координат бессмысленно до введения метрики, т.к. она определяет, какие линии прямые (геодезические), а какие искривленные (имеют кривизну). Можете считать так, что у вас условно есть декартова прямоугольная сетка координат с единичными ортами. Теперь вы вводите метрику на этой сетке координат - каждому бесконечномалому евклидовому квадрату сопоставляете параллелограмм реального пространства путем задания масштаба по осям, и величины угла, которая соответствует прямому углу вашего изначального квадрата. Т.е. это эквивалентно заданию метрического тензора (у него в двухмерии тоже три независимые компоненты), и теперь вы можете вычислять любые длины кривых и углы между касательными