Кривизна пространства и неоднородность/анизотропия

[Munin]

sergey zhukov в сообщении #1420277 писал(а):

Т.е. плоское пространство в случае куба может получиться, только если отождествить его грани так, чтобы обход любого ребра заканчивался через 4 пересечения грани.

Не исключено. Но вообще говоря, это надо доказать. А именно, обход вершины тоже должен быть "не искривлённым". Вот и поработайте. (Либо докажите, либо постройте контрпример.)

sergey zhukov в сообщении #1420277 писал(а):

Если же обход любого ребра куба заканчивается, скажем, через 3 грани, то это эллиптическое пространство. Если через 5 и более - гиперболическое.

На самом деле, нет. Более точно, если выполнены такие условия, то кубу можно придать собственную кривизну, и тогда, не исключено, что вы сможете факторизовать эллиптическое и гиперболическое пространства таким образом.

sergey zhukov в сообщении #1420277 писал(а):

Такое пространство визуально будет выглядеть разрывным на ребрах (допустим, бесконечно тонких).

Снова ошибочные фантазии. Снова идите читать учебник.

[sergey zhukov]

Munin в сообщении #1420288 писал(а):

На самом деле, нет. Более точно, если выполнены такие условия, то кубу можно придать собственную кривизну

Т.е. склейка и кривизна - это все же не одно и то же. Склейка - это топология, способ организовать замкнутое пространство. Таких способов очень много, но в некоторых частных случаях склейка задана так, что по ее правилам можно сложить паркет в пространстве подходящей кривизны. Тогда, отождествляя друг с другом все многогранники паркета, можно сказать, что мы реализовали замкнутое пространство с топологией, заданой правилами склейки.
Например, придание додекаэдру положительной кривизны позволяет собреть паркет, реализующий топологию склейки с поворотом противоположной грани на 1/10 оборота, а придание ему отрицательной кривизны - реализовать топологию склейки с поворотом на 3/10. В последнем случае получается замкнутое пространство отрицательной кривизны.А если склеить не противоположные, а произвольные грани додэкаэдра, то в общем случае никакое пространство постоянной кривизны такую топологию не реализует.

Пространство постоянной положительной кривизны я всегда представлял, как сферу. Нечто подобное представлялось, как единственно возможное и в трехмерном случае (трехмерная сфера). Но трехмерное пространство постоянной положительной кривизны, в отличии от двумерной сферы, можно замкнуть многими способами. Один из них - додэкаэдрическое пространство Пуанкаре (сфера Пуанкаре). Сначала я думал, что это просто трехмерная замкнутая решетка с додэкаэдрическими ячейками, которую можно построить в пространстве положительной кривизны, замкнутом, как трехмерная сфера. Но, похоже, что это сложнее: додекаэдрическое пространство Пуанкаре замкнуто не как трехмерная сфера. При обходе такого мира по прямой тело возвращается в исходную точку повернутым вокруг оси, чего нет в пространстве типа трехмерной сферы. Т.е. есть несколько трехмерных пространств одинаковой положительной кривизны (и отрицательной тоже), но замкнутых по разному.

[Munin]

sergey zhukov в сообщении #1420352 писал(а):

Т.е. склейка и кривизна - это все же не одно и то же.

Хэниально! А то чё бы их называли разными словами?

sergey zhukov в сообщении #1420352 писал(а):

Но трехмерное пространство постоянной положительной кривизны, в отличии от двумерной сферы, можно замкнуть многими способами.

Не в отличие.

[sergey zhukov]

Munin в сообщении #1420402 писал(а):

Не в отличие.

А что, разве есть какие-то другие поверхности постоянной положительной кривизны без краев и особых точек, кроме сферы? Может, для них просто не существует вложений?

Munin в сообщении #1420402 писал(а):

А то чё бы их называли разными словами?

С этого иногда неплохо бы начинать ответ. Меньше глупых вопросов будет.

[Munin]

sergey zhukov в сообщении #1420416 писал(а):

А что, разве есть какие-то другие поверхности постоянной положительной кривизны без краев и особых точек, кроме сферы?

Да. Например, полусфера. Сектор полусферы. $1/6$ часть сферы, склеенная в тор, бутылку Клейна, проективную плоскость.

sergey zhukov в сообщении #1420416 писал(а):

С этого иногда неплохо бы начинать ответ.

Это настолько самоочевидно, что никому не приходит в голову, что это надо произносить.

Ладно, на будущее: всегда и везде в научной литературе, математической и физической, если что-то названо разными словами. то это разные вещи. Кроме исключительных случаев, когда явно сказано, что это одно и то же.

[sergey zhukov]

Нашел интересную статью на сайте http://www.spacetimetravel.org. Раздел "Sector models - a toolkit for teaching general relativity". Здесь описывается дискретное приближение искривленного пространства и искривленного пространства-времени. Рекомендую посмотреть ее тем, кто разбирается в этом предметет так же мало, как и я.
Искривленное трехмерное пространство представляется в виде дискретных евклидовых блоков (в общем случае любой формы). У соседних блоков стороны, которые должны прилегать друг к другу, одинаковы, но не параллельны. Из-за этого сложить блоки в плотный трехмерный паркет в плоском пространстве невозможно.

Если рассмотреть восемь соседних блоков, то кривизна пространства в данной точке выражается в том, что невозможно плотно сложить либо четыре блока А, либо четыре блока В, либо четыре блока С. На картинке приведен случай плоского пространства и пространства имеющего в сечении С отрицательную и положительную кривизну. Блоки А, как и блоки В, во всех случаях можно легко сложить по четыре вместе, а блоки С - нет. Значит, секционная кривизна в плоскости А и В равна нулю, а в плоскости С - положительная или отрицательная.
Как минимум три блока из четырех можно сложить при любой кривизне, поэтому кривизна в любой плоскости определяется только одним "клином" пустоты или перекрытия. Поэтому в общем случае наличие кривизны (положительной) по всем трем плоскостям будет выглядеть, как на последнем рисунке.

[Munin]

sergey zhukov в сообщении #1420753 писал(а):

Рекомендую посмотреть ее тем, кто разбирается в этом предметет так же мало, как и я.

Рекомендую, если вы не разбираетесь в предмете, смотреть учебники, а не собирать мусор.

[Утундрий]

Цитата:

Схемы были страшно примитивны...

...Позиции одной воюющей стороны кадет Биглер обозначил пустыми клеточками, а другой — заштрихованными. На той и другой стороне был левый фланг, центр и правый фланг. Позади — резервы. Там и здесь — стрелки. Схема битвы под Нердлингеном, так же как и схема битвы у Сараева, напоминала футбольное поле, на котором ещё в начале игры были расставлены игроки. Стрелки же указывали, куда та или другая сторона должна послать мяч.

Это моментально пришло в голову капитану Сагнеру, и он спросил:

— Кадет Биглер, вы играете в футбол?

[sergey zhukov]

Дискретные приближения очень полезны. Искривленное пространство, как и искривленное пространство-время, можно приблизить дискретно. Уверен, что и в численных моделях так поступают.

Искривленную поверхность можно приблизить плоскими полигонами. Свойство кривизны поверхности концентрируется на таком приближении в вершинах полигонов. Если разложить полигоны на плоскости, то они не образуют плотный паркет, но это не мешает нам выполнять любые геометрические построения на этих кусочках на плоскости, т.к. для этого всегда достаточно только попарного сложения двух соседних полигонов вдоль ребра и никогда не требуется складывать их плотно вокруг вершины. Нам всего лишь нужно знать, какое ребро одного многогранника тождественно с каким ребром другого многогранника, т.е. какой с каким и вдоль какого ребра складывать, когда нужно перейти из одного в другой.

Искривленное трехмерное пространство можно приблизить плоскими многогранниками. Свойство кривизны пространства концентрируется при таком приближении на вершинах и ребрах. Если разложить такие многогранники в плоском трехмерном пространстве, то они не образуют обьемный паркет, но это не мешает нам выполнять любые геометрические построения в этих многогранниках, т.к. для этого всегда достаточно попарного сложения двух соседних многогранников вдоль грани и никогда не требуется складывать их плотно вокруг вершины или ребра.

Метрика искривленного трехмерного пространства в дискретном приближении означает следующее. Задаются произвольные координаты, выбираются произвольные точки, которые будут вершинами многогранников. Между всеми этими точками находятся расстояния согласно метрике (в дискретном варианте считается, что метрика определяет конечные малые расстояния. Для этого вместо интегрирования применяется среднее значение метрики). Теперь эти многогранники строятся в плоском пространстве с теми длинами сторон, которые были вычислены. В плоском пространстве они не собираются в плотный паркет. Но для любых геометрических построений, целиком находящихся внутри этих многогранников, нам достаточно того, что два многогранника всегда можно приложить тождественными гранями, т.е. мы знаем порядок перехода из одного многогранника в другой. Взаимное расположение и ориентация многогранников в плоском пространстве, промежутки между ними - все это не играет никакой роли. Зазоры между многогранниками есть просто потому, что их нельзя устранить, а не потому, что их форма что-то значит. Главное, чтобы мы знали, в какую грань какого многогранника мы переходим, когда выходим из грани текущего.

Для искривленного пространства-времени все аналогично. Например, экваториальная плоскость черной дыры во времени образует трехмерное пространство-время 2+1. В этом пространстве задаются произвольные координаты, выбираются произвольные точки, которые будут вершинами многогранников. Между всеми этими точками находится интервал согласно метрике Минковского. Далее строим эти многогранники с вычисленными сторонами-интервалами в плоском пространстве-времени Минковского, и они так же не сходятся между собой. Основное отличие в том, что если в случае искривленного пространства мы могли приложить один многогранник к другому простым поворотом, то в пространстве Минковского мы должны приложить один многогранник к другому гиперболическим поворотом, что тоже всегда возможно сделать вдоль общей грани.

Относительно легко представить себе, как изнутри выглядит такое трехмерное дискретное приближение искривленного пространства, т.к. в нем эффект кривизны сосредоточен в конкретных прямых-ребрах и их пересечениях-вершинах. Эффект от существования такого ребра и его визуальный вид в целом хорошо понятен. Переход к непрерывной кривизне можно представлять, как измельчение евклидовых блоков.

[sergey zhukov]

Munin в сообщении #1420288 писал(а):

Не исключено. Но вообще говоря, это надо доказать. А именно, обход вершины тоже должен быть "не искривлённым". Вот и поработайте. (Либо докажите, либо постройте контрпример.)

Чтобы на ребре не было кривизны, нужно, чтобы на нем сходилось 4 грани. А чтобы в вершине не было кривизны, нужно, что в ней сходилось 6 ребер? Это нужно показать?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Пургаторий (М)»
Причина переноса: кажется, тема окончательно ушла от попыток ТС в чем-то разобраться к рекламе его же собственных воззрений.

[Munin]

sergey zhukov в сообщении #1420859 писал(а):

Дискретные приближения очень полезны.

Но не начинающим.

sergey zhukov в сообщении #1420875 писал(а):

Чтобы на ребре не было кривизны, нужно, чтобы на нем сходилось 4 грани.

Нет. Чтобы на ребре не было кривизны, нужно, чтобы на нём сходились 4 грани куба. А если вы берёте не куб, то можно и 3, и 6...

sergey zhukov в сообщении #1420875 писал(а):

А чтобы в вершине не было кривизны, нужно, что в ней сходилось 6 ребер? Это нужно показать?

Опять, только если речь о кубах. И нет, это условие необходимое, но не достаточное. Показать, грубо говоря, нужно то, что вершинная фигура ( https://en.wikipedia.org/wiki/Vertex_figure ) - октаэдр.

-- 15.10.2019 17:33:55 --

Ну я надеюсь, если ТС откроет новую тему, посвящённую исключительно попыткам разобраться в 4-мерных многогранниках (полихорах, политопах), не увязывая их со своими фантазиями на тему кривизны и анизотропии (это вполне реально сделать, если постараться), то такое будет дозволено модератором. Тема сама по себе интересная. Но я не очень-то надеюсь.