Упражнения с дельта-функцией

[Sicker]

Утундрий в сообщении #1417154 писал(а):

Ну, можно туда $g(x)=x^2$ подставить, например.

Тогда будет деление на ноль. Вы меня не проведете, Утундрий
Red_Herring
Ms-dos4
vend
Мне кажется, мы друг друга немного не поняли) Я под записью $\delta'(g(x))$ подразумевал не производную по $x$ от функции $\delta(g(x))$, а когда уже в функцию $\delta'(x)$ вместо $x$ подставляют $g(x)$, это просто омонимичные написания (если бы я рассматривал первый вариант, то написал бы штрих справа от всего)
Тогда мне и непонятно было, почему вы мне предлагаете тупо дифференцировать

[alcoholist]

Sicker в сообщении #1417236 писал(а):

Тогда будет деление на ноль

Это не отменяет актуальности вопроса "как работать с $\delta\left(x^2\right)$?"

[Sicker]

alcoholist в сообщении #1417253 писал(а):

Это не отменяет актуальности вопроса "как работать с $\delta\left(x^2\right)$?"

Никак, ее не существует
Вроде

[Red_Herring]

Sicker в сообщении #1417256 писал(а):

Никак, ее не существует
Вроде

А почему? Вы ведь нигде не написали условия что нули $g(x)$ простые (а я ведь намекал, что вы что то пропустили)

[Sicker]

Red_Herring в сообщении #1417260 писал(а):

А почему? Вы ведь нигде не написали условия что нули $g(x)$ простые (а я ведь намекал, что вы что то пропустили)

Я думал это очевидно

[alcoholist]

Sicker в сообщении #1417262 писал(а):

Я думал это очевидно

Вы можете столкнуться с выражением $\delta\left(x^n\right)$ где угодно. Так как же с ним обходиться?

[vend]

Sicker в сообщении #1417236 писал(а):

Утундрий
Red_Herring
Ms-dos4
vend
Мне кажется, мы друг друга немного не поняли) Я под записью $\delta'(g(x))$ подразумевал не производную по $x$ от функции $\delta(g(x))$, а когда уже в функцию $\delta'(x)$ вместо $x$ подставляют $g(x)$, это просто омонимичные написания (если бы я рассматривал первый вариант, то написал бы штрих справа от всего)
Тогда мне и непонятно было, почему вы мне предлагаете тупо дифференцировать

Извините, но ведь это вы тупо дифференцируете дельта-функцию в своих пунктах, как раз вам тут делать предлагают обратное.
Сами понимаете, всё что вы написали в своих пунктах это просто ошибка.
По определению, производная дельта-функции определяется как (что элементарно вывести)

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta'(x)dx = -\int\limits_{-\infty}^{\infty}f'(x)\delta(x)dx$$

вот и подставьте в дельта-функцию произвольный g(x).

[Sicker]

vend в сообщении #1417289 писал(а):

Сами понимаете, всё что вы написали в своих пунктах это просто ошибка.

Но это же можно вывести из графиков производных дельта-функции (если так же продифференцировать функцию ступенька, как функцию Хэвисайда) путем растяжения по оси абцисс

vend в сообщении #1417289 писал(а):

По определению, производная дельта-функции определяется как (что элементарно вывести)

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta'(x)dx = -\int\limits_{-\infty}^{\infty}f'(x)\delta(x)dx$$

вот и подставьте в дельта-функцию произвольный g(x).

Спасибо, что написали, а теперь я докажу свою формулу

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta'(x)dx = -\int\limits_{-\infty}^{\infty}f'(x)\delta(x)dx$$

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(g(x))\delta'(g(x))dg(x) = -\int\limits_{-\infty}^{\infty}f'(g(x))\delta(g(x))dg(x)$$

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty}g'(x)f(g(x))\delta'(g(x))dx = -\frac{1}{g'(0)}\int\limits_{-\infty}^{\infty}g'(x)f'(g(x))\delta(x)dx$$

Введем $\gamma(x)=g'(x)f(g(x))$, тогда можно заметить, что $g'(x)f'(g(x))=\frac{\gamma'(x)}{g'(x)}-\frac{g''(x)}{g'(x)^2}\gamma(x)$

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty}\gamma(x)\delta'(g(x))dx = -\frac{1}{g'(0)}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{\gamma'(x)}{g'(x)}-\frac{g''(x)}{g'(x)^2}\gamma(x)\delta(x)dx$$

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty}\gamma(x)\delta'(g(x))dx = -\frac{\gamma'(0)}{g'(0)^2}+\frac{g''(0)}{g'(0)^3}\gamma(0)$$

Или $\delta'(g(x))=\frac{\delta'(x)}{g'(0)^2}+\frac{g''(0)}{g'(0)^3}\delta(x)$
Да, ошибся со знаком, мог бы на этапе проверки исправить
А остальное верно? Просто как вы уже заметили, я просто угадал ответ, используя свою формулу, а как с нуля из вашего равенства вывести непонятно

-- 25.09.2019, 14:24 --

Ну или в общем виде $\delta'(g(x))=\sum\limits_{k} \frac{\delta'(x-x_k)}{|g'(x_k)|g'(x_k)}+\frac{g''(x_k)}{|g'(x_k)|g'(x_k)^2}\delta(x-x_k)$, где $g(x_k)=0$

[vend]

Sicker, вообще не верно, потому что $g(x)$ подставляется только в $\delta(x)$. Вы же подставляете ее везде, но почему-то этого не делаете когда нет производной, вот сами подумайте над разницей между этими интегралами

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta(g(x))dx \ne \int\limits_{-\infty}^{\infty}f(g(x))\delta(g(x))dg(x)$$

[Sicker]

vend в сообщении #1417318 писал(а):

вообще не верно, потому что $g(x)$ подставляется только в $\delta(x)$

С какого? Возьмите вместо $\delta(x)$ какую-нибудь обычную функцию и убедитесь, что так делать нельзя

vend в сообщении #1417318 писал(а):

Вы же подставляете ее везде, но почему-то этого не делаете когда нет производной

Где я этого не делаю? Я везде заменил $x$ на $g(x)$

vend в сообщении #1417318 писал(а):

вот сами подумайте над разницей между этими интегралами

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta(g(x))dx \ne \int\limits_{-\infty}^{\infty}f(g(x))\delta(g(x))dg(x)$$

Так вы мне это и предлагаете делать, а это неверно
Кстати

vend в сообщении #1417289 писал(а):

Извините, но ведь это вы тупо дифференцируете дельта-функцию в своих пунктах

Где я дифференцировал в своих пунктах? Я просто написал тождества без способа их получения

vend в сообщении #1417289 писал(а):

как раз вам тут делать предлагают обратное.

Что обратное? Мне как раз тут советуют дифференцировать,

Ms-dos4 в сообщении #1417029 писал(а):

В каком месте модули ${\left| {f'({x_k})} \right|}$ в общем выражении для $\delta (f(x))$ (которое вы так и не соизволили привести) могут вам помешать работать с производными?

[vend]

Sicker в сообщении #1417320 писал(а):

С какого? Возьмите вместо $\delta(x)$ какую-нибудь обычную функцию и убедитесь, что так делать нельзя

Можно, нужно, и только так и делается, по определению.

Поймите, Вы считаете производную от $\delta(g(x))$, а не от непонятного выражения $f(g(x))\delta(g(x))dg(x)$.

Sicker в сообщении #1417320 писал(а):

Где я этого не делаю? Я везде заменил $x$ на $g(x)$

Вот это ваша ошибка, нельзя везде заменять. Когда вы без производной выписываете интеграл он у вас имеет вид только с одним g(x), в дельта-функции.

Sicker в сообщении #1417320 писал(а):

Так вы мне это и предлагаете делать, а это неверно

Это верно, неверно ваше везде заменить, это просто непонимание основ анализа.

Sicker в сообщении #1417320 писал(а):

Что обратное? Мне как раз тут советуют дифференцировать,

Это вам там не предлагают, как раз указывают что так как вы делаете делать нельзя.

[Sicker]

vend в сообщении #1417321 писал(а):

Можно, нужно, и только так и делается, по определению.

По какому определению?

vend в сообщении #1417321 писал(а):

Поймите, Вы считаете производную от $\delta(g(x))$

Я же написал в теме, я не считаю эту производную, я делаю замену переменной в производной. Вот вам пример из обычных функций, пусть $f=x^2,g=x^3$, можно найти производную $f'(g(x))=5x^4$, а можно в производную $f'(x)=2x$ вместо $x$ подставить новый аргумент $g(x)$, и будет $f'(g(x))=2x^3$

vend в сообщении #1417321 писал(а):

Вот это ваша ошибка, нельзя везде заменять

Почему нельзя?

vend в сообщении #1417321 писал(а):

Когда вы без производной выписываете интеграл он у вас имеет вид только с одним g(x), в дельта-функции.

Так если вы намекаете на

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta'(g(x))dx = -\int\limits_{-\infty}^{\infty}f'(x)\delta(g(x))dx$$

то это ошибочное равенство, правильное будет

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty}g'(x)f(x)\delta'(g(x))dx = -\int\limits_{-\infty}^{\infty}f'(x)\delta(g(x))dx$$

vend в сообщении #1417321 писал(а):

Это верно, неверно ваше везде заменить

Вы знаете что такое замена переменных в интеграле?
Если у нас есть равенство

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta'(x)dx = -\int\limits_{-\infty}^{\infty}f'(x)\delta(x)dx$$

то мы можем написать

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(g(x))\delta'(g(x))dg(x) = -\int\limits_{-\infty}^{\infty}f'(g(x))\delta(g(x))dg(x)$$

Это основы анализа

vend в сообщении #1417321 писал(а):

это просто непонимание основ анализа.

А мне кажется, что вы просто троллите

vend в сообщении #1417321 писал(а):

Это вам там не предлагают, как раз указывают что так как вы делаете делать нельзя.

Я хотел бы послушать мнение других математиков. Ни один из них мне в теме не сказать про ошибочность моих равенств, просто попросили записать в случае $g(x)$ общего вида

[vend]

Sicker, вы действительно не понимаете базовых основ совсем, не понимаете что считаете что такое дельта-функция совсем. Объясняю кратко, Дельта-функция это не обычная функция, это обобщенная функция (распределение), она не существует в отрыве от своего интегрального определения, так вот она определена через интеграл

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta(x-0)dx = f(0)$$

, где $f(x)$ абсолютно любая функция, никак не зависящая от того что стоит в дельта-функции!

Поэтому композиция функций $\delta(x)\circ g(x)$ есть

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta(g(x))dx = \sum\dfrac{1}{|g'(x_n)|}f(x_n),$$

где $g(x_n)=0$
f от этой композиции никак не может меняться! Поэтому, неверно

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(g(x))\delta(g(x))dg(x),$$

которое вообще значит черте что.

Вы можете убедиться в этом подставляя $g(x) = x - a$, и понимая что это будет

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta(x-a)dx = f(a),$$

а ни в коем случае не

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x-a)\delta(x-a)d(x-a) = f(0)$$

Потому что $f(x)$ никак не зависит от $g(x).

Всё, я всё объяснил. Если меня не поняли, то я выдохся, пусть кто нибудь другой попробует.

[Sicker]

vend в сообщении #1417334 писал(а):

Sicker, вы действительно не понимаете базовых основ совсем, не понимаете что считаете что такое дельта-функция совсем.

Я к вашему сведению сдал кванты на пятерку, вон Munin подтвердит. А вы говорите я что базовых основ не понимаю

vend в сообщении #1417334 писал(а):

Объясняю кратко, Дельта-функция это не обычная функция, это обобщенная функция (распределение), она не существует в отрыве от своего интегрального определения, так вот она определена через интеграл

Дельта-функцию можно рассматривать как функцию ступенька. Вы явно математик, а не физик
И я не понимаю, вы написали очевидные вещи, с которыми я не спорил. Почему ничего не сказали о производной дельта-функции, и о вашем псевдоравенстве
$\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta'(g(x))dx = -\int\limits_{-\infty}^{\infty}f'(x)\delta(g(x))dx$
Так оно по вашему верно, или нет?
Почему вы не отвечаете содержательно на мои посты?

vend в сообщении #1417334 писал(а):

Всё, я всё объяснил. Если меня не поняли, то я выдохся, пусть кто нибудь другой попробует.

Так чему все-таки равна $\delta'(g(x)$, мне аж прям интересно

[vend]

Sicker в сообщении #1417338 писал(а):

Я к вашему сведению сдал кванты на пятерку, вон Munin подтвердит.

Увы, я без понятия как и куда можно сдать кванты.

Sicker в сообщении #1417338 писал(а):

Дельта-функцию можно рассматривать как функцию ступенька.

Вот видите, вы ее не понимаете совсем.

Sicker в сообщении #1417338 писал(а):

вашем псевдоравенстве

Это не псевдоравенство, а натуральное равенство.

Sicker в сообщении #1417338 писал(а):

$\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta'(g(x))dx = -\int\limits_{-\infty}^{\infty}f'(x)\delta(g(x))dx$
Так оно по вашему верно, или нет?

Вот это "мое" равенство верно.

Sicker в сообщении #1417338 писал(а):

Почему вы не отвечаете содержательно на мои посты?

Я вам самым содержательным образом отвечал, вы просто не понимаете что ошибаетесь в основах. Просто не обращаете внимания на слова, не обратили внимания на

vend в сообщении #1417289 писал(а):

подставьте в дельта-функцию произвольный g(x).

Sicker в сообщении #1417338 писал(а):

Так чему все-таки равна $\delta'(g(x)$, мне аж прям интересно

Не додумаетесь? Ну ладно. Если речь идет о символическом равенстве, то
$\delta^{(n)}(g(x)) = (-1)^n \dfrac{n!}{x^n}\delta(g(x))$