Упражнения с дельта-функцией

[Sicker]

Решил поупражняться с дельта-функцией Все-ли тождества верны?
1. $\delta(g(x))=\frac{1}{g'(0)}\delta(x)$
2. $\delta'(g(x))=\frac{\delta'(x)}{g'(0)^2}-\frac{g''(0)}{g'(0)^3}\delta(x)$ или
$\delta'(g^{-1}(x))=g'(0)^2\delta'(x)-g''(0)\delta(x)$, где $g^{-1}(x)$ - обратная функция к $g(x)$
3. $\delta''(g(x))=\frac{1}{g'(0)^3}\delta''(x)+\frac{2g''(0)}{g'(0)^4}\delta'(x)+(\frac{3g''(0)^2}{g'(0)^5}-\frac {g'''}{g'(0)^4})\delta(x)$, или
$\delta''(g^{-1}(x))=g'(0)^3\delta''(x)-2g''(0)g'(0)\delta'(x)+g'''(0)\delta(x)$
Интересно было бы получить выражение для $\delta^{(n)}(g^{-1}(x))$ У меня есть только несколько членов
$\delta^{(n)}(g^{-1}(x))=g'(0)^{n+1}\delta^{(n)}(x)-ng''(0)g'(0)^{n-1}\delta^{n-1}(x)+...+g^{(n+1)}(0)\delta(x)$

[vend]

Первое уже не верно, поэтому, все остальные смотреть лень.

[Sicker]

vend
А почему?

[Red_Herring]

Sicker в сообщении #1416859 писал(а):

А почему?

А где $g(x)$ обращается в $0$?

[vend]

Sicker в сообщении #1416859 писал(а):

vend
А почему?

Подумайте сами, сколько нулей у $g(x)=(x-1)(x+1)$ и об их четности?
Если не надумаете, то выпишу общую формулу.

[Sicker]

Red_Herring
vend
Ой, тогда для простоты пусть $g(x)$ монотонная функция (возрастающая), равная нулю в нуле

[Red_Herring]

Sicker в сообщении #1416864 писал(а):

Ой, тогда для простоты пусть $g(x)$ монотонная функция (возрастающая), равная нулю в нуле

Забыли еще одно условие, и постарайтесь понять, что будет если
1. $g(x)$ убывающая
2. Имеет более одного $0$, например $g(x)=\sin(x)$.

[Sicker]

Red_Herring в сообщении #1416871 писал(а):

Забыли еще одно условие.

$g(x)$ должна быть гладкой и быть дифференцируема нужное количество раз?

Red_Herring в сообщении #1416871 писал(а):

$g(x)$ убывающая

Все нечетные производные дельта-функции меняют знак, поэтому если $g'(0)<0$, то в моих формулах сначала надо написать знак минус перед правой частью, если в левой части нечетная производная дельта-функции, а потом сменить знаки у всех производных $g(0)$, кроме первой и у нечетных производных дельта-функции в правой части

Red_Herring в сообщении #1416871 писал(а):

2. Имеет более одного $0$, например $g(x)=\sin(x)$.

Просто пишем сумму по точкам, где $g(x)$ ноль, у дельта-функций аргументы будут $x-x_k$, а у производных $x_k$
А что насчет самих формул?

[Red_Herring]

Sicker в сообщении #1417005 писал(а):

А что насчет самих формул?

Напишите правильную общую формулу для самой $\delta$. Все остальные получаются локальной заменой переменной (надо помнить что $\delta$ не функция, а плотность).

[Sicker]

Red_Herring
А что делать с отрицательной первой производной?

-- 24.09.2019, 05:18 --

Red_Herring

(Оффтоп)

Я конечно знал, что математики народ вредный, но зачем усложнять формулы, чтобы проверить их правильность?

-- 24.09.2019, 05:19 --

Red_Herring в сообщении #1417009 писал(а):

Напишите правильную общую формулу для самой $\delta$

Там кстати модули вылезают, так что их еще раскрывать как-то надо

[Red_Herring]

Sicker в сообщении #1417011 писал(а):

Там кстати модули вылезают, так что их еще раскрывать как-то надо

Зачем?

[Sicker]

Red_Herring в сообщении #1417015 писал(а):

Зачем?

Ну а как производные брать, или что вы хотите?

[Ms-dos4]

Sicker
В каком месте модули ${\left| {f'({x_k})} \right|}$ в общем выражении для $\delta (f(x))$ (которое вы так и не соизволили привести) могут вам помешать работать с производными?

[Sicker]

Ms-dos4 в сообщении #1417029 писал(а):

В каком месте модули ${\left| {f'({x_k})} \right|}$ в общем выражении для $\delta (f(x))$ (которое вы так и не соизволили привести) могут вам помешать работать с производными?

Вот общее выражение для дельта-функции $\delta(g(x))=\sum \frac{1}{|g'(x_k)|}\delta(x-x_k)$
Дальше-то что?

[Утундрий]

Sicker в сообщении #1417104 писал(а):

Дальше-то что?

Ну, можно туда $g(x)=x^2$ подставить, например.