По мотивам произведений последовательных натуральных чисел.

[TR63]

Andrey A в сообщении #1364661 писал(а):

То есть решений именно нет кроме $q=1$

Shadow в сообщении #1364749 писал(а):

Нет решений при $q>1$

Andrey A,
Shadow,
спасибо.

Итак, подведём итоги.

Мы имеем три серии бесконечных последовательностей уравнений типа

$$ay^2-bx^2=c$$

1). $\{l;(l+1);(l-1)\}=\{a;b;c\}$
2). $\{l;(l+1)(2l-1)\}$
3). $\{(4l+4);(4l+6);(4l+2)\}$

$l$-переменная, $0<l<\infty$

Во всех сериях коэффициенты $(a,b,c)$ обладают свойством

1). $abc\neq k^2$
2). Коэффициенты первого уравнения серии обладают свойством $c<a<b$; для всех других уравнений серии это свойство нарушено.
3). Второе уравнение серии не имеет решений.

Гипотеза: все последующие уравнения серии решений не имеют.

Проверили на Вольфраме, проверили аналитически. Гипотеза в рассмотренных трёх сериях подтвердилась.

Вопрос:
существует ли бесконечная серия уравнений, обладающая свойствами $(1;2;3)$, у которой существуют уравнения, кроме первого, имеющие решения. Если существует, предъявить.

Более простой вопрос:
придумайте бесконечную последовательность уравнений, имеющую свойства $(1;2;3)$ и исследуйте её на предмет существования решений.

Замечание: можно использовать только операции сложения, умножения и натуральные числа.

[TR63]

Уточнение:

TR63 в сообщении #1364855 писал(а):

Замечание: можно использовать только операции сложения, умножения и обратные; натуральные числа.

[TR63]

TR63 в сообщении #1364855 писал(а):

2). Коэффициенты первого уравнения серии обладают свойством $c<a<b$; для всех других уравнений серии это свойство нарушено.

Какое "это"? (здесь "мутный текст" требует разъяснения). Я подразумевала наличие разделительного свойства (в исходной и обобщённой задаче оно имеется; пока не буду говорить, какое именно я вижу, т.к. в соседней теме начался численный эксперимент, имеющий отношение к этим задачам; скажу только, что с помощью такого свойства последовательность уравнений должна разбиваться на два не пересекающихся класса, причём, в левом классе должен находится только один элемент; кроме того, там ТС выдвинул гипотезу о последовательности уравнений: $x_1^2-ly^2=-(l-1)$, которая обладает указанными свойствами (здесь надо посмотреть внимательно), но только третье свойство противоположно(поэтому и результат противоположен)).
Короче, интересно, что покажет эксперимент.

[TR63]

Уравнение

TR63 в сообщении #1411015 писал(а):

гипотезу о последовательности уравнений: $x_1^2-ly^2=-(l-1)$

совсем простое в плане исследуемого вопроса. Там же (в теме"Уравнение Пелля с параметром") рассматривается уравнение

$$x^2-l(l+1)y^2=-(l^2-1)$$

и доказывается, что решения существуют только при $l=k^2-1$. Почему нет экстраполяции? Думаю, что из-за отсутствия разделительного свойства с одним элементом в левом классе. Всё же, если взять $l=k^2-1$ в качестве разделительного свойства, то, как доказано, экстраполяция есть. Но последовательность уравнений Пелля делится на не пересекающиеся классы не по переменной $(l)$ а по $l=f_i(k)$. Остаётся доказать для $i=2$. $f_2(k)$ не должно содержать чисел вида $n^2-1$. Возможно, здесь задание такой формулы и доказательство для неё сложнее, чем просто доказательство в лоб (без гипотез). Но оставим этот вопрос в стороне.
Меня интересует более вопрос: случайно ли в этой задаче оказалась возможной экстраполяция при делителе $l=k^2-1$. Чтобы ответить на этот вопрос, надо найти хотя бы один-два контрпримера уравнений Пелля с параметром , обладающих аналогичным набором свойств, но не имеющих экстраполяции.

Рассмотрим возможный набор свойств, которым обладает уравнение $x^2-l(l+1)y^2=-(l^2-1)$. И затем рассмотрим какое-нибудь уравнение, обладающее таким же набором свойств, на предмет (наличия; отсутствия) экстраполяции (существования; несуществования) решений.

$$ax^2-by^2=c$$

1). Модуль произведения коэффициентов не равен квадрату, т.е. $\mid abc\mid\neq k^2$.
2).Если общий множитель при $(b;c)$ равен квадрату, т.е. $l+1=k^2$, то решение существует.
3). Если $(x)$ простое, то решений не существует.
4). При $l=0$ решение существует.

Такими свойствами обладают два уравнения:
1). $x^2-l(l+1)y^2=-(l^2-1)$.

2). $lx^2-(l+1)(2l-1)y^2=-(2l-1)$. $(l)$ чётное (правда, для него свойство $(2)$ очень ложное, поскольку сумма нечётных квадратов не делится на четыре (для экстраполяции это не страшно по другой гипотезе (оставим это пока в стороне)).

Задача.

Существует ли чётное $(l)$, при котором уравнение $(2)$ имеет решение в натуральных числах.

[TR63]

Из параллельной темы (указывалась выше), которую, как случайно оказалось, можно рассматривать в качестве экспериментальной проверки, предложенной здесь схемы (гипотезы), уравнение

$$x^2-(l^2-l)y^2=-(l^2-1)$$

сводится к уравнению

$$B^2-(y^2-1)A^2=ab^2\eqno(3)$$

(Будем рассматривать его здесь как самостоятельное в натуральных числах.)
где
$y^2-2=kab$
$(ab)$ свободно от квадратов
ged$(A,B)=1$ (возможно, это условие не обязательно; следует уточнить)
$ab^2<y$
Здесь уже можно увидеть, что это уравнение подпадает под схему (нужное разделительное свойство можно найти, но оставим это в стороне пока).
Кроме того, отсутствие решений у уравнения $(3)$ при $(ab\neq1)$ следует из абсолютно ложного утверждения (надо решить пару квадратных уравнений, чтобы его увидеть; но не будем этого делать; просто, примем к сведению эту информацию). Значит, гипотетически имеется шанс на экстраполяцию. Что и подтверждается аналитическим решением в параллельной теме, если я правильно поняла сделанный там вывод относительно этого уравнения.
Из уравнения $(1)$ можно ещё извлечь информацию (в качестве иллюстрации) относительно количества элементов (ограниченное\неограниченное) в левом классе для гипотетического прогноза однозначности (наличия\отсутствия) экстраполяции. Но это уже немного другая история.

Итак, остался не раскрытым вопрос об уравнении $(2)$:

TR63 в сообщении #1412291 писал(а):

2). $lx^2-(l+1)(2l-1)y^2=-(2l-1)$. $(l)$ чётное (правда, для него свойство $(2)$ очень ложное, поскольку сумма нечётных квадратов не делится на четыре (для экстраполяции это не страшно по другой гипотезе (оставим это пока в стороне)).

Задача.

Существует ли чётное $(l)$, при котором уравнение $(2)$ имеет решение в натуральных числах.

[TR63]

TR63 в сообщении #1414531 писал(а):

Итак, остался не раскрытым вопрос об уравнении $(2)$:

Поскольку ответа на поставленный вопрос нет (возможно, из-за того, что задача сложна, по крайней мере, для меня это так), то в качестве иллюстрации схемы (и, даже, более общей) можно рассмотреть более простую задачу:

Задача.

Существует ли решение в натуральных числах для уравнения:

$$x^3-p^4x+4(p^3+1)=0$$

где $(p)$ нечётный натуральный параметр.

Замечание.

Эта задача простая, но она является основанием для более сложных задач (в рамках рассматриваемой схемы).

[Shadow]

TR63 в сообщении #1417042 писал(а):

Существует ли решение в натуральных числах для уравнения:

$$x^3-p^4x+4(p^3+1)=0$$

где $(p)$ нечётный натуральный параметр.

Я вас опять с трудом понимаю - если $p$ - параметр, то и думать нечего - кубическое уравнение, у которого могут быть, а могут и не быть целые (натуральные) корни. А ваше диофантовое уравнение от двух переменных $(x,p)$ натуральных решений не имеет, потому что, рассматривая его как кубическое относительно $x$, в общем, кроме перечисляемых случаях, будет иметь 3 веществееных корня:

$-p^2-1<x_1<-p^2$

$0<x_2<1$

$p^2-1<x_3<p^2$

В чем можно убедится прямой проверкой. И четност-нечетность $p$ тут непричом.

-- 24.09.2019, 10:35 --

Аналогично обстоят дела и при $p<0$, правда, есть решения при $p=-1$

[TR63]

Shadow в сообщении #1417046 писал(а):

диофантовое уравнение от двух переменных $(x,p)$ натуральных решений не имеет

Да, верно. Спасибо. (Я сначала потренировалась на Вольфраме, и там заметила эту идею; ну, а дальше дело техники; хотя этот результат я предвидела гипотетически, исходя из моей схемы, и аналитическое решение его подтвердило).

Shadow в сообщении #1417046 писал(а):

четност-нечетность $p$ тут непричом

При чётных $(p)$ решений просто не может быть (это можно легко объяснить, поэтому я их из рассмотрения исключила).
Далее, на основе этого уравнения надо предложить уравнение с другим свободным членом, зависящим от одной переменной, но, чтобы условия схемы выполнялись и чтобы не было решений в натуральных числах.
Если предложений не будет, то позже предложу своё.

[TR63]

Требуется решить уравнение с простым натуральным параметром $(q)$ в натуральных числах $(a_1;p)$

$$a_1^3-p^4a_1+16q^2=0$$

(Здесь имеется общее свойство и разделительное свойство с остатком в левом классе, при делении на не пересекающиеся классы, равном единице. Значит, гипотетически возможна экстраполяция по параметру $(q)$. Т.е. гипотетически получим, что решений нет. Этот гипотетический результат легко подтверждается аналитически (надеюсь, что не ошиблась; там просто надо рассмотреть много различных вариантов)).

И, если это, действительно, так, то возникает вопрос:

что будет при натуральном положительном параметре $(q)$. Сохранится ли возможность экстраполяции или, хотя бы, может быть более одного решения?
Если это аналитически сложная задача, то интересно найти область, в которой гарантировано решений не существует.