2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: По мотивам произведений последовательных натуральных чисел.
Сообщение30.12.2018, 21:07 


03/03/12
1225
Andrey A в сообщении #1364661 писал(а):
То есть решений именно нет кроме $q=1$

Shadow в сообщении #1364749 писал(а):
Нет решений при $q>1$

Andrey A,
Shadow,
спасибо.

Итак, подведём итоги.

Мы имеем три серии бесконечных последовательностей уравнений типа

$$ay^2-bx^2=c$$

1). $\{l;(l+1);(l-1)\}=\{a;b;c\}$
2). $\{l;(l+1)(2l-1)\}$
3). $\{(4l+4);(4l+6);(4l+2)\}$

$l$-переменная, $0<l<\infty$

Во всех сериях коэффициенты $(a,b,c)$ обладают свойством

1). $abc\neq k^2$
2). Коэффициенты первого уравнения серии обладают свойством $c<a<b$; для всех других уравнений серии это свойство нарушено.
3). Второе уравнение серии не имеет решений.

Гипотеза: все последующие уравнения серии решений не имеют.

Проверили на Вольфраме, проверили аналитически. Гипотеза в рассмотренных трёх сериях подтвердилась.

Вопрос:
существует ли бесконечная серия уравнений, обладающая свойствами $(1;2;3)$, у которой существуют уравнения, кроме первого, имеющие решения. Если существует, предъявить.

Более простой вопрос:
придумайте бесконечную последовательность уравнений, имеющую свойства $(1;2;3)$ и исследуйте её на предмет существования решений.

Замечание: можно использовать только операции сложения, умножения и натуральные числа.

 Профиль  
                  
 
 Re: По мотивам произведений последовательных натуральных чисел.
Сообщение08.01.2019, 11:30 


03/03/12
1225
Уточнение:
TR63 в сообщении #1364855 писал(а):
Замечание: можно использовать только операции сложения, умножения и обратные; натуральные числа.

 Профиль  
                  
 
 Re: По мотивам произведений последовательных натуральных чисел.
Сообщение18.08.2019, 11:59 


03/03/12
1225
TR63 в сообщении #1364855 писал(а):
2). Коэффициенты первого уравнения серии обладают свойством $c<a<b$; для всех других уравнений серии это свойство нарушено.

Какое "это"? (здесь "мутный текст" требует разъяснения). Я подразумевала наличие разделительного свойства (в исходной и обобщённой задаче оно имеется; пока не буду говорить, какое именно я вижу, т.к. в соседней теме начался численный эксперимент, имеющий отношение к этим задачам; скажу только, что с помощью такого свойства последовательность уравнений должна разбиваться на два не пересекающихся класса, причём, в левом классе должен находится только один элемент; кроме того, там ТС выдвинул гипотезу о последовательности уравнений: $x_1^2-ly^2=-(l-1)$, которая обладает указанными свойствами (здесь надо посмотреть внимательно), но только третье свойство противоположно(поэтому и результат противоположен)).
Короче, интересно, что покажет эксперимент.

 Профиль  
                  
 
 Re: По мотивам произведений последовательных натуральных чисел.
Сообщение27.08.2019, 10:46 


03/03/12
1225
Уравнение
TR63 в сообщении #1411015 писал(а):
гипотезу о последовательности уравнений: $x_1^2-ly^2=-(l-1)$

совсем простое в плане исследуемого вопроса. Там же (в теме"Уравнение Пелля с параметром") рассматривается уравнение
$$x^2-l(l+1)y^2=-(l^2-1)$$
и доказывается, что решения существуют только при $l=k^2-1$. Почему нет экстраполяции? Думаю, что из-за отсутствия разделительного свойства с одним элементом в левом классе. Всё же, если взять $l=k^2-1$ в качестве разделительного свойства, то, как доказано, экстраполяция есть. Но последовательность уравнений Пелля делится на не пересекающиеся классы не по переменной $(l)$ а по $l=f_i(k)$. Остаётся доказать для $i=2$. $f_2(k)$ не должно содержать чисел вида $n^2-1$. Возможно, здесь задание такой формулы и доказательство для неё сложнее, чем просто доказательство в лоб (без гипотез). Но оставим этот вопрос в стороне.
Меня интересует более вопрос: случайно ли в этой задаче оказалась возможной экстраполяция при делителе $l=k^2-1$. Чтобы ответить на этот вопрос, надо найти хотя бы один-два контрпримера уравнений Пелля с параметром , обладающих аналогичным набором свойств, но не имеющих экстраполяции.

Рассмотрим возможный набор свойств, которым обладает уравнение $x^2-l(l+1)y^2=-(l^2-1)$. И затем рассмотрим какое-нибудь уравнение, обладающее таким же набором свойств, на предмет (наличия; отсутствия) экстраполяции (существования; несуществования) решений.

$$ax^2-by^2=c$$

1). Модуль произведения коэффициентов не равен квадрату, т.е. $\mid abc\mid\neq k^2$.
2).Если общий множитель при $(b;c)$ равен квадрату, т.е. $l+1=k^2$, то решение существует.
3). Если $(x)$ простое, то решений не существует.
4). При $l=0$ решение существует.

Такими свойствами обладают два уравнения:
1). $x^2-l(l+1)y^2=-(l^2-1)$.

2). $lx^2-(l+1)(2l-1)y^2=-(2l-1)$. $(l)$ чётное (правда, для него свойство $(2)$ очень ложное, поскольку сумма нечётных квадратов не делится на четыре (для экстраполяции это не страшно по другой гипотезе (оставим это пока в стороне)).

Задача.

Существует ли чётное $(l)$, при котором уравнение $(2)$ имеет решение в натуральных числах.

 Профиль  
                  
 
 Re: По мотивам произведений последовательных натуральных чисел.
Сообщение11.09.2019, 09:41 


03/03/12
1225
Из параллельной темы (указывалась выше), которую, как случайно оказалось, можно рассматривать в качестве экспериментальной проверки, предложенной здесь схемы (гипотезы), уравнение
$$x^2-(l^2-l)y^2=-(l^2-1)$$
сводится к уравнению
$$B^2-(y^2-1)A^2=ab^2\eqno(3)$$
(Будем рассматривать его здесь как самостоятельное в натуральных числах.)
где
$y^2-2=kab$
$(ab)$ свободно от квадратов
ged$(A,B)=1$ (возможно, это условие не обязательно; следует уточнить)
$ab^2<y$
Здесь уже можно увидеть, что это уравнение подпадает под схему (нужное разделительное свойство можно найти, но оставим это в стороне пока).
Кроме того, отсутствие решений у уравнения $(3)$ при $(ab\neq1)$ следует из абсолютно ложного утверждения (надо решить пару квадратных уравнений, чтобы его увидеть; но не будем этого делать; просто, примем к сведению эту информацию). Значит, гипотетически имеется шанс на экстраполяцию. Что и подтверждается аналитическим решением в параллельной теме, если я правильно поняла сделанный там вывод относительно этого уравнения.
Из уравнения $(1)$ можно ещё извлечь информацию (в качестве иллюстрации) относительно количества элементов (ограниченное\неограниченное) в левом классе для гипотетического прогноза однозначности (наличия\отсутствия) экстраполяции. Но это уже немного другая история.

Итак, остался не раскрытым вопрос об уравнении $(2)$:
TR63 в сообщении #1412291 писал(а):
2). $lx^2-(l+1)(2l-1)y^2=-(2l-1)$. $(l)$ чётное (правда, для него свойство $(2)$ очень ложное, поскольку сумма нечётных квадратов не делится на четыре (для экстраполяции это не страшно по другой гипотезе (оставим это пока в стороне)).

Задача.

Существует ли чётное $(l)$, при котором уравнение $(2)$ имеет решение в натуральных числах.

 Профиль  
                  
 
 Re: По мотивам произведений последовательных натуральных чисел.
Сообщение24.09.2019, 10:52 


03/03/12
1225
TR63 в сообщении #1414531 писал(а):
Итак, остался не раскрытым вопрос об уравнении $(2)$:


Поскольку ответа на поставленный вопрос нет (возможно, из-за того, что задача сложна, по крайней мере, для меня это так), то в качестве иллюстрации схемы (и, даже, более общей) можно рассмотреть более простую задачу:

Задача.

Существует ли решение в натуральных числах для уравнения:
$$x^3-p^4x+4(p^3+1)=0$$
где $(p)$ нечётный натуральный параметр.

Замечание.

Эта задача простая, но она является основанием для более сложных задач (в рамках рассматриваемой схемы).

 Профиль  
                  
 
 Re: По мотивам произведений последовательных натуральных чисел.
Сообщение24.09.2019, 11:28 


26/08/11
1850
TR63 в сообщении #1417042 писал(а):
Существует ли решение в натуральных числах для уравнения:
$$x^3-p^4x+4(p^3+1)=0$$
где $(p)$ нечётный натуральный параметр.
Я вас опять с трудом понимаю - если $p$ - параметр, то и думать нечего - кубическое уравнение, у которого могут быть, а могут и не быть целые (натуральные) корни. А ваше диофантовое уравнение от двух переменных $(x,p)$ натуральных решений не имеет, потому что, рассматривая его как кубическое относительно $x$, в общем, кроме перечисляемых случаях, будет иметь 3 веществееных корня:

$-p^2-1<x_1<-p^2$

$0<x_2<1$

$p^2-1<x_3<p^2$

В чем можно убедится прямой проверкой. И четност-нечетность $p$ тут непричом.

-- 24.09.2019, 10:35 --

Аналогично обстоят дела и при $p<0$, правда, есть решения при $p=-1$

 Профиль  
                  
 
 Re: По мотивам произведений последовательных натуральных чисел.
Сообщение24.09.2019, 13:03 


03/03/12
1225
Shadow в сообщении #1417046 писал(а):
диофантовое уравнение от двух переменных $(x,p)$ натуральных решений не имеет

Да, верно. Спасибо. (Я сначала потренировалась на Вольфраме, и там заметила эту идею; ну, а дальше дело техники; хотя этот результат я предвидела гипотетически, исходя из моей схемы, и аналитическое решение его подтвердило).
Shadow в сообщении #1417046 писал(а):
четност-нечетность $p$ тут непричом

При чётных $(p)$ решений просто не может быть (это можно легко объяснить, поэтому я их из рассмотрения исключила).
Далее, на основе этого уравнения надо предложить уравнение с другим свободным членом, зависящим от одной переменной, но, чтобы условия схемы выполнялись и чтобы не было решений в натуральных числах.
Если предложений не будет, то позже предложу своё.

 Профиль  
                  
 
 Re: По мотивам произведений последовательных натуральных чисел.
Сообщение30.09.2019, 09:38 


03/03/12
1225
Требуется решить уравнение с простым натуральным параметром $(q)$ в натуральных числах $(a_1;p)$
$$a_1^3-p^4a_1+16q^2=0$$
(Здесь имеется общее свойство и разделительное свойство с остатком в левом классе, при делении на не пересекающиеся классы, равном единице. Значит, гипотетически возможна экстраполяция по параметру $(q)$. Т.е. гипотетически получим, что решений нет. Этот гипотетический результат легко подтверждается аналитически (надеюсь, что не ошиблась; там просто надо рассмотреть много различных вариантов)).

И, если это, действительно, так, то возникает вопрос:

что будет при натуральном положительном параметре $(q)$. Сохранится ли возможность экстраполяции или, хотя бы, может быть более одного решения?
Если это аналитически сложная задача, то интересно найти область, в которой гарантировано решений не существует.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group