Что Вас потрясло в математике?

[Padawan]

Someone в сообщении #1390702 писал(а):

А вот ответ на вопрос о том, будет ли произведение двух пространств со свойством Суслина обладать свойством Суслина, не зависит от аксиом теории множеств.

Всегда напрягала эта "независимость от аксиом теории множеств". По-любому тут все связано с большими кардиналами. Рассмотрим утверждение: произведение двух пространств мощности $\leqslant \mathfrak c$, обладающих свойством Суслина, также обладает свойством Суслина". Неужели оно тоже может не зависеть от аксиом?

[Shurik314]

Цитата:

Понимание этой неимоверной красоты доходило до меня в три этапа. В этой теме я хочу рассказать, что именно поразило меня в своё время до глубины души. И пусть каждый кидает сюда подобное...

Я по-настоящему полюбил математику после того, как стал изучать языки программирования с зависимыми типами (Coq, Agda, Idris), которые могут быть использованы для доказательства корректности программ и формализации математики вцелом. Я увидел, что математика - это не просто словоблудие, а именно стройная формальная система, которая может быть проверена компьютером. Мне кажется, я стал лучше понимать, как она работает, почему определения именно такие, а не какие-то другие.

Конечно, существуют разные системы типов, и вопрос о том, как формализовывать математику, еще открыт. Но все равно, это выглядит очень красиво

[beroal]

Shurik314 в сообщении #1422139 писал(а):

Конечно, существуют разные системы типов, и вопрос о том, как формализовывать математику, еще открыт.

Не говоря уже о старой доброй теории множеств.

[vpb]

Shurik314 в сообщении #1422139 писал(а):

Я увидел, что математика - это не просто словоблудие,

Более того --- это и вообще не словоблудие. Вы, вероятно, слегка путаете собственно математику и математическую логику и около того. Матлогика и теория категорий с собственно математикой состоят, так сказать, в сложных отношениях.

[Sender]

(vpb)

vpb в сообщении #1422159 писал(а):

Матлогика и теория категорий с собственно математикой состоят, так сказать, в сложных отношениях.

Признаться, упоминание матлогики в этом ключе для меня выглядит странным (впрочем, оно и неудивительно, учитывая мою дремучесть). Не могли бы вы чуть подробнее раскрыть эту мысль? Я, правда, встречал в учебных пособиях для гуманитарных направлений всякие леденящие кровь вещи вроде "трансдукции", но если открыть, к примеру, Мендельсона, его, на мой взгляд, нелегко уличить в нематематичности изложения.

[gevaraweb]

Когда обнаружил, что теория чисел применяется в криптографии. Именно, теорема Ферма, цепные дроби, подходящие дроби, сравнения... Приятно было, черт побери.

[beroal]

Поскольку в математических книгах почти всё написано на естественном языке с вкраплениями формул, у непосвящённого действительно может сложиться впечатление, что это какая-то философия, а формулы подсказаны Святым Духом.

[vpb]

(Sender)

Вот пример сложных отношений математики и логики. В теме Давидович: "Отображения множеств" есть пример, как человеку, вместо того чтоб помогать изучать математику, начали громоздить в голову логику. По счастливой (для него) случайности, через месяц громоздителя с форума отчислили, не помню за что, и процесс нормального изучения возобновился. Но месяц был потерян.

Я бы сравнил отношения математики и логики с отношениями между наукой и философией. Философия претендует на то, чтоб всем наукам задавать правила, а сама бесполезна. Примерно так же матлогика в основном бесполезна для математики. Зато, и в этом тоже есть ее сходство с философией, у матлогики очень хорошо получается поселяться в головах у неспециалистов в математике. (Чему наш форум --- изрядный пример).

Тем не менее, нельзя отрицать значение матлогики мировоззренческое, когда она говорит, что есть вещи непознаваемые. Тем более когда она на непознаваемые вещи указывает конкретно (типа 10-й проблемы Гильберта).

Есть еще такая закономерность: матлогикой часто сильно увлекаются начинаюшие или любители. Я в молодости одно время тоже увлекался, да. Но это прошло.

В общем, боже упаси, чтоб я говорил, что матлогика --- это что-то дурное. Но это такой полуостров в математике, далеко от самых плодородных её провинций. Тоже часть математики, но слишком уж своеобразная.

Ну вот как-то так.

[arseniiv]

(про матлогику)

vpb в сообщении #1422304 писал(а):

Зато, и в этом тоже есть ее сходство с философией, у матлогики очень хорошо получается поселяться в головах у неспециалистов в математике.

Да ладно, на нормальном уровне она поселяется только у немногих. Если сравнить с анализом, это «очень хорошо» будет уровня «умею вычислять производные элементарных функций и много слышал обо всём, но применяю невпопад». Мне так показалось насчёт многих указывающих. Ещё «теорему» (кавычки в том смысле, что она якобы одна) Гёделя любят в народе, но не потому что это матлогика такая, а потому что популяризация навредила, как с $\text{«}E\text{»} = mc^2$ или там большой теоремой Ферма.

[Ktina]

А меня сегодня просто жутко потрясла книга «Введение в методологию математики», Мадер В.В., 1995.

[PhisicBGA]

master писал(а):

не потрясло но позабавило

$1^3+2^3+3^3...=(1+2+3...)^2$

Думаю,что мало кого оставят равнодушными такие соотношения.А вот интересно:другие степени натурального ряда имеют такие же красивые соотношения?Ну,например,$(1+2+3...)^3= ?$ или $(1+2+3...)^4= ?$ или $(1+2+3...)^5= ?$.
Вопрос, по-верьте,не праздный.О своём потрясении расскажу после ответа, желательно подробного.

[Gagarin1968]

PhisicBGA в сообщении #1432099 писал(а):

$1^3+2^3+3^3...=(1+2+3...)^2$

А разве такая запись корректна? Квадрат суммы расходящегося ряда?

Может быть всё-таки $1^3+2^3+3^3\ldots +n=(1+2+3\ldots +n)^2$?

[PhisicBGA]

Gagarin1968
писал(а):

А разве такая запись корректна? Квадрат суммы расходящегося ряда?

Может быть всё-таки $1^3+2^3+3^3\ldots +n=(1+2+3\ldots +n)^2$?

Вы правы:такая запись будет корректна-

$$(1+2+3\ldots +n)^2=1^3+2^3+3^3\ldots +n^3$$

$$(1+2+3\ldots +n)^3= ? $$

$$(1+2+3\ldots +n)^4= ? $$

$$(1+2+3\ldots +n)^5= ? $$

Вопрос,тем ни менее,остаётся.Поисковики ничего не дают.

[Farest2]

PhisicBGA в сообщении #1432099 писал(а):

А вот интересно:другие степени натурального ряда имеют такие же красивые соотношения?

Достаточно вспомнить

$$S_k\stackrel{\rm def}{=}1^k+2^k+\ldots+n^k=\frac{n^{k+1}}{k+1}+\frac{n^k}{2}+\ldots,$$

чтобы не мечтать о других простых возможных вариантах (типа A=B), кроме равенства $S_3=S_1^2$.

Вспомнилась еще картинка из Art of Math: https://en.wikipedia.org/wiki/Squared_triangular_number

[Gagarin1968]

Gagarin1968 в сообщении #1432377 писал(а):

Может быть всё-таки $1^3+2^3+3^3\ldots +n=(1+2+3\ldots +n)^2$?

Прошу прощения, цифирку не дописал. Конечно же $1^3+2^3+3^3\ldots +n^3=(1+2+3\ldots +n)^2$