2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Кеплеровское движение и окружность в 4-мерии
Сообщение03.04.2015, 16:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2531
Физтех
Nemiroff
Ну я так понимаю, что авторы замечают, что матрица $L(u)$ не представляет никакой кватернион. Я не проверял (это очень муторно), но возможно изменение знака в нижней строчке $L(u)$ сделает невыполненными либо какие-то необходимые для регуляризации свойства, либо важные геометрические свойства. Покопавшись в статьях, я обнаружил, что все поголовно рассматривают именно эту матрицу, знаки же в нижней строки никто не менял.

-- Пт апр 03, 2015 16:26:18 --

Вот что я обнаружил в книге Е.Штифель, Г.Шейфеле, "Линейная и регулярная небесная механика", стр. 288:
Цитата:
Определитель матрицы кватернионов равен поэтому $+1$, тогда как определитель KS-матрицы равен $-1$ [в предположении $u_1^2+u_2^2+u_3^2+u_4^2=1$]. Любая попытка заменить теорию KS-матриц более популярной теорией матриц кватернионов приводит поэтому к неудаче или во всяком случае к очень громоздкому формализму. Обычные матричные обозначения, применяемые в этой книге, кажутся более целесообразными.
Также отмечается, что матрица кватернионов "имеет те же свойства, что и KS-матрица" (я их выписывал выше). Ну т.е. с геометрической точки зрения лучше оставить все как есть и не натягивать теорию кватернионов при введении KS-преобразования. Но компоненты $\mathbf{u}$ являются компонентами кватерниона, это факт, никуда не деться. Авторы лишь сопротивляться введению матрицы кватерниона при определении KS-преобразования.

P.S. Кстати, в той же главе XI и про расслоения, и про Хопфа что-то написано.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кеплеровское движение и окружность в 4-мерии
Сообщение03.04.2015, 19:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
835
ЦФО, Россия
ShMaxG в сообщении #999692 писал(а):
Ну я так понимаю, что авторы замечают, что матрица $L(u)$ не представляет никакой кватернион. Я не проверял (это очень муторно), но возможно изменение знака в нижней строчке $L(u)$ сделает невыполненными либо какие-то необходимые для регуляризации свойства, либо важные геометрические свойства. Покопавшись в статьях, я обнаружил, что все поголовно рассматривают именно эту матрицу, знаки же в нижней строки никто не менял.

Если в правой части уравнения $r=L(u)u$ одновременно изменить знаки у четвертого столбца матрицы $L(u)$ и у элемента $u_{4}$ вектор-столбца $u$, то исходная система не изменится, но матрица будет представлять кватернион.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кеплеровское движение и окружность в 4-мерии
Сообщение03.04.2015, 19:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/09
3920
МФТИ ФУПМ

(Оффтоп)

Внезапно!
post492968.html
Как-то темой никто не заинтересовался, а Bulinator доходчиво объяснил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кеплеровское движение и окружность в 4-мерии
Сообщение03.04.2015, 20:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
09/12/19
71257

(Оффтоп)

ShMaxG в сообщении #999692 писал(а):
Авторы лишь сопротивляться введению матрицы кватерниона при определении KS-преобразования.

Интересно, а можно ли так поменять физическую задачу (и как именно), чтобы она стала чисто кватернионной?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кеплеровское движение и окружность в 4-мерии
Сообщение16.08.2019, 16:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
8045
Ползал по старым темам и наконец зачитал сие:
ShMaxG в сообщении #999692 писал(а):
Е.Штифель, Г.Шейфеле, "Линейная и регулярная небесная механика"
Комплексное преобразование Леви-Чивиты весьма доставляет. Однако, почему авторы всеми силами стремятся избежать использования комплексных чисел? Нагородили каких-то матриц с трудно выводящимися и громоздко выглядящими свойствами...

Рассмотрим движение в плоскости $(x,y)$ и введём комплексную переменную $z=x+iy=re^{i\theta }$.

Задача Кеплера имеет вид$$\ddot z =  - \frac{z}{{r^3 }}$$Справедлив интеграл энергии$$E = \frac{{\left| {\dot z} \right|^2 }}{2} - \frac{1}{r}$$Пусть $z(t) = \varsigma (s)^2 $, где фиктивное время $s$ определяется соотношением $dt = rds$, тогда$$\varsigma '' + \frac{\varsigma }{{2\rho ^2 }} + \frac{{\left( {\varsigma '} \right)^2 }}{\varsigma } - \frac{{2\rho '}}{\rho }\varsigma ' = 0$$$$E = \frac{{2\left| {\varsigma '} \right|^2  - 1}}{{\rho ^2 }}$$На первый взгляд ничего особо хорошего в этом нет. Однако, обозначив $\varsigma  = \rho e^{i\varphi } $, последовательно получаем
$$\frac{{\varsigma '}}{\varsigma } - \frac{{2\rho '}}{\rho } =  - \frac{{\rho ' - i\rho \varphi '}}{\rho }$$$$\frac{{\left( {\varsigma '} \right)^2 }}{\varsigma } - \frac{{2\rho '}}{\rho }\varsigma ' =  - \frac{1}{\rho }\left( {\rho ' - i\rho \varphi '} \right)\left( {\rho ' + i\rho \varphi '} \right)e^{i\varphi }  =  - \frac{{\left| {\varsigma '} \right|^2 }}{{\rho ^2 }}\varsigma $$$$\varsigma '' + \frac{\varsigma }{{2\rho ^2 }} - \frac{{\left| {\varsigma '} \right|^2 }}{{\rho ^2 }}\varsigma  = 0$$$$\varsigma ''-\frac{E}{2}\varsigma  = 0$$Интересно, а каким способом пользовался сам Леви-Чивита?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кеплеровское движение и окружность в 4-мерии
Сообщение01.09.2019, 11:13 
Аватара пользователя


31/08/17
1658
а накой хрен все это вообще надо? мы узнали что-то новое про динамику задачи Кеплера? упростились доказательства? метод обобщается на другие задачи?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кеплеровское движение и окружность в 4-мерии
Сообщение01.09.2019, 11:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
8045
pogulyat_vyshel в сообщении #1413126 писал(а):
а накой хрен все это вообще надо?
Любопытно, что могло вызвать эту зоологическую реакцию? Результат красив сам по себе.
pogulyat_vyshel в сообщении #1413126 писал(а):
мы узнали что-то новое про динамику задачи Кеплера?
Да. В этом "квадратном корне из физической плоскости" гораздо нагляднее строятся орбиты перехода.
pogulyat_vyshel в сообщении #1413126 писал(а):
упростились доказательства
По крайней мере движение по параболе в таких переменных тривиализуется. Это может быть полезно при рассмотрении, например, комет.
pogulyat_vyshel в сообщении #1413126 писал(а):
метод обобщается на другие задачи?
Увы, метод работает только для обратных квадратов. По крайней мере "в лоб" его обобщить не получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кеплеровское движение и окружность в 4-мерии
Сообщение01.09.2019, 11:57 
Аватара пользователя


31/08/17
1658
Утундрий в сообщении #1413129 писал(а):
Любопытно, что могло вызвать эту зоологическую реакцию?

Ну просто есть целые коллаборации, которые занимаются не приращением знания, а передоказательствами известных теорем. Наука второго сорта.

Утундрий в сообщении #1413129 писал(а):
Результат красив сам по себе.

по-вашему красив, а по-моему выморочен и искусственен. Ясно что если есть эллипс, то всегда найдется что рассечь и что спроектировать что бы этот эллипс получить, и произвол при построении таких игрушек огромен
Утундрий в сообщении #1413129 писал(а):
Да. В этом "квадратном корне из физической плоскости" гораздо нагляднее строятся орбиты перехода.

только это не называется "узнать новое о динамике задачи"
Утундрий в сообщении #1413129 писал(а):
По крайней мере движение по параболе в таких переменных тривиализуется. Это может быть полезно при рассмотрении, например, комет.

интересно было бы посмотреть на конкретную задачу в которой эта вся бодяга работала бы эффективней стандартных формул

 Профиль  
                  
 
 Re: Кеплеровское движение и окружность в 4-мерии
Сообщение01.09.2019, 17:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
8045
pogulyat_vyshel в сообщении #1413134 писал(а):
по-вашему красив, а по-моему выморочен и искусственен
Да, по-моему красив. На этом предлагаю завершить дискуссию, оставшись каждый при своём мнении.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кеплеровское движение и окружность в 4-мерии
Сообщение10.09.2019, 11:32 
Аватара пользователя


22/10/08
1286
Подписываюсь под красотой. Спинор проглядывает. Можно, наверное, идти дальше и полученное уравнение (псевдо)осциллятора свести к свободной частице на (псевдо)евклиде. Достаточно перейти к переменной $p=1/\varsigma$ и $\varphi$ вместо $s$. Все знают что осциллятор сводится к свободной частице?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 25 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Jnrty, whiterussian, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group