2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Кеплеровское движение и окружность в 4-мерии
Сообщение27.03.2015, 17:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
09/06/20
72408
http://habrahabr.ru/post/254023/

    Цитата:
    Планеты и четвёртое измерение

    Наверняка вам известно, что планеты движутся вокруг солнца по эллиптическим орбитам. Но почему? На самом деле, они двигаются по окружностям в четырёхмерном пространстве. А если спроецировать эти окружности на трёхмерное пространство, они превращаются в эллипсы.

    Изображение

    <...>

Дальше там идёт многаформул. Хотелось бы это понять. Если это чушь - то отбросить. Если не чушь - то сложить в копилку. Кроме того, интересно может быть не только мне. Помогите, и давайте разбираться вместе!

Ещё из ближе к концу:
    Цитата:
    Часто люди начинают с закона обратных квадратов, показывают, что угловой момент и вектор Лапласа—Рунге—Ленца сохраняются, и используют эти сохраняющиеся величины и теорему Нётер, чтобы показать наличие 6-мерной группы симметрий. Для решений с отрицательной энергией это превращается в группу поворотов в 4 измерениях, SO(4). Поработав ещё немного, можно увидеть, как задача Кеплера сопряжена с гармоническим осциллятором в 4 измерениях. Это делается через репараметризацию времени.

    Мне больше понравился подход Гораснона, потому что он начинается с репараметризации времени. Это позволяет эффективно показать, что эллиптическая орбита планеты – это проекция круговой орбиты в четырёхмерном пространстве на трёхмерное. Таким образом становится очевидна 4-мерная вращательная симметрия.

    <...>

    Он также применяет этот подход для орбит с положительной энергией, которые представляют собой гиперболы, и для орбит с нулевой энергией (параболы). У гипербол получается симметрия групп Лоренца, а у парабол – симметрия групп Евклида. Это известный факт, однако примечательно, как просто он выводится с помощью нового подхода.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кеплеровское движение и окружность в 4-мерии
Сообщение27.03.2015, 18:32 
Заслуженный участник


25/12/11
749
Скрытая четырехмерная симметрия Кулоновского потенциала (и именно его) - это не чушь. Вроде как много кто указывал, но я как человек из города Ленина Петра не могу не выделить Фока в 1935 году, он через это объяснял вырожденность уровней атома водорода. Вроде в третьем томе ЛЛ должно упоминаться. С другой стороны меня смущает нарисованная проекция. Наверное попозже напишу подробнее.

-- 27.03.2015, 19:35 --

Смущает в смысле наверняка верно, но просто в моих смутных воспоминаниях это выглядело по-другому. Но там наверняка есть много разных способов ее реализовать

 Профиль  
                  
 
 Re: Кеплеровское движение и окружность в 4-мерии
Сообщение27.03.2015, 18:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/09
3923
МФТИ ФУПМ
fizeg в сообщении #996575 писал(а):
С другой стороны меня смущает нарисованная проекция.
Ну проекция странная хотя бы только потому, что точка по эллипсу равномерно движется. На глаз.
fizeg в сообщении #996575 писал(а):
Вроде как много кто указывал, но я как человек из города Ленина Петра не могу не выделить Фока в 1935 году, он через это объяснял вырожденность уровней атома водорода.
http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml ... n_lang=rus

 Профиль  
                  
 
 Re: Кеплеровское движение и окружность в 4-мерии
Сообщение27.03.2015, 19:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
09/06/20
72408
fizeg в сообщении #996575 писал(а):
Скрытая четырехмерная симметрия Кулоновского потенциала (и именно его) - это не чушь.

Это-то я знаю. Меня интересует ясный геометрический способ продемонстрировать её: есть он здесь или нет. Если есть, то это и полезный jewel в шкатулке собственной интуиции, и хороший педагогический этюд.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кеплеровское движение и окружность в 4-мерии
Сообщение27.03.2015, 19:29 


06/12/14
510
Желтый шарик внутри сферы - это солнце?. Почему оно зафиксировано? По логике вещей и солнце тоже, в свою очередь, вращается по своей круговой орбите в 4-х мерном пространстве. Но тогда проекция орбиты планеты, вращающейся вокруг него, должна деформироваться со временем. За пару тысяч лет величина этой деформации должна стать заметной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кеплеровское движение и окружность в 4-мерии
Сообщение27.03.2015, 19:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
09/06/20
72408
unistudent в сообщении #996613 писал(а):
Желтый шарик внутри сферы - это солнце?. Почему оно зафиксировано?

Предлагаю читать статью по ссылке. Я ещё не разбирался. У меня упругое рассеяние назад на первых же словах про "время, по которому планета движется взад и вперёд".

 Профиль  
                  
 
 Re: Кеплеровское движение и окружность в 4-мерии
Сообщение27.03.2015, 20:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2559
Физтех
fizeg в сообщении #996575 писал(а):
Скрытая четырехмерная симметрия Кулоновского потенциала (и именно его) - это не чушь.

Munin в сообщении #996610 писал(а):
Это-то я знаю. Меня интересует ясный геометрический способ продемонстрировать её: есть он здесь или нет.

Вероятно речь идет о преобразованиях Кустаанхеймо-Штифеля -- одном из способов регуляризации уравнений движения. Ниже приведу немного информации о преобразовании и уравнениях движения в соответствующих переменных.

Пусть космический аппарат движется по своей орбите в плоскости $(x,y)$. Идея, которая была предложена Леви-Чивитой, состояла в рассмотрении вместо $x,y$ переменных $(u_1,u_2)$, которые были бы связаны с $(x,y)$ посредством конформного отображения $x+iy=(u_1+i u_2)^2$ плоскости орбиты $(x,y)$ на плоскость $(u_1,u_2)$. Это соотношение переписывается в виде
$$\left( \begin{array}{c}
x\\
y
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}
u_1^2 - u_2^2\\
2{u_1}{u_2}
\end{array} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{u_1}}&{ - {u_2}}\\
{{u_2}}&{{u_1}}
\end{array}} \right)\left( \begin{array}{c}
{u_1}\\
{u_2}
\end{array} \right)$$
или в матричной форме
$$\mathbf{r} = \mathbf{L}(\mathbf{u}) \mathbf{u},$$
где $\mathbf{r}=(x,y)$, $\mathbf{u}=(u_1,u_2)$, $\mathbf{L}(\mathbf{u})$ -- соответствующая матрица (матрица Леви-Чивиты). Легко проверить выполнение равенств
$$r = \mathbf{u} \cdot \mathbf{u}, \ 
\mathbf{r}'=2\mathbf{L}(\mathbf{u})\mathbf{u}', \
\mathbf{L}'(\mathbf{u})=\mathbf{L}(\mathbf{u}'), \
\mathbf{L}^{-1}(\mathbf{u})=\frac{\mathbf{L}^T(\mathbf{u})}{\mathbf{u} \cdot \mathbf{u}}$$
Штрихом здесь обозначается производная по фиктивному времени $s$, связанному с физическим временем $t$ соотношением Сундмана $dt = \frac{1}{\sqrt{-2h}} r ds$, где $h$ -- энергия. Так вот, принимая во внимание все вышесказанное, уравнения движения
$$\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2} = -\frac{\mu}{r^3}\mathbf{r}$$
перепишутся в виде
$$\mathbf{u}'' + \mathbf{u}/4 = 0$$
Решением этих уравнения является гармонический осциллятор с частотой $1/2$. Это плоский случай. Если на аппарат воздействуют возмущения, то приходится переходить в пространственный случай. Но тремя параметрами не обойтись. Кустаанхеймо и Штифель ввели четыре переменные:
$$\[\left( \begin{array}{c}
x\\
y\\
z
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{c}
u_1^2 - u_2^2 - u_3^2 + u_4^2\\
2\left( {{u_1}{u_2} - {u_3}{u_4}} \right)\\
2\left( {{u_1}{u_3} + {u_2}{u_4}} \right)
\end{array} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{u_1}}&{ - {u_2}}&{ - {u_3}}&{{u_4}}\\
{{u_2}}&{{u_1}}&{ - {u_4}}&{ - {u_3}}\\
{{u_3}}&{{u_4}}&{{u_1}}&{{u_2}}
\end{array}} \right)\left( \begin{array}{c}
{u_1}\\
{u_2}\\
{u_3}\\
{u_4}
\end{array} \right)\]$$
или, точнее говоря,
$$\[{\bf{r}} = \left( \begin{array}{c}
x\\
y\\
z\\
0
\end{array} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{u_1}}&{ - {u_2}}&{ - {u_3}}&{{u_4}}\\
{{u_2}}&{{u_1}}&{ - {u_4}}&{ - {u_3}}\\
{{u_3}}&{{u_4}}&{{u_1}}&{{u_2}}\\
{{u_4}}&{ - {u_3}}&{{u_2}}&{ - {u_1}}
\end{array}} \right)\left( \begin{array}{c}
{u_1}\\
{u_2}\\
{u_3}\\
{u_4}
\end{array} \right) = {\bf{L}}\left( {\bf{u}} \right){\bf{u}}\]$$
Можно убедиться, что для этого преобразования свойства и уравнения выше также выполняются, если ввести т.н. билинейное соотношение $(u_4,-u_3,u_2,-u_1)^T \mathbf{u}' \equiv 0$. Отмечу, наконец, что с учетом возмущений $\mathbf{F}_{pert}$, действующих на аппарат массы $m$, уравнения движения в терминах $\mathbf{u}$ запишутся в виде $$\[{\bf{u}}'' + {\bf{u}}/4 =  - \frac{{{\bf{u}} \cdot {\bf{u}}}}{{4h}}\frac{{{{\bf{L}}^T}\left( {\bf{u}} \right){{\bf{F}}_{pert}}}}{m} - \frac{{h'}}{{2h}}{\bf{u}}'\]$$ Уравнения движения в такой записи представляют собой уравнения возмущенного осциллятора (это верно как для плоского, так и для пространственного случая). Уравнения не обладают особенностями (в знаменателе отсутствует $r$), а также являются устойчивыми по Ляпунову к начальным данным, поэтому в астродинамике зарекомендовали себя очень хорошо.

Релевантные ссылки:
http://arxiv.org/abs/0803.4441
http://cds.cern.ch/record/600080/files/0301017.pdf

 Профиль  
                  
 
 Re: Кеплеровское движение и окружность в 4-мерии
Сообщение27.03.2015, 22:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
843
ЦФО, Россия
ShMaxG в сообщении #996638 писал(а):
Вероятно речь идет о преобразованиях Кустаанхеймо-Штифеля -- одном из способов регуляризации уравнений движения. Ниже приведу немного информации о преобразовании и уравнениях движения в соответствующих переменных.

Подробнее можно прочитать в книге Бакай-Степановский "Адиабатические инварианты" (стр. 70-79). Есть в библиотеке Ихтика.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кеплеровское движение и окружность в 4-мерии
Сообщение02.04.2015, 00:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
09/06/20
72408
ShMaxG в сообщении #996638 писал(а):
посредством конформного отображения $x+iy=(u_1+i u_2)^2$
ShMaxG в сообщении #996638 писал(а):
Так вот, принимая во внимание все вышесказанное, уравнения движения
$$\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2} = -\frac{\mu}{r^3}\mathbf{r}$$ перепишутся в виде
$$\mathbf{u}'' + \mathbf{u}/4 = 0$$

То есть, что происходит. Во-первых, мы сокращаем углы вдвое, и переходим от эллипса вокруг фокуса к эллипсу вокруг центра. Во-вторых, мы переходим от времени $t$ ко времени $s,$ которое идёт медленнее в апоцентре, и быстрее в перицентре, и в результате делает "равномернее" движение точки по эллипсу. И в итоге, получаем вместо кеплеровского эллипса осцилляторный. Так?

Теперь надо сравнить с той статьёй, которая была упомянута в начале темы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кеплеровское движение и окружность в 4-мерии
Сообщение02.04.2015, 05:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/09
3923
МФТИ ФУПМ
ShMaxG в сообщении #996638 писал(а):
$$\[{\bf{r}} = \left( \begin{array}{c}
x\\
y\\
z\\
0
\end{array} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{{u_1}}&{ - {u_2}}&{ - {u_3}}&{{u_4}}\\
{{u_2}}&{{u_1}}&{ - {u_4}}&{ - {u_3}}\\
{{u_3}}&{{u_4}}&{{u_1}}&{{u_2}}\\
{{u_4}}&{ - {u_3}}&{{u_2}}&{ - {u_1}}
\end{array}} \right)\left( \begin{array}{c}
{u_1}\\
{u_2}\\
{u_3}\\
{u_4}
\end{array} \right) = {\bf{L}}\left( {\bf{u}} \right){\bf{u}}\]$$
Ну вот почему бы не выбрать знаки в четвёртой строке так, чтоб получился кватернион, а? Красивенько будет. :P

 Профиль  
                  
 
 Re: Кеплеровское движение и окружность в 4-мерии
Сообщение03.04.2015, 01:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2559
Физтех
Munin в сообщении #999154 писал(а):
То есть, что происходит. Во-первых, мы сокращаем углы вдвое, и переходим от эллипса вокруг фокуса к эллипсу вокруг центра. Во-вторых, мы переходим от времени $t$ ко времени $s,$ которое идёт медленнее в апоцентре, и быстрее в перицентре, и в результате делает "равномернее" движение точки по эллипсу. И в итоге, получаем вместо кеплеровского эллипса осцилляторный. Так?

Я, право, не знаю, что получается по-отдельности в результате этих переходов, но совокупный эффект этих преобразований в невозмущенном случае дает гармонический осциллятор, решение которого $\mathbf{u}(s) = \mathbf{A}\cos{(s/2)} + \mathbf{B}\sin{(s/2)}$, где константы $\mathbf{A,B}$ определяются начальными данными. Фиктивным временем $s$ преобразования Сундмана является эксцентрическая аномалия, т.е. угол, который составляет с положительным направлением оси перицентра направление на точку некоторой окружности с центром в центре исходного кеплеровского эллипса. В результате преобразования Леви-Чивиты не только углы сокращаются вдвое, но и расстояния $l$ уменьшаются до $\sqrt{l}$, потому что берется корень $u_1+i u_2 = (x+i y)^{1/2}$. Вот из-за этого корня и появляется двойка в знаменателе.

В пространстве же в некотором смысле возникает аналог этого корня. Было замечание
Nemiroff в сообщении #999212 писал(а):
Ну вот почему бы не выбрать знаки в четвёртой строке так, чтоб получился кватернион, а? Красивенько будет. :P
Выбор такой матрицы, какую я написал, приводит к уравнению гармонических осцилляций. Если выбрать знаки так, чтобы получилась при перемножении с вектором в результате единичка (это имелось ввиду?), то не факт, что уравнения дадут гармонический осциллятор и вообще будут регуляризированы и стабилизированы.

Тем не менее, числа $u_1,u_2,u_3,u_4$ являются компонентами кватерниона $\mathbf{q}$, который переводит орт $\mathbf{k}=(0,0,1)^T$ в вектор $\mathbf{r} = x \mathbf{i} + y \mathbf{j} + z \mathbf{k}$ в результате преобразования $\mathbf{r} = \mathbf{q}^* \circ \mathbf{k} \circ \mathbf{q}$, где звездочка означает сопряжение кватерниона, а кружочек -- кватернионное умножение. Вместо $\mathbf{k}$ можно было бы и другой орт выбрать. Но даже выбрав орт, можно увидеть, что кватернион таким образом определяется неоднозначно, появляется одна степень свободы. Среди решений уравнения $\mathbf{r} = \mathbf{q}^* \circ \mathbf{k} \circ \mathbf{q}$ имеется кватернион поворота по большому кругу $$\mathbf{q} = \sqrt{r}(\sin{(\theta/2)}\cos{\phi}\cdot\mathbf{i}+\sin{(\theta/2)}\sin{\phi}\cdot\mathbf{j}+\cos{(\theta/2)}\cdot\mathbf{k}),$$ где скалярная часть кватерниона равна нулю и $$\mathbf{r}=r(\sin{\theta}\cos{\phi}\cdot\mathbf{i}+\sin{\theta}\sin{\phi}\cdot\mathbf{j}+\cos{\theta}\cdot\mathbf{k}), \ r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$$ Можно обнаружить, что существуют и решения с ненулевой скалярной частью: $\mathbf{q}' = (\cos{\psi} - \sin{\psi}\cdot\mathbf{k})\circ\mathbf{q}$ для любого $\psi$ тоже является решением.

Кстати, если выбрать $y=0$ и рассмотреть преобразование вектора $\mathbf{k}$ в вектор $\cos{\theta}\cdot \mathbf{k} + \sin{\theta}\cdot \mathbf{i}$, то видно, что такой поворот должен осуществляться однозначно на угол $180^{\circ}$ вокруг оси с направлением $\mathbf{n} = (\sin{(\theta/2)},0,\cos{(\theta/2)})^T$. Это еще одно пояснение, чисто геометрическое, объясняющее появление двойки в выражениях. Таким образом, и в плоском, и в пространственном случае решается "квадратное" уравнение $\mathbf{r} = \mathbf{q}^* \circ \mathbf{k} \circ \mathbf{q}$ на компоненты кватерниона, а в плоском случае это то же самое, что решать уравнение $x+i y = (u_1 + i u_2)^2$ относительно $u_1,u_2$.

С помощью преобразований Леви-Чивиты и Кустаанхеймо-Штифеля мы описываем движение космического аппарата не с помощью непрерывного множества параметризованных временем декартовых координат, а с помощью непрерывного множества поворотов-растяжений пространства, которые также параметризуются временем (правда, фиктивным).

 Профиль  
                  
 
 Re: Кеплеровское движение и окружность в 4-мерии
Сообщение03.04.2015, 09:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/09
3923
МФТИ ФУПМ
ShMaxG в сообщении #999552 писал(а):
Если выбрать знаки так, чтобы получилась при перемножении с вектором в результате единичка (это имелось ввиду?), то не факт, что уравнения дадут гармонический осциллятор и вообще будут регуляризированы и стабилизированы.
Последняя строка должна быть $-u_4, u_3, -u_2, u_1$. Вот тогда это кватернион в матричном виде.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кеплеровское движение и окружность в 4-мерии
Сообщение03.04.2015, 12:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2559
Физтех
Я почитал статью на Хабре. Написана она, конечно, отвратительно, я попробую написать четче.

Когда я увидел про четырехмерное пространство, мне в голову пришли сразу же компоненты кватерниона. Но судя по статье, под четырехмерным пространством автор подразумевает пространство скоростей $(t',x',y',z')$, где $t$ -- физическое время, $x,y,z$ -- декартовы координаты, а штрих означает производную по фиктивному времени $s$ из преобразования Сундмана, о котором я писал. Интеграл энергии в задаче двух тел выглядит так: $$\[\frac{{{\bf{\dot r}} \cdot {\bf{\dot r}}}}{2} - \frac{\mu }{r} =  - \frac{\mu }{{2a}},\]$$ где $\mu$ -- гравитационный параметр, $a$ -- большая полуось орбиты. Переходя к фиктивному времени $s$, такому что $\frac{ds}{dt}=\frac{1}{r}\sqrt{\frac{\mu}{a}}$, мы получим $$\[\frac{{{\bf{r}}' \cdot {\bf{r}}'}}{{2{r^2}}}\frac{\mu }{a} - \frac{\mu }{r} =  - \frac{\mu }{{2a}},\]$$ откуда после преобразований выделится $$\[{\bf{r}}' \cdot {\bf{r}}' + {\left( {t' - a} \right)^2} = {a^2}.\]$$ Действительно, в задаче двух тел аппарат/планета будет двигаться таким образом, что $(t',x',y',z')$ будет оставаться на сфере с центром в точке $(a,0,0,0)$ и радиусом $a$. Далее, уравнения движения с фиктивным временем запишутся в виде $$\[{\bf{r}}'' = \frac{a}{\mu }{r^2}\left( { - \frac{\mu }{{{r^3}}}{\bf{r}}} \right) + r'\frac{{{\bf{r}}'}}{r},\]$$ а если выделить энергию и вектор Лапласа $$h=-\frac{\mu}{2a}, \ \ \[{\bf{A}} =  - \mu \frac{{\bf{r}}}{r} + {\bf{v}} \times \left( {{\bf{r}} \times {\bf{v}}} \right),\]$$
то приходим к уравнениям гармонического осциллятора $$\[{\bf{r}}'' + {\bf{r}} + \frac{{\bf{A}}}{{ - 2h}} = 0.\]$$ Кстати, этот подход к регуляризации уравнений называется преобразованием Шперлинга-Бюрде. Про Джеспера Горансона не слышал.

-- Пт апр 03, 2015 13:02:03 --

Nemiroff в сообщении #999590 писал(а):
Последняя строка должна быть $-u_4, u_3, -u_2, u_1$. Вот тогда это кватернион в матричном виде.
Да, есть такое. Но исследования показывают, что
... $L(u)u$ is the appropriate generalization of the squaring map $z^2$ and that the KS matrices $L(u)$ are fundamentally different from the quaternion matrices $Q(u)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кеплеровское движение и окружность в 4-мерии
Сообщение03.04.2015, 15:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/09
3923
МФТИ ФУПМ
ShMaxG в сообщении #999644 писал(а):
Но исследования показывают, что
Не понимаю, что там различного, при том, что вы сами написали
ShMaxG в сообщении #999552 писал(а):
Тем не менее, числа $u_1,u_2,u_3,u_4$ являются компонентами кватерниона $\mathbf{q}$, который переводит орт $\mathbf{k}=(0,0,1)^T$ в вектор $\mathbf{r} = x \mathbf{i} + y \mathbf{j} + z \mathbf{k}$ в результате преобразования $\mathbf{r} = \mathbf{q}^* \circ \mathbf{k} \circ \mathbf{q}$, где звездочка означает сопряжение кватерниона, а кружочек -- кватернионное умножение.

Как я понимаю, именно такое отображение математики зовут отображением Хопфа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кеплеровское движение и окружность в 4-мерии
Сообщение03.04.2015, 15:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
09/06/20
72408
ShMaxG в сообщении #999552 писал(а):
В результате преобразования Леви-Чивиты не только углы сокращаются вдвое, но и расстояния $l$ уменьшаются до $\sqrt{l}$,

Изображение Позор мне...

ShMaxG в сообщении #999644 писал(а):
Я почитал статью на Хабре. Написана она, конечно, отвратительно, я попробую написать четче.

Спасибо, всё становится яснее!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 25 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Jnrty, whiterussian, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group