Кеплеровское движение и окружность в 4-мерии

[ShMaxG]

Nemiroff
Ну я так понимаю, что авторы замечают, что матрица $L(u)$ не представляет никакой кватернион. Я не проверял (это очень муторно), но возможно изменение знака в нижней строчке $L(u)$ сделает невыполненными либо какие-то необходимые для регуляризации свойства, либо важные геометрические свойства. Покопавшись в статьях, я обнаружил, что все поголовно рассматривают именно эту матрицу, знаки же в нижней строки никто не менял.

-- Пт апр 03, 2015 16:26:18 --

Вот что я обнаружил в книге Е.Штифель, Г.Шейфеле, "Линейная и регулярная небесная механика", стр. 288:

Цитата:

Определитель матрицы кватернионов равен поэтому $+1$, тогда как определитель KS-матрицы равен $-1$ [в предположении $u_1^2+u_2^2+u_3^2+u_4^2=1$]. Любая попытка заменить теорию KS-матриц более популярной теорией матриц кватернионов приводит поэтому к неудаче или во всяком случае к очень громоздкому формализму. Обычные матричные обозначения, применяемые в этой книге, кажутся более целесообразными.

Также отмечается, что матрица кватернионов "имеет те же свойства, что и KS-матрица" (я их выписывал выше). Ну т.е. с геометрической точки зрения лучше оставить все как есть и не натягивать теорию кватернионов при введении KS-преобразования. Но компоненты $\mathbf{u}$ являются компонентами кватерниона, это факт, никуда не деться. Авторы лишь сопротивляться введению матрицы кватерниона при определении KS-преобразования.

P.S. Кстати, в той же главе XI и про расслоения, и про Хопфа что-то написано.

[lek]

ShMaxG в сообщении #999692 писал(а):

Ну я так понимаю, что авторы замечают, что матрица $L(u)$ не представляет никакой кватернион. Я не проверял (это очень муторно), но возможно изменение знака в нижней строчке $L(u)$ сделает невыполненными либо какие-то необходимые для регуляризации свойства, либо важные геометрические свойства. Покопавшись в статьях, я обнаружил, что все поголовно рассматривают именно эту матрицу, знаки же в нижней строки никто не менял.

Если в правой части уравнения $r=L(u)u$ одновременно изменить знаки у четвертого столбца матрицы $L(u)$ и у элемента $u_{4}$ вектор-столбца $u$, то исходная система не изменится, но матрица будет представлять кватернион.

[Nemiroff]

(Оффтоп)

Внезапно!
post492968.html
Как-то темой никто не заинтересовался, а Bulinator доходчиво объяснил.

[Munin]

(Оффтоп)

ShMaxG в сообщении #999692 писал(а):

Авторы лишь сопротивляться введению матрицы кватерниона при определении KS-преобразования.

Интересно, а можно ли так поменять физическую задачу (и как именно), чтобы она стала чисто кватернионной?

[Утундрий]

Ползал по старым темам и наконец зачитал сие:

ShMaxG в сообщении #999692 писал(а):

Е.Штифель, Г.Шейфеле, "Линейная и регулярная небесная механика"

Комплексное преобразование Леви-Чивиты весьма доставляет. Однако, почему авторы всеми силами стремятся избежать использования комплексных чисел? Нагородили каких-то матриц с трудно выводящимися и громоздко выглядящими свойствами...

Рассмотрим движение в плоскости $(x,y)$ и введём комплексную переменную $z=x+iy=re^{i\theta }$.

Задача Кеплера имеет вид

$$\ddot z = - \frac{z}{{r^3 }}$$

Справедлив интеграл энергии

$$E = \frac{{\left| {\dot z} \right|^2 }}{2} - \frac{1}{r}$$

Пусть $z(t) = \varsigma (s)^2 $, где фиктивное время $s$ определяется соотношением $dt = rds$, тогда

$$\varsigma '' + \frac{\varsigma }{{2\rho ^2 }} + \frac{{\left( {\varsigma '} \right)^2 }}{\varsigma } - \frac{{2\rho '}}{\rho }\varsigma ' = 0$$

$$E = \frac{{2\left| {\varsigma '} \right|^2 - 1}}{{\rho ^2 }}$$

На первый взгляд ничего особо хорошего в этом нет. Однако, обозначив $\varsigma = \rho e^{i\varphi } $, последовательно получаем

$$\frac{{\varsigma '}}{\varsigma } - \frac{{2\rho '}}{\rho } = - \frac{{\rho ' - i\rho \varphi '}}{\rho }$$

$$\frac{{\left( {\varsigma '} \right)^2 }}{\varsigma } - \frac{{2\rho '}}{\rho }\varsigma ' = - \frac{1}{\rho }\left( {\rho ' - i\rho \varphi '} \right)\left( {\rho ' + i\rho \varphi '} \right)e^{i\varphi } = - \frac{{\left| {\varsigma '} \right|^2 }}{{\rho ^2 }}\varsigma $$

$$\varsigma '' + \frac{\varsigma }{{2\rho ^2 }} - \frac{{\left| {\varsigma '} \right|^2 }}{{\rho ^2 }}\varsigma = 0$$

$$\varsigma ''-\frac{E}{2}\varsigma = 0$$

Интересно, а каким способом пользовался сам Леви-Чивита?

[pogulyat_vyshel]

а накой хрен все это вообще надо? мы узнали что-то новое про динамику задачи Кеплера? упростились доказательства? метод обобщается на другие задачи?

[Утундрий]

pogulyat_vyshel в сообщении #1413126 писал(а):

а накой хрен все это вообще надо?

Любопытно, что могло вызвать эту зоологическую реакцию? Результат красив сам по себе.

pogulyat_vyshel в сообщении #1413126 писал(а):

мы узнали что-то новое про динамику задачи Кеплера?

Да. В этом "квадратном корне из физической плоскости" гораздо нагляднее строятся орбиты перехода.

pogulyat_vyshel в сообщении #1413126 писал(а):

упростились доказательства

По крайней мере движение по параболе в таких переменных тривиализуется. Это может быть полезно при рассмотрении, например, комет.

pogulyat_vyshel в сообщении #1413126 писал(а):

метод обобщается на другие задачи?

Увы, метод работает только для обратных квадратов. По крайней мере "в лоб" его обобщить не получается.

[pogulyat_vyshel]

Утундрий в сообщении #1413129 писал(а):

Любопытно, что могло вызвать эту зоологическую реакцию?

Ну просто есть целые коллаборации, которые занимаются не приращением знания, а передоказательствами известных теорем. Наука второго сорта.

Утундрий в сообщении #1413129 писал(а):

Результат красив сам по себе.

по-вашему красив, а по-моему выморочен и искусственен. Ясно что если есть эллипс, то всегда найдется что рассечь и что спроектировать что бы этот эллипс получить, и произвол при построении таких игрушек огромен

Утундрий в сообщении #1413129 писал(а):

Да. В этом "квадратном корне из физической плоскости" гораздо нагляднее строятся орбиты перехода.

только это не называется "узнать новое о динамике задачи"

Утундрий в сообщении #1413129 писал(а):

По крайней мере движение по параболе в таких переменных тривиализуется. Это может быть полезно при рассмотрении, например, комет.

интересно было бы посмотреть на конкретную задачу в которой эта вся бодяга работала бы эффективней стандартных формул

[Утундрий]

pogulyat_vyshel в сообщении #1413134 писал(а):

по-вашему красив, а по-моему выморочен и искусственен

Да, по-моему красив. На этом предлагаю завершить дискуссию, оставшись каждый при своём мнении.

[ИгорЪ]

Подписываюсь под красотой. Спинор проглядывает. Можно, наверное, идти дальше и полученное уравнение (псевдо)осциллятора свести к свободной частице на (псевдо)евклиде. Достаточно перейти к переменной $p=1/\varsigma$ и $\varphi$ вместо $s$. Все знают что осциллятор сводится к свободной частице?