2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: О нахождении pdf по функции распределения с учетом ошибки
Сообщение26.08.2019, 21:38 


08/05/08
954
MSK
Александрович в сообщении #1412031 писал(а):
Вы здесь складываете две функции распределения?


Не совсем так. Согласно книге В.В. Петрова, Суммы независимых случайных величин, М., 1972, стр 167 и далее
$F_N(x)=\Phi(x)+\sum_{\nu=1}^{\infty} \frac{Q_{\nu n}(x)} {n^{\nu/2}}$, здесь используются вспомогательные функции $Q_{\nu n}(x)$, их вид по ссылке (из-за громоздкости формул):
https://yadi.sk/i/XyvgsQjf1_YV-A
Фактически должна получиться ф.р двух переменных.
Посмотрите пожалуйста книжку:
http://bookfi.net/book/469569

 Профиль  
                  
 
 Re: О нахождении pdf по функции распределения с учетом ошибки
Сообщение28.08.2019, 08:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9490
Москва
Александрович в сообщении #1412031 писал(а):
e7e5 в сообщении #1411839 писал(а):
Дана функция распределения непрерывной случайной величины
$F_N (x)=\Phi(x)+\frac {3(6N^3+21N^2+31N+31)}{50\sqrt{2\pi}N(2N+5)^2(N-1)}e^{-x^2/2}(-x^4+6x^2-3)$, $\Phi(x)$ - функция нормального распределения (0,1), $N$ принимает значения натуральных чисел $2,3, ... N$.

Вы здесь складываете две функции распределения?


Нет, это аппроксимация, сходная с разложением в ряд Тейлора. Первый член играет роль $f(x_0)$, остальные - поправки к нему. При всей условности аналогии - полиномы Эрмита появляются при дифференцировании плотности нормального распределения
$H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^2/2}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^2/2}$
то есть это некое подобие слагаемых ряда Тейлора с производными высшего порядка.

 Профиль  
                  
 
 Re: О нахождении pdf по функции распределения с учетом ошибки
Сообщение28.08.2019, 12:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9490
Москва
Насколько я понял, обсуждаемая аппроксимация основана на получении для аппроксимируемой ФР известных значений семиинвариантов. Это не единственный вариант. Можно подгонять сразу плотность распределения (навскидку две статьи)
http://jre.cplire.ru/jre/jul18/5/text.pdf
http://earchive.tpu.ru/bitstream/11683/ ... 9-8-01.pdf
а не ФР и потом её дифференцировать.
Подгонка полиномами не гарантирует выполнения свойств ФР, ни монотонности, ни неотрицательности, ни $F(-\infty)=0$, $F(\infty)=1$
Однако при достаточно больших N вероятность такого нарушения мала. Но насколько они должны быть велики - не вем.
Варианты:
1. Подгонять непосредственно плотность распределения. При этом могут быть затруднения с неотрицательностью (если, скажем, подгонять просто полиномами, но можно и экспонентой от полиномов) и нормировкой к единице (сравнительно просто ввести нормировочный коэффициент).
2. Подгонять функцию распределения "по теории", увеличивая число слагаемых. Трудоёмко и, ввиду асимптотичности разложения, результат может сюрпризировать.
3. Использовать систему функций распределения, обобщающую нормальный случай, например, распределения Пирсона (они позволяют подогнать 3 и 4 моменты, и, насколько я понял, 3 момент известен - нулевой, а 4 вычислен).
4. Подгонять чем подгоняется, потом сглаживать функцию распределения какими-то скользящими средними, пока не станет монотонно возрастающей. Грубо эмпирический и зависящий от выбора параметров сглаживания, но просто реализуемый подход.

 Профиль  
                  
 
 Re: О нахождении pdf по функции распределения с учетом ошибки
Сообщение01.09.2019, 21:45 


08/05/08
954
MSK
Евгений Машеров в сообщении #1412426 писал(а):
Нет, это аппроксимация, сходная с разложением в ряд Тейлора. Первый член играет роль $f(x_0)$, остальные - поправки к нему. При всей условности аналогии - полиномы Эрмита появляются при дифференцировании плотности нормального распределения
$H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^2/2}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^2/2}$
то есть это некое подобие слагаемых ряда Тейлора с производными высшего порядка.

Подскажите пожалуйста, как правильнее называть $F_N(x)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: О нахождении pdf по функции распределения с учетом ошибки
Сообщение01.09.2019, 22:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9490
Москва
Ничего кроме как "асимптотическое приближение порядка N" в голову не приходит. Если и есть особое название - мне оно неизвестно.

 Профиль  
                  
 
 Re: О нахождении pdf по функции распределения с учетом ошибки
Сообщение02.09.2019, 21:28 


08/05/08
954
MSK
Евгений Машеров в сообщении #1412433 писал(а):
Варианты:
4. Подгонять чем подгоняется, потом сглаживать функцию распределения какими-то скользящими средними, пока не станет монотонно возрастающей. Грубо эмпирический и зависящий от выбора параметров сглаживания, но просто реализуемый подход.

$F_N(x)$ возникла при исследовании числа перестановок с заданными инверсиями. Известно, что
$\left| P\left( \frac{\mathrm{inv}(\pi)-\frac 12{n\choose 2}}{\sqrt{n(n-1)(2n+5)/72}}\leq x\right)-\Phi(x)\right| \leq \frac{C}{\sqrt{n}}$, здесь $\Phi(x)$ - обозначает стандартное нормальное распределение.
Производящая функция для числа перестановок с заданным количеством инверсий
$$F(q)=\frac{\prod{(1-q^k)}}{(1-q)^n}$$. Конкретный коэффициент, вообще говоря, ищется при помощи формулы Коши.
Мне же нужно подгонять так, чтобы относительная скорость роста максимального коэффициента $M(n)$ в последовательности была непросто $M(n+1)/M(n)=n-\frac {1}{2}+o(1)$ (как это видно из нормального закона), а более тонкий результат: $M(n+1)/M(n)=n-\frac {1}{2}+O(1/n^{1-\varepsilon})$
Какие возможности есть для учета этой дополнительной информации, можно ли подсказать какой-нибудь вариант "подгонки" ?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group