О нахождении pdf по функции распределения с учетом ошибки

[e7e5]

Александрович в сообщении #1412031 писал(а):

Вы здесь складываете две функции распределения?

Не совсем так. Согласно книге В.В. Петрова, Суммы независимых случайных величин, М., 1972, стр 167 и далее
$F_N(x)=\Phi(x)+\sum_{\nu=1}^{\infty} \frac{Q_{\nu n}(x)} {n^{\nu/2}}$, здесь используются вспомогательные функции $Q_{\nu n}(x)$, их вид по ссылке (из-за громоздкости формул):
https://yadi.sk/i/XyvgsQjf1_YV-A
Фактически должна получиться ф.р двух переменных.
Посмотрите пожалуйста книжку:
http://bookfi.net/book/469569

[Евгений Машеров]

Александрович в сообщении #1412031 писал(а):

e7e5 в сообщении #1411839 писал(а):

Дана функция распределения непрерывной случайной величины
$F_N (x)=\Phi(x)+\frac {3(6N^3+21N^2+31N+31)}{50\sqrt{2\pi}N(2N+5)^2(N-1)}e^{-x^2/2}(-x^4+6x^2-3)$, $\Phi(x)$ - функция нормального распределения (0,1), $N$ принимает значения натуральных чисел $2,3, ... N$.

Вы здесь складываете две функции распределения?

Нет, это аппроксимация, сходная с разложением в ряд Тейлора. Первый член играет роль $f(x_0)$, остальные - поправки к нему. При всей условности аналогии - полиномы Эрмита появляются при дифференцировании плотности нормального распределения
$H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^2/2}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^2/2}$
то есть это некое подобие слагаемых ряда Тейлора с производными высшего порядка.

[Евгений Машеров]

Насколько я понял, обсуждаемая аппроксимация основана на получении для аппроксимируемой ФР известных значений семиинвариантов. Это не единственный вариант. Можно подгонять сразу плотность распределения (навскидку две статьи)
http://jre.cplire.ru/jre/jul18/5/text.pdf
http://earchive.tpu.ru/bitstream/11683/ ... 9-8-01.pdf
а не ФР и потом её дифференцировать.
Подгонка полиномами не гарантирует выполнения свойств ФР, ни монотонности, ни неотрицательности, ни $F(-\infty)=0$, $F(\infty)=1$
Однако при достаточно больших N вероятность такого нарушения мала. Но насколько они должны быть велики - не вем.
Варианты:
1. Подгонять непосредственно плотность распределения. При этом могут быть затруднения с неотрицательностью (если, скажем, подгонять просто полиномами, но можно и экспонентой от полиномов) и нормировкой к единице (сравнительно просто ввести нормировочный коэффициент).
2. Подгонять функцию распределения "по теории", увеличивая число слагаемых. Трудоёмко и, ввиду асимптотичности разложения, результат может сюрпризировать.
3. Использовать систему функций распределения, обобщающую нормальный случай, например, распределения Пирсона (они позволяют подогнать 3 и 4 моменты, и, насколько я понял, 3 момент известен - нулевой, а 4 вычислен).
4. Подгонять чем подгоняется, потом сглаживать функцию распределения какими-то скользящими средними, пока не станет монотонно возрастающей. Грубо эмпирический и зависящий от выбора параметров сглаживания, но просто реализуемый подход.

[e7e5]

Евгений Машеров в сообщении #1412426 писал(а):

Нет, это аппроксимация, сходная с разложением в ряд Тейлора. Первый член играет роль $f(x_0)$, остальные - поправки к нему. При всей условности аналогии - полиномы Эрмита появляются при дифференцировании плотности нормального распределения
$H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^2/2}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^2/2}$
то есть это некое подобие слагаемых ряда Тейлора с производными высшего порядка.

Подскажите пожалуйста, как правильнее называть $F_N(x)$?

[Евгений Машеров]

Ничего кроме как "асимптотическое приближение порядка N" в голову не приходит. Если и есть особое название - мне оно неизвестно.

[e7e5]

Евгений Машеров в сообщении #1412433 писал(а):

Варианты:
4. Подгонять чем подгоняется, потом сглаживать функцию распределения какими-то скользящими средними, пока не станет монотонно возрастающей. Грубо эмпирический и зависящий от выбора параметров сглаживания, но просто реализуемый подход.

$F_N(x)$ возникла при исследовании числа перестановок с заданными инверсиями. Известно, что
$\left| P\left( \frac{\mathrm{inv}(\pi)-\frac 12{n\choose 2}}{\sqrt{n(n-1)(2n+5)/72}}\leq x\right)-\Phi(x)\right| \leq \frac{C}{\sqrt{n}}$, здесь $\Phi(x)$ - обозначает стандартное нормальное распределение.
Производящая функция для числа перестановок с заданным количеством инверсий

$$F(q)=\frac{\prod{(1-q^k)}}{(1-q)^n}$$

. Конкретный коэффициент, вообще говоря, ищется при помощи формулы Коши.
Мне же нужно подгонять так, чтобы относительная скорость роста максимального коэффициента $M(n)$ в последовательности была непросто $M(n+1)/M(n)=n-\frac {1}{2}+o(1)$ (как это видно из нормального закона), а более тонкий результат: $M(n+1)/M(n)=n-\frac {1}{2}+O(1/n^{1-\varepsilon})$
Какие возможности есть для учета этой дополнительной информации, можно ли подсказать какой-нибудь вариант "подгонки" ?