О нахождении pdf по функции распределения с учетом ошибки

[e7e5]

Дана функция распределения непрерывной случайной величины
$F_N (x)=\Phi(x)+\frac {3(6N^3+21N^2+31N+31)}{50\sqrt{2\pi}N(2N+5)^2(N-1)}e^{-x^2/2}(-x^4+6x^2-3)+O(\frac {1}{N^2})$, $\Phi(x)$ - функция нормального распределения (0,1), $N$ принимает значения натуральных чисел $2,3, ... N$.
Необходимо найти функцию плотности распределения случайной величины с учетом величины ошибки.
Как поступают в случаях, когда "плотность" распределения оказывается (после дифференцирования $F_N (x)$) на каких-то интервалах отрицательна?

[Pphantom]

e7e5 в сообщении #1411839 писал(а):

Как поступают в случаях, когда "плотность" распределения оказывается (после дифференцирования $F_N (x)$) на каких-то интервалах отрицательна?

Зависит от смысла происходящего. Можно, например, считать, что на таких интервалах она равна нулю.

[e7e5]

Pphantom в сообщении #1411840 писал(а):

Зависит от смысла происходящего. Можно, например, считать, что на таких интервалах она равна нулю.

Смысл такой, что функция распределения получена для случая перемешивания диффундирующих частиц ( их число $N$ конечно). Когда частиц очень много, то получается нормальный закон распределения (функция положительная и нормирована). Если "отсечь" интервалы отрицательных значений, то интегрирование pdf не дает $1$. Кроме того, непонятно, теряется ли какая-то информация о физическом процессе в этом случае? Число $N$ (частиц) может быть хоть и большим, но все же конечным.
Ссылка на работу: https://arxiv.org/pdf/1010.2563.pdf

[Pphantom]

А что с ней потом предполагается делать? В общем-то схема действий явно зависит от того, какое из свойств плотности хочется сохранить больше (и, возможно, как это проще сделать). Так-то можно рассмотреть много вариантов: после отрезания отрицательных участков просто отнормировать получившееся (сохранится непрерывность, но все немного поменяется), взять область, включающую отрицательный участок, и заменить там функцию на константу так, чтобы интегралы по отрезку совпадали (в основной части изменений не будет, но непрерывность пропадет) и т.д. и т.п.

Кстати, а что именно вы дифференцируете? Аналитическое выражение (что тогда делается с $O(N^{-2})$?) или результат численного эксперимента?

[e7e5]

Pphantom в сообщении #1411844 писал(а):

А что с ней потом предполагается делать?
Кстати, а что именно вы дифференцируете? Аналитическое выражение (что тогда делается с $O(N^{-2})$?) или результат численного эксперимента?

И это вопрос для меня. По виду pdf получается с некой "добавкой", которую может быть нужно учесть в уравнении диффузии - это с одной стороны, чтобы получить аналитику ( без численного эксперимента пока). С другой, мне повстречалась работа про "Permutation glass" (https://arxiv.org/pdf/1801.03231.pdf), где можно, наверное бы, попробовать применить искомую pdf (стр.4 статьи).
($F_N(x)$ получена из асимптотического разложения)
... Какое из свойств хочется сохранить больше? - наверное, посмотреть изменение дисперсии случайной величины в зависимости от $N$.

[Александрович]

e7e5 в сообщении #1411839 писал(а):

Как поступают в случаях, когда "плотность" распределения оказывается (после дифференцирования $F_N (x)$) на каких-то интервалах отрицательна?

Как такое может быть, если ф.р. неубывающая по определению?

[iifat]

e7e5 в сообщении #1411839 писал(а):

...$+O(\frac {1}{N^2})$

Что-то я вообще не понимаю происходящего. Что можно сказать о производной $O(\frac {1}{N^2})$? Как понимаю, ничего. Просто таки абсолютное эталонное ничего, не?

[e7e5]

Надо что-то сказать, найти подход. Использовалась работа В.В. Петрова Сумма независимых случайных величин", гл. Асимптотическое разложение в центральной предельной теореме. Возникает бесконечный ряд. Можно доказать, что ряд сходится в моем случае (случай перемешивания диффундирующих частиц). Ограничился первым членом. Возможно на этом месте нужно какие-то сделать предположения. И вот - проблема. Какие есть идеи?

[Pphantom]

Александрович в сообщении #1411852 писал(а):

Как такое может быть, если ф.р. неубывающая по определению?

Если бы не это, темы бы не было. Посмотрите на название темы (точнее, его хвостовую часть).

e7e5 в сообщении #1411870 писал(а):

Ограничился первым членом.

А просто увеличить число членов - до тех пор, пока проблема не пропадет?

[e7e5]

Pphantom в сообщении #1411876 писал(а):

Александрович в сообщении #1411852 писал(а):

Как такое может быть, если ф.р. неубывающая по определению?

Если бы не это, темы бы не было. Посмотрите на название темы (точнее, его хвостовую часть).

e7e5 в сообщении #1411870 писал(а):

Ограничился первым членом.

А просто увеличить число членов - до тех пор, пока проблема не пропадет?

С увеличением числа членов возрастет трудоемкость. Также надежды мало, что проблема исчезнет. В разложении - полиномы Чебышева-Эрмита. Возможно ли доопределить уже имеющуюся $F_N(x)$ до функции распределения?

[Александрович]

Pphantom в сообщении #1411876 писал(а):

Если бы не это, темы бы не было. Посмотрите на название темы (точнее, его хвостовую часть).

Ошибка не должна приводить к отрицательной плотности распределения, или вероятности большей единицы.

[e7e5]

Александрович в сообщении #1411881 писал(а):

Ошибка не должна приводить к отрицательной плотности распределения, или вероятности большей единицы.

Подскажите, пожалуйста, как исправлять ситуацию с функцией распределения? Мне необходимо асимптотическое разложение.

[Александрович]

e7e5 в сообщении #1411943 писал(а):

как исправлять ситуацию с функцией распределения?

Какая размерность второго члена ф.р.?

[e7e5]

Александрович в сообщении #1411953 писал(а):

Какая размерность второго члена ф.р.?

Прошу прощения, что имеется ввиду под размерностью?
Дело в том, что следующий член в ф.р. равен нулю. Немного уточню. В асимптотических формулах участвуют моменты $\alpha_{kl}$. В силу симметричности изучаемой случайной величины все нечетные моменты оказываются нулевыми (то есть при нечетных $l$). Первый член в ф.р опущен (т.к. нулевой), второй - член - именно тот, что в исходном вопросе, а третий член - снова нулевой. Поможет ли эта информация?
Да, как ранее сообщил, этот ряд сходится (доказывается).

[Александрович]

e7e5 в сообщении #1411839 писал(а):

Дана функция распределения непрерывной случайной величины
$F_N (x)=\Phi(x)+\frac {3(6N^3+21N^2+31N+31)}{50\sqrt{2\pi}N(2N+5)^2(N-1)}e^{-x^2/2}(-x^4+6x^2-3)$, $\Phi(x)$ - функция нормального распределения (0,1), $N$ принимает значения натуральных чисел $2,3, ... N$.

Вы здесь складываете две функции распределения?