Координатная ересь в математике

[pogulyat_vyshel]

(Оффтоп)

пианист в сообщении #1412496 писал(а):

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B0%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D0%BD,_%D0%94%D0%BC%D0%B8%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B9_%D0%91%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%81%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87

ясно

пианист в сообщении #1412489 писал(а):

Я думал, стиль Дмитрия Борисовича совершенно неподражаем и узнаваем ;)

я бы сказал, что это не столько персональный стиль данного человека, сколько стиль тусовки "независимый университет-ВШЭ". Провокационные высказывания с целью разжечь флейм, заставить говорить о себе любым способом. Для человека с такой нехилой титулатурой такие чудачества действительно выглядят инфантильными. Ну мы-то пожмем плечами и разойдемся, а на студента это действительно произведет впечатление. Так что их секту можно поздравить с пополнением

[gogoshik]

pogulyat_vyshel в сообщении #1412499 писал(а):

Ну мы-то пожмем плечами и разойдемся, а на студента это действительно произведет впечатление. Так что их секту можно поздравить с пополнением

Увы! Пока я тоже стою, пожимаю плечами. Все трындят одно и тоже. А вот хотелось бы взять и увидеть эту ускользающую от меня невиданную бескоординатную красоту. Только кто бы внятно объяснил. Почему бы и нет? Это что запрещается канонами главенствующей религии?

[Утундрий]

Уже одно выражение "мыслить правильно"... Кто помнит, тот поймёт.

[worm2]

gogoshik в сообщении #1412503 писал(а):

хотелось бы взять и увидеть эту ускользающую от меня невиданную бескоординатную красоту

Ну узрите: $\operatorname{rot} \operatorname{rot} \mathbf{F} = \operatorname{grad} \operatorname{div} \mathbf{F} - \Delta\mathbf{F}$ (из FAQа по тэгу [math]).

[Утундрий]

Ну или такое. В координатах:

$$\left( {\varphi \psi } \right)_{;\mu } = \varphi _{;\mu } \psi + \varphi \psi _{;\mu } $$

В т. н. инвариантных обозначениях:

$$\nabla _{\mathbf{v}} \left( {\varphi \otimes \psi } \right) = \left( {\nabla _{\mathbf{v}} \varphi } \right) \otimes \psi + \varphi \otimes \left( {\nabla _{\mathbf{v}} \psi } \right)$$

[arseniiv]

Утундрий в сообщении #1412533 писал(а):

В координатах:

$$\left( {\varphi \psi } \right)_{;\mu } = \varphi _{;\mu } \psi + \varphi \psi _{;\mu } $$

Это не обязательно в координатах, это может быть понято и как абстрактные индексы, вещь с вполне инвариантным пониманием.

[Утундрий]

Или ещё такая "красота":

$$g\left( {R(X,Y)Z,U} \right) = - g\left( {R(X,Y)U,Z} \right)$$

вместо человеческого

$$R_{\alpha \beta \mu \nu } = - R_{\alpha \beta \nu \mu } $$

[mahalex]

Утундрий в сообщении #1412533 писал(а):

Ну или такое. В координатах:

$$\left( {\varphi \psi } \right)_{;\mu } = \varphi _{;\mu } \psi + \varphi \psi _{;\mu } $$

В т. н. инвариантных обозначениях:

$$\nabla _{\mathbf{v}} \left( {\varphi \otimes \psi } \right) = \left( {\nabla _{\mathbf{v}} \varphi } \right) \otimes \psi + \varphi \otimes \left( {\nabla _{\mathbf{v}} \psi } \right)$$

В координатах достаточно отвратительно выглядит, а во втором равенстве хотя бы понятно о чем речь идёт. Пример снизу ещё смешнее: там вообще две разные вещи написаны, обе вырванные из контекста.

[arseniiv]

Ну вот, прекрасно, всё-таки под конец раздули спор на пустом месте. Одна запись переводится во вторую механически (и вторая в первую). Как минимум. (Про абстрактные индексы я уже раз сказал и не буду попусту повторяться. Имеющий открытые глаза да погуглит.)

[Утундрий]

mahalex в сообщении #1412555 писал(а):

там вообще две разные вещи написаны

Да, забыл первый индекс поднять. Но сути это не меняет.

[VanD]

Хах, только недавно при решении конкретной задачи столкнулся с тем что алгебро-геометрический подход к геометрии дифференциальных уравнений в стиле Виноградова, Красильщика и т.д. в ряде моментов выигрывает у координатного изложения, а в ряде моментов прям проигрывает, превращая очень простые локальные координатные конструкции в инвариантные и сформулированные в честных терминах сечений расслоений, но несравнимо более сложные и перегруженные.

[ozheredov]

arseniiv в сообщении #1412484 писал(а):

Есть, однако, и более явно инвариантное определение определителя оператора — или как функции, от которой требуются некоторые вещи — и доказывается её единственность

Где почитать об этом?

[ewert]

Ну стандартное аксиоматическое определение определителя: линейность по строкам, антисимметричность по строкам и нормировка (относительно единичной матрицы).

Беда только в том, что любые определения определителей заведомо привязаны к матрицам. Т.е. -- к чему-то координатному. Привязать же их к абстрактному оператору заведомо не выйдет. Просто потому, что к произвольному оператору они никак не привязываются. Ну разве что к очень частным случаям -- к компактным, скажем -- да и то только очень сильно скрипя сердцем.

[Xaositect]

Определители же к конечномерным операторам привязываются хорошо. Если $\dim V = n$, $A \in \mathrm{Hom}(V, V)$, то действие $A$ на одномерном $\Lambda^n V$ - это умножение на определитель.

[arseniiv]

Плюс определитель матрицы из координат векторов $\mathbf v_1,\ldots,\mathbf v_n$ в базисе $\mathbf e_1,\ldots,\mathbf e_n$ — это $\dfrac{\mathbf v_1\wedge\ldots\wedge\mathbf v_n}{\mathbf e_1\wedge\ldots\wedge\mathbf e_n}$ (деление возможно из-за той же одномерности и того, что $\mathbf e_1\wedge\ldots\wedge\mathbf e_n\ne0$, раз базис линейно независим).

ozheredov в сообщении #1412765 писал(а):

Где почитать об этом?

Ну вообще я как раз выше на две книжки сослался, там должно быть. В Кострикине должно быть аксиоматическое определение, в Winitzki — «внешнее» (и может быть и аксиоматическое тоже, я ту часть не помню).