Координатная ересь в математике

[ozheredov]

arseniiv
Спасибо большое

[alcoholist]

gogoshik в сообщении #1412472 писал(а):

Может быть ссылки на материал, где один и тот же вопрос (ну или близкие вопросы) изложены и в координатном и в бескоординатном видах.

тогда уж материалы.
Неохота сейчас копаться, но по воспоминаниям о дифф. геометрии, можно сравнить курс Хермандера (координатный) и Бишопом-Криттенденом, например.

-- Пт авг 30, 2019 10:15:47 --

Утундрий в сообщении #1412545 писал(а):

Или ещё такая "красота":

$$g\left( {R(X,Y)Z,U} \right) = - g\left( {R(X,Y)U,Z} \right)$$

вместо человеческого

$$R_{\alpha \beta \mu \nu } = - R_{\alpha \beta \nu \mu } $$

Смысл первого понятен: оператор (кривизны) $R(X,Y)$ кососимметричен по отношению к метрике $g$. А второе -- координатное выражение этого факта.
Если неспециалист посмотрит на первую формулу, он увидит (из общих соображений) две билинейных формы, одна из которых со значениями в операторах и сделает вывод, что значение одной кососимметрично по отношению к другой. А посмотрит на вторую и увидит набор $n^4$ величин с некоторыми свойствами (а)симметрии.

gogoshik в сообщении #1412503 писал(а):

А вот хотелось бы взять и увидеть эту ускользающую от меня невиданную бескоординатную красоту.

приведенный выше пример показателен: геометрический смысл vs его координатное описание.

[jekyl]

А требование локальной гомеоморфности $\mathbb{R}^{d}$ в определении многообразия не противоречит координатам? $\mathbb{R}^d$, в принципе, координатное пространство, как прямая сумма.

[alcoholist]

jekyl в сообщении #1412863 писал(а):

$\mathbb{R}^d$, в принципе, координатное пространство, как прямая сумма.

Чем вас не устраивает топологическое векторное пространство размерности 2 над $\mathbb{R}$? Конечно, таких слов никто не говорит, но существенно именно это. Важно, что объект локально картируется некоторым модельным пространством, вообще говоря, с дополнительной структурой (например "Seifert fibred spaces modelled on Thurston's geometry"). Тут координаты точно ни к чему.

[bot]

gogoshik в сообщении #1412465 писал(а):

Речь идет о вредности координатной идеи

Да мало ли кто у нас порою порет вызывающую чушь. Обсуждать тут нечего, иначе провокация удалась.

[alcoholist]

bot в сообщении #1412920 писал(а):

Обсуждать тут нечего

Да, нечего на Декарта покушаться!

[arseniiv]

alcoholist в сообщении #1412858 писал(а):

vs его координатное описание

Нет, серьёзно, почему все игнорируют возможность понимания индексов абстрактно, Пенроуз (а то и кто-нибудь до него) это уже сто лет назад придумал. Если у нас есть запись например $A^i{}_{jk}$, это не обязательно имя для $n^3$ координат, это может быть имя для (2, 1)-тензора ${}\in V\otimes V^*\otimes V^*$, аргументам которого (если его понимать как полилинейную форму) сопоставлены имена $i, j, k$. (Как в анализе часто любят писать «функция $f(x)$» и потом упрощать этим жизнь в например дифференцировании по разным $x, y, z$ вместо формально более аккуратного указания того, по аргументу с каким номером.)

Теперь когда мы пишем ту же свёртку $A^i{}_{jk} B^j$, эта запись опять определяет просто некий (1, 1)-тензор с аргументами $i, k$, полученный свёрткой $A\otimes B$ по аргументам, «пришедшим от» $A$ и $B$, обозначенным буквой $j$. Это всё можно сделать аккуратно, введя много поименованных разными переменными копий $V$ и $V^*$ (Пенроуз кажется обозначал их $V^i, V^j, \ldots$ и $V_i, V_j, \ldots$, так что $A^i{}_{jk}\in V^i\otimes V_j\otimes V_k$, $A^i{}_{jk} B^j\in V^i\otimes V_k$ (и когда нам понадобится, мы всегда можем отождествить все эти копии обратно и получить самые формально обычные тензоры).

Аналогично можно поступить со всеми остальными вещами из этой индексной записи, которые понимались как наборы координат, и насчёт дифгеометрических я особо не читал, но вроде тот же Пенроуз должен был их ввести, потому что он как минимум одну какую-то книгу (со спинорными многообразиями) с этим на уме и писал.

Это насчёт того, что запись можно вполне формально понимать как инвариантную. А насчёт того, что её неформально так не слишком сложно понимать, хотя бы для приведённого случая с тождеством насчёт тензора Римана, я как-то раньше не очень сомневался. Пока мы в конечномерном пространстве, мы же можем любой тензор представить как функцию из одного тензорного произведения в другое, $2^m$ способами, где $m$ — валентность, так что мы можем легко увидеть билинейную операторнозначную функцию векторов, можем увидеть что-то ещё если понадобится. По идее.

-- Пт авг 30, 2019 17:54:19 --

(Притом, разумеется, если мы будем использовать этакие гетерогенные тензоры из какого-нибудь $V\otimes W^*\otimes U$, абстрактная индексная запись прекрасно их терпит выбором нескольких неподставляемых друг вместо друга наборов индексов. А вот индексы, в координатном понимании проходящие не все значения (например, 1…3 без 0), типа отдельных индексов, пробегающих по пространственноподобным компонентам чего-то, уже портят инвариантность. Но насколько я помню, можно и без них.)

[worm2]

alcoholist в сообщении #1412921 писал(а):

нечего на Декарта покушаться!

Кстати, хочу покуситься на Декарта с другой стороны, задав давно интересующий меня исторический вопрос: неужели такая простая вещь, как декартова система координат, была изобретена лишь в 17 веке? Ведь ещё задолго до нашей эры активно использовались на практике (например, в навигации) координаты на небесной сфере, а это куда более сложная штука.

[Pphantom]

worm2 в сообщении #1412926 писал(а):

Ведь ещё задолго до нашей эры активно использовались на практике (например, в навигации) координаты на небесной сфере, а это куда более сложная штука.

Смотря что считать практикой... именно в навигации это все-таки стало использоваться достаточно поздно, в XVi веке (хотя все равно раньше Декарта). А вот задачей определения киблы занимались очень многие и существенно раньше, с IX века по крайней мере. Звездные каталоги - да, еще до нашей эры.

[пианист]

Кстати, помнится, читал где-то у Шафаревича, что рассмотрение кольца многочленов на (алгебраическом) многообразии это тоже задание координат.
Интересно, схемы у поборников всего бескоординатного тоже зашквар? ;)

[mahalex]

пианист в сообщении #1412934 писал(а):

Кстати, помнится, читал где-то у Шафаревича, что рассмотрение кольца многочленов на (алгебраическом) многообразии это тоже задание координат.
Интересно, схемы у поборников всего бескоординатного тоже зашквар? ;)

Что-то странное Вы написали: я не знаю, что такое «кольцо многочленов на алгебраическом многообразии», а для определения схемы никаких координат (как и колец многочленов) не нужно.

[alcoholist]

arseniiv в сообщении #1412922 писал(а):

Нет, серьёзно, почему все игнорируют возможность понимания индексов абстрактно

Я привел аргументацию к конкретному примеру: в инвариантной записи виден оператор кривизны и скалярное произведение, а во второй только свойство набора чисел.

[arseniiv]

Нну не знаю… По идее эти записи переводятся одна в другую достаточно просто и механически. (Надо, конечно, знать, что у $R$ ковариантно и что контравариантно, чтобы правильно расставить $g$, переходя от индексной записи к безындексной, но это и известно.) Так что по идее из них обоих должно быть видно примерно одно и то же.

-- Пт авг 30, 2019 23:31:24 --

То есть проблема индексной записи здесь в том, что не пишутся явные $g$, поднимающие и опускающие индексы. Это можно и не делать, можно эти $g$ писать явно для иллюстративности.

[пианист]

mahalex в сообщении #1412943 писал(а):

для определения схемы никаких координат (как и колец многочленов) не нужно.

Ну так и для определения ЛВП ни эвклидовой геометрии, ни построения Декарта не требуется. И решая геометрическая задачу, "переведенную" на язык векторов, запросто можно делать вид, что не знаешь ничего ни про какую геометрию.

[Евгений Машеров]

worm2 в сообщении #1412926 писал(а):

Кстати, хочу покуситься на Декарта с другой стороны, задав давно интересующий меня исторический вопрос: неужели такая простая вещь, как декартова система координат, была изобретена лишь в 17 веке? Ведь ещё задолго до нашей эры активно использовались на практике (например, в навигации) координаты на небесной сфере, а это куда более сложная штука.

Ну, это очередное проявление "закона Арнольда". Ещё Николай Орезм, епископ Лизье ими пользовался, в XIV веке. А ещё раньше Аполлоний Пергский. Декарт не изобрёл координаты, они уже были известны, его заслуга в том, что вместо сведения алгебры к геометрии он геометрию сводил к алгебре. Перевернул обоснования.