Формальная запись определения модуля числа

[arseniiv]

vend в сообщении #1412247 писал(а):

то сначала спросите себя почему это выбор варианта и множество в математике обозначается одним и тем же символом {

Потому что символов не бесконечное количество. Будут омонимичные, ничего не поделаешь. Кроме того даже если за одинаковостью здесь стоят какие-то особенные причины, они не обязательно того вида как у вас (одинаковый смысл записи).

vend в сообщении #1412247 писал(а):

поумнее нас люди придумывали обозначения

Да в принципе такие же люди были, просто обычно более начитанные и менее склонные впадать кое-куда, чем кое-кто. От обозначений требуется удобство — например, чтобы были простые, или чтобы напоминали какие-то другие, и даже эти два желания не всегда совместимы.

Можно предположить, что фигурная скобка здесь возникла в какой-то связи с бытовым употреблением «вот это всё вместе», где перечисляемые элементы нередко тоже пишутся друг под другом и парной скобки почти никогда нет, а со стороны носика скобки пишется пояснение. Чтобы получить текущую запись, надо воспринять эту скобку с наполнением как выражение, избавиться от теряющего смысл пояснения и добавить условия, когда какая альтернатива имеет место. Скорее всего обозначение появилось не сразу в современном виде и имело хитрую историю с мутациями и отбором.

vend в сообщении #1412247 писал(а):

Потому что множество значений и множество вариантов это суть одно и тоже - множество.

Математически множество — это вполне определённая штука, не обязательно имеющая связь с кучей чего угодно.

vend в сообщении #1412247 писал(а):

Банальности про программирование писать не надо, речь идет не о языках программирования, а о математических обозначениях.

И синтаксис, и семантика конструкций языков программирования и формул математического языка имеют много общего.

[Pphantom]

Честно говоря, вопрос не настолько важен, чтобы упрекать оппонента в бреде. Посему давайте-ка просто это прекратим.

[beroal]

То, что говорит Tilq, можно формализовать. Записать, как написал vend.

vend в сообщении #1412186 писал(а):

Это именно что множество и эквивалентно записи $\left\lbrace -x : x < 0\right\rbrace \cup \left\lbrace x : x >0 \right\rbrace$ от которой она и произошла как сокращение.

Только чтобы было формально корректно, следует писать $\lbrace\langle x, -x\rangle : x < 0\rbrace \cup \lbrace \langle x, x\rangle : x\geq 0 \rbrace$. То есть кусочное определение функций — это действительно объединение функций, соответствующее квадратной скобке. Можно даже выразить через пересечение, соответствующее фигурной скобке: $\lbrace\langle x, -x\rangle : x < 0\rbrace = \lbrace\langle x, -x\rangle : \top\rbrace \cap \left(\lbrace x: x < 0\rbrace \times \lbrace y: \top\rbrace\right)$. Хотя $\lbrace y: \top\rbrace$ есть класс, результат пересечения есть множество.

Если под большими скобками хочется подразумевать логические связки, тогда можно так:

$$ y=|x| \iff \left[ \begin{array}{ccc} \begin{cases} y=x\\ x \ge 0 \end{cases}\\ \begin{cases} y=-x\\ x < 0 \end{cases} \end{array} \right. .$$

vend в сообщении #1412141 писал(а):

Фигурная скобка означает что это множество, то есть выбор равнозначных неупорядоченных вариантов, неважно в каком порядке записаны строки.

Фигурная скобка, конечно, гибкая конструкция. Я видел описание множества в виде текста на естественном языке в фигурных скобках. Проблема в том, что если строить математику на чистой теории множеств, то любое математическое понятие есть множество, поэтому фигурные скобки подходят для задания чего угодно.

[Xaositect]

Можно еще так: $\begin{cases} x \geqslant 0 \Rightarrow y = x, \\ x < 0 \Rightarrow y = -x\end{cases}$

В любом случае, конечно, считать эти скобки как-то связанными с множествами - это анахронизм. Скобки для множеств появились в конце XIX-начале XX века и вначале у Кантора обозначали не создание множества из элементов, а объединение непересекающихся множеств.
Фигурные же скобки для разбора случаев использвались давно, и вначале это был не формальный математический символ, а чисто оформительский элемент. Можно посмотреть, например, Cours d'Analyse Коши (archive.org), там скобки используются и для объединения нескольких однородных элементов, и для записи ситем уравнений, и просто для указания границ громоздких многострочных формул. У Якова Бернулли в Ars conjectandi (archive.org) есть скобки, используются и для суммирования, и для объединения однородных формул, и для разбора случаев (правда, не в том виде, как сейчас).