Я не думаю, что человек высказав это, сделал это вот просто так, чтобы попаясничать или выплеснуть свои радикальные математические наклонности.
Это не обязательно единственные объяснения. Человек может просто иметь привычку делать резкие и сильные утверждения, и (вместе с этим или независимо) даже думать, что он следует тому, что говорит, когда на деле может быть всё более умеренным и в конкретных ситуациях он будет отходить от таких жёстких принципов (потому что это вовсе и не принципы, обычно это рационализация). Люди сложные.
Скорее всего он говорит о глубокой, существенной вещи, полезной для всех изучающих предмет.
Ну, «существенная» вещь в том, что координаты не обязательны для достаточно далёкой от практики математики. (Но бескоординатные абстракции, которыми сейчас хвалятся, не сразу были изобретены.) То, что они нужны для многих конкретных задач, уже входит в противоречие с тем мнением. Остальное будет более-менее субъективным или хотя бы зависящим от условий.
Какой аппарат? Можете, пожалуйста, дать пример. Может быть ссылки на материал, где один и тот же вопрос (ну или близкие вопросы) изложены и в координатном и в бескоординатном видах.
Вот например определитель. Часто он определяется в первую очередь для матриц (так что тут много компонент, которые придётся тасовать в доказательствах свойств определителя и пр.), а потом уже на операторы и наборы векторов переносить (через матрицу их в каком-то базисе, и доказывать независимость такой величины от базиса для оператора и «почти независимость» для набора векторов). Есть, однако, и более явно инвариантное определение определителя оператора — или как функции, от которой требуются некоторые вещи — и доказывается её единственность — или например как явного выражения, использующего внешнюю алгебру. В последнем случае внешнюю алгебру и нужные в определении вещи надо будет сначала определить/доказать. В предпоследнем тоже может понадобиться что-то ввести — и если курс достаточно длинный, всё это окупится, но если короткий, можно не успеть рассказать что-то ещё.
Книжек, где есть вещи в координатах и без, больше, чем я могу привести, но вот как минимум:
Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть 2. Линейная алгебра
Winitzki S. Linear algebra via exterior products
Но вот, если "умеешь", тогда это ооочень большая проблема! Которая будущего (и не только) математика больше калечит, чем лечит.
Ну если автор цитаты утверждал даже это, то это явно неверно в общем случае. Обычно чем больше способов человек знает что-то сделать, тем он действует эффективнее.
