Задача на магнитный поток

[amon]

EUgeneUS в сообщении #1412053 писал(а):

сли бы силовые линии магнитного поля не пересекали бы поверхность, то индуктивность должна расти пропорционально квадрату от количества витков.

Про потокосцеплени ничего не знаю, поэтому попробую перевести утверждение уважаемого EUgeneUS'а на язык родных осин. Поскольку физика без формул это секс по телефону, на формулах. Если на единице длины у нас $N$ витков, то ток течет по винтовой линии $z=\frac{1}{2\pi N}\varphi.$ Угол наклона касательного вектора к этой линии относительно круга, по которому ток течет, если пренебречь толщиной провода составляет $\alpha=\frac{1}{2\pi R N}$ (угол считаем малым, поэтому $\tg\alpha=\sin\alpha=\alpha$). Тогда поле в цилиндре наклонено относительно оси цилиндра на тот же самый угол $\alpha,$ и составляющая поля, перпендикулярная стенке цилиндра $H_\perp=H\alpha=\frac{H}{2\pi R N}$ из цилиндра убегает. Что тут будет с индуктивностью и как учесть на пальцах еще и конечный диаметр провода сходу не соображу, но убегание видно уже в этой примитивной модели.

[realeugene]

amon в сообщении #1412133 писал(а):

и составляющая поля, перпендикулярная стенке цилиндра $H_\perp=H\alpha=\frac{H}{2\pi R N}$ из цилиндра убегает.

В межвитковых промежутках то убегает, то обратно вбегает, конечно. Но если ими пренебречь и считать плотность тока однородной по поверхности соленоида, то закручивающийся по спирали ток можно разложить на ток по кругу и ток вдоль соленоида. Ни одна из составляющих не даёт магнитное поле сквозь стенку.

Но вам, как специалисту-твердотельщику, могу заметить, что ввиду симметрий рассматриваемого соленоида все точки его поверхности равноправны, и если бы магнитный поток вытекал бы из одной, то он бы вытекал из всех. А это невозможно, так как дивергенция магнитной индукции равна нулю.

[amon]

realeugene в сообщении #1412137 писал(а):

и если бы магнитнный поток вытекал бы из одной, то он бы вытекал из всех.А это невозможно, так как дивергенция магнитной индукции равна нулю.

Это всего лишь означает, что для геликоидального тока я не могу положить поле вне цилиндра равным нулю, что и означает вытекание поля. По поводу равнозначности точек на поверхности. Задачка имеет довольно необычную симметрию, эквивалентные точки получаются одновременным сдвигом и поворотом, поэтому рассуждения начинающиеся словами "все точки его поверхности равноправны" просто неверны. Это я Вам как твердотельщик утверждаю ;)

[realeugene]

amon в сообщении #1412147 писал(а):

Это всего лишь означает, что для геликоидального тока я не могу положить поле вне цилиндра равным нулю, что и означает вытекание поля.

Ваше замечание интересное, но тут тбсуждалось другое "вытекание поля", а именно, краевые эффекты у концов конечного соленоида. Про угол наклона проводов речь не шла.

amon в сообщении #1412147 писал(а):

Задачка имеет довольно необычную симметрию, эквивалентные точки получаются одновременным сдвигом и поворотом, поэтому рассуждения начинающиеся словами "все точки его поверхности равноправны" просто неверны. Это я Вам как твердотельщик утверждаю

А теперь перейдите, пожалуйста, от точечных групп симметрии к непрерывным, забыв про дискретность атомов в проводах и про сами дискретные провода. ;) У нас по цилидру течёт лист тока, закручиваясь в спираль. При повороте цилиндра на произвольный угол ток совмещается сам с собой. Как и при трансляции вдоль оси без поворота. Симметрия штопора, разумеется, следует отсюда. Но не только она.

[EUgeneUS]

realeugene в сообщении #1412132 писал(а):

У меня появилось подозрение, что вы не знаете определение коэффициента взаимной индукции.

У меня появилось встречное подозрение, что Вы не знаете, как считается общая (суммарная) индуктивность двух катушек.

[realeugene]

EUgeneUS в сообщении #1412150 писал(а):

У меня появилось встречное подозрение, что Вы не знаете, как считается общая (суммарная) индуктивность двух катушек.

Честно признаюсь: в общем случае не знаю. Зависит от их схемы включения.

Ну а вы, пожалуйста, напишите теперь определение понятия взаимной индуктивности. Если знаете его.

[EUgeneUS]

realeugene в сообщении #1412137 писал(а):

Но вам, как специалисту-твердотельщику, могу заметить, что ввиду симметрий рассматриваемого соленоида все точки его поверхности равноправны, и если бы магнитный поток вытекал бы из одной, то он бы вытекал из всех.

Если Вы рассматриваете бесконечный соленоид, то говорить о его индуктивности бессмысленно.
Если рассматривать длинный ($L >> d$) соленоид, то точки его поверхности неравноправны.

[amon]

realeugene в сообщении #1412149 писал(а):

При повороте цилиндра на произвольный угол ток совмещается сам с собой.

Возьмите штопор, поставьте палец на виток штопора, теперь поверните штопор на 45 градусов не сдвигая пальца. Скажите, палец остался на витке или оказался между витками?

[realeugene]

amon в сообщении #1412157 писал(а):

Возьмите штопор, поставьте палец на виток штопора, теперь поверните штопор на 45 градусов не сдвигая пальца. Скажите, палец остался на витке или оказался между витками?

У штопора нет оси симметрии бесконечного порядка. А у листа тока, спирально намотанного на цилиндр - есть.

[amon]

realeugene в сообщении #1412158 писал(а):

У штопора нет оси симметрии бесконечного порядка.

Симметрия геликоидального тока - всего лишь однопараметрическая группа Ли. При сдвиге вдоль образующей (по $z$ в моих обозначениях) мы одновременно должны повернуться на некоторый угол. Поэтому в моей модели (я мысленно раскатал обмотку в двумерный цилиндр и запустил в нем геликоидальную плотность тока) при движении вдоль поверхности по прямой, параллельной оси цилиндра, из соображений симметрии, поле внутри цилиндра будет описывать конус с раствором $\alpha,$ оказываясь в одних местах направленным внутрь, а в других - наружу. С силовыми линиями в этом случае, боюсь, будет какая-нибудь беда - возможно, они окажутся незамкнутыми.

[EUgeneUS]

amon
Речь несколько о другом.
Тезисы:
1. Если поток магнитной индукции (вызванной током через катушку) одинаков через каждый виток, то
а) индуктивность такой катушки обязана зависеть квадратично от количества витков и пропорциональна индуктивности уединенного витка
б) индуктивность каждого индивидуального уединенного витка - одинакова.

2. Для длинного ($L >> d$), но конечного, цилиндрического соленоида его индуктивность пропорциональна количеству витков (если плотность витков - константа). Не в точности, но относительную погрешность можно сделать сколько угодно малой, увеличивая длину соленоида (при постоянном сечении), которая (длина) при этом остается конечной. Это означает:
а) Поток через витки не может быть одинаковым
б) Так как соленоид цилиндрический, это означает что магнитная индукция зависит от координаты вдоль оси соленоида.
в) А это с неизбежностью (при симметрии относительно поворота - "спиральность" намотки не рассматриваем) ведет к ненулевой радиальной компоненте магнитной индукции. А значит к пересечению силовыми линиями магнитной индукции поверхности соленоида (толщину провода считаем сильно малой - относительно всех остальных размеров).

3. Разбивая длинный, но конечный, соленоид на две части, каждую из которых опять же можно считать длинным, но конечным соленоидом, коэффициент связи между этими частями можно сделать сколь угодно малым, увеличивая длину соленоида.

4. Величина магнитной индукции в длинном, но конечном, соленоиде (для определенности - на оси соленоида), в его центре и на "срезе" - существенно разная (отношение не стремится к $1$ с ростом длины соленоида).

Какие из этих тезисов оспаривает realeugene - уже запутался.

[realeugene]

amon в сообщении #1412160 писал(а):

При сдвиге вдоль образующей (по $z$ в моих обозначениях) мы одновременно должны повернуться на некоторый угол.

Не должны. Всё, что у нас есть - это векторное поле тока на внешней поверхности цилиндра. При трансляции вдоль оси без поворота это вектрное поле тока всё равно переходит в себя. Как и при повороте без трансляции. Так что, группа Ли тут двухпараметрическая.

[EUgeneUS]

realeugene в сообщении #1412151 писал(а):

Ну а вы, пожалуйста, напишите теперь определение понятия взаимной индуктивности. Если знаете его.

"Рассмотрим два контура.
Магнитный поток, создаваемый во втором контуре полем от тока в первом контуре, пропорционален току в первом контуре, коэффициент пропорциональности называется взаимной индуктивностью второго контура в зависимости от первого."

[amon]

realeugene в сообщении #1412163 писал(а):

При трансляции вдоль оси без поворота это вектрное поле тока всё равно переходит в себя.

Даже если мы попали между витками? Зря спорите, этот эффект есть, другое дело, что он мал по параметру $\frac{L}{2\pi N R},$ где $R$ - радиус катушки, $L$ - ее длина, $N$ - полное число витков.
EUgeneUS, я с Вами и не спорю, я только обращаю внимание высокого собрания на то, что даже для бесконечной катушки поле вне нее окажется ненулевым, если принять во внимание толщину провода.

[realeugene]

amon в сообщении #1412172 писал(а):

Даже если мы попали между витками?

Так нет никаких витков. Давно абстрагировались, чтобы не рассматривать межвитковые эффекты гуляния потока туда-сюда. Есть однородный лист тока, намотанный в виде спирали.
И витки не обязаны идти друг за другом с шагом, равным диаметру.

-- 26.08.2019, 18:38 --

EUgeneUS в сообщении #1412162 писал(а):

индуктивность такой катушки обязана зависеть квадратично от количества витков и пропорциональна индуктивности уединенного витка

Нет, не должна. Длина силовой линии, пронизывающей каждый виток, тоже увеличивается пропорционально длине соленоида. Силовые линии не суммируются. То есть, циркуляция напряженности магнитного поля вдоль линии пропоррциональна длине соленоида (пропорциональна количеству витков с током), и длина линии тоже пропорциональна длине соленоида, а значит, что напряженность магнитного поля не зависит от длины соленоида, если он достаточно длинный. Исключение - краевые эффекты. На срезе соленоида напряженность поля в два раза меньше.

EUgeneUS в сообщении #1412162 писал(а):

2. Для длинного ($L >> d$), но конечного, цилиндрического соленоида его индуктивность пропорциональна количеству витков (если плотность витков - константа). Не в точности, но относительную погрешность можно сделать сколько угодно малой, увеличивая длину соленоида (при постоянном сечении), которая (длина) при этом остается конечной.

Да

EUgeneUS в сообщении #1412162 писал(а):

а) Поток через витки не может быть одинаковым

С точностью до краевых эффектов он одинаковый.

EUgeneUS в сообщении #1412162 писал(а):

б) Так как соленоид цилиндрический, это означает что магнитная индукция зависит от координаты вдоль оси соленоида.

Зависит от координаты и от радиуса, но с точностью до краевых эффектов. При удалении от края эти эффекты исчезают, в обе стороны с одинаковой скоростью.

EUgeneUS в сообщении #1412162 писал(а):

3. Разбивая длинный, но конечный, соленоид на две части, каждую из которых опять же можно считать длинным, но конечным соленоидом, коэффициент связи между этими частями можно сделать сколь угодно малым, увеличивая длину соленоида.

Коэффициент связи, но не взаимную индукцию. Взаимная индукция должна стремиться к конечному пределу, а самоиндукция, действительно, будет увеличиваться пропорционально длине.

EUgeneUS в сообщении #1412162 писал(а):

4. Величина магнитной индукции в длинном, но конечном, соленоиде (для определенности - на оси соленоида), в его центре и на "срезе" - существенно разная (отношение не стремится к $1$ с ростом длины соленоида).

Отношенние стремится к $1/2$ (либо к 2, смотря что в знаменателе).

UPD Краевые эффекты для магнитной индукции асимптотически спадают как $\left(R/x\right)^2$, где $R$ - радиус соленоида, $x$ - расстояние вдоль оси от края.