Существует ли предел

[Null]

$S_m=\sum\limits_{n=1}^{m}\frac{1}{\{n\sqrt{2}\}}$, где $\{\}$ - дробная часть.
Мне кажется что предел $\frac{S_m}{m\ln{m}}$ при $m\to\infty$ существует (и равен 1), но не могу доказать. Это вообще правда?

Для подпоследовательности $m=Q_{i}$, где $\frac{P_i}{Q_i}$- подходящие дроби, $\frac{S_m}{m\ln{m}}\to 1$

[nnosipov]

Null в сообщении #682517 писал(а):

Мне кажется что предел $\frac{S_m}{m\ln{m}}$ при $m\to\infty$ существует (и равен 1), но не могу доказать. Это вообще правда?

Хороший вопрос. Оценка по порядку $m\ln{m}$ справедлива для этой суммы и тогда, когда вместо $\sqrt{2}$ берется произвольное плохо приближаемое число $\theta$. Почему вдруг для $\sqrt{2}$ (и, тогда уж, для любой квадратичной иррациональности?) предел существует?

Null в сообщении #682517 писал(а):

Для подпоследовательности $m=Q_{i}$, где $\frac{P_i}{Q_i}$- подходящие дроби, $\frac{S_m}{m\ln{m}}\to 1$

Для $m=Q_i-1$ это верно вообще для любого иррационального числа $\theta$.

Null
Если Вы с тех пор как-то продвинулись в данном вопросе, поделитесь информацией. В свое время, выискивая ответ в трудах классиков, я не слишком преуспел. Скорее, сложилось впечатление, что вопрос существования предела является сложным. Возможно, сейчас дело продвинулось.

[DeBill]

Null
А что, если воспользоваться равномерным распределением дробных частей на $[0,1]$ ?
Тогда аналогом задачи будет задача о сходимости посл-ти случайных величин $\eta_m =c_m\sum\limits_{k=1}^{m} \xi_k$, где $\frac{1}{\xi_k}$ - равномерны на $[0,1]$, независимы, $c_m=\frac{1}{m \ln m}$
Характеристическая функция $\varphi_{\eta _m}(t)$ равна $(\varphi(c_mt))^m$, где $\varphi(t)$ - хар. ф-я для $\xi_k$.
Считая ее, имеем: $\varphi(t)=\int\limits_{1}^{\infty}\frac{e^{ixt} dx}{x^2}=$ (ну, и если я не ошибся в асимптотике) $=1-it\ln t +...$. Тогда последовательность $\varphi_{\eta _m(t)}$ сходится к $e^{it}$, что и дает сходимость (по распределению, а, значит, и по вероятности, т.е, ЗБЧ ) последовательности $\eta_m $ к константе , равной 1....
Конечно, это не дает доказательство того, что Вам хотелось (но делает правдоподобным как выбор нормировочной последовательности $c_m$, так и ответ, равный 1).

[nnosipov]

DeBill Что поменяется в Ваших рассуждениях, если вместо последовательности дробных частей $\{k\sqrt{2}\}$ рассматривать последовательность дробных частей $\{k\theta\}$, где $\theta$ --- произвольное иррациональное число? Если

$$ S_m(\theta)=\sum_{k=1}^m \frac{1}{\{k\theta\}}, $$

то в общем случае отношение $S_m(\theta)/m\ln{m}$ не обязано быть даже ограниченным. Более точно, существуют такие $\theta$, для которых это отношение неограниченно растет на подпоследовательности $m=Q_i$.

DeBill в сообщении #1410996 писал(а):

но делает правдоподобным как выбор нормировочной последовательности $c_m$, так и ответ, равный 1

Так это и без теоретико-вероятностных аналогий понятно: для подпоследовательности $m=Q_i-1$ предел отношения $S_m(\theta)/m\ln{m}$ равен единице для любого иррационального $\theta$, и это несложно доказывается.

[DeBill]

nnosipov в сообщении #1411003 писал(а):

DeBill Что поменяется в Ваших рассуждениях, е

Ну конечно, ничего. Более того, я полагаю, это рассуждение таки можно довести до доказательства фактов, интересующих ТС. Только понимать его надо правильно: "для почти всех чисел, та последовательность сходится к 1" (ну а Ваши лиувиллевы контрпримеры - они как раз меры 0, ибо почти все приличные числа - диофантовы).

nnosipov в сообщении #1411003 писал(а):

Так это и без теоретико-вероятностных аналогий понятно:

Не, не очень понятно: из того, что хорошо на подпоследовательности, до сходимости ее исчо далеко.

[nnosipov]

DeBill в сообщении #1411038 писал(а):

Только понимать его надо правильно: "для почти всех чисел ...

Это просто другой вопрос, а не правильное понимание исходного вопроса, представляющего вполне самостоятельный интерес.

Для несколько иных аналогичных сумм, связанных с квадратичными иррациональностями, главный член асимптотики удается выписать, причем ответ зависит от характеристик соответствующего квадратичного расширения (регулятор, дзета-функция Дедекинда).

DeBill в сообщении #1411038 писал(а):

Не, не очень понятно

Я просто имел в виду, что значение предела дается бесплатно, как только доказано его существование.

[DeBill]

nnosipov в сообщении #1411040 писал(а):

Это просто другой вопрос,

Да конечно!

nnosipov в сообщении #1411040 писал(а):

а не правильное понимание исходного вопроса,

Ну, я имел в виду не это, а "правильное понимание полученного в рассуждении (имеющего лишь косвенное отношение к поставленному ТС вопросу) ответа"

nnosipov в сообщении #1411040 писал(а):

значение предела дается бесплатно

А, да.

[nnosipov]

Честно говоря, я не знаком с результатами такого рода, в которых что-то доказывается для почти всех чисел. По-видимому, на сей счет надо смотреть труды Хинчина, чтобы понять, что за техника там используется. Было бы неплохо разобрать какой-нибудь не слишком сложный пример такого рода, может быть и про предел

$$ \lim_{m \to \infty} \frac{S_m(\theta)}{m\ln{m}}, $$

который для почти всех $\theta$ равен единице (если это действительно так). Насколько сложным может быть доказательство, даже не представляю. Есть ли здесь вообще простые примеры?

[DiMath]

Смотрите Следствие 1 вот тут.

[nnosipov]

DiMath
Спасибо.