Уравнение 5 степени от 8 переменных

[gris]

У меня лично $24N^4-72N^3+...$. Там ещё члены второй и первой степени. Это nnosipov знает. Но это же только перестановочные решения.

[vicvolf]

gris в сообщении #1410963 писал(а):

У меня лично $24N^4-72N^3+...$. Там ещё члены второй и первой степени. Это nnosipov знает. Но это же только перестановочные решения.

Конечно только перестановочные. Я как раз хотел сказать, что должен быть отрицательный коэффициент при кубе. Кстати, какое мнение участников по 2 задаче?

[gris]

Перестановочная часть действительно не так сложна, если не поддаться на искушение думать об обобщении на количество слагаемых. Надо лишь сесть и внимательно сложить пять вариантов. Но вот она растянулась на целый день, как бутылка квантро, и доставила тягучее удовольствие. Ибо невозможно сосредоточится ни на минуту. Так что Вам спасибочки.

[vicvolf]

gris в сообщении #1410972 писал(а):

Перестановочная часть действительно не так сложна, если не поддаться на искушение думать об обобщении на количество слагаемых

Давайте обобщим оценку снизу количества натуральных решений для данного уравнения в гиперкубе со стороной $N$ в другом смысле.

Ясно. что для уравнения $x_1^k-y_1^k=0$ справедлива асимптотическая оценка снизу - $O(N)$.

Для уравнения $x_1^k-y_1^k+x_2^k-y_2^k=0$ справедлива асимптотическая оценка снизу - $O(N^2)$.

Для рассматриваемого уравнения $x_1^k-y_1^k+x_2^k-y_2^k+x_3^k-y_3^k+x_4^k-y_4^k=0$ справедлива асимптотическая оценка снизу - $O(N^4)$.

Для обобщенного в этом смысле уравнения $x_1^k-y _1^k+x_2^k-y_2^k+…+x_{2^{j-1}}^{k}-y_{2^{j-1}}^{k}=0$ (1) справедлива асимптотическая оценка снизу - $O(N^{2^{j-1}})$.(2)

Обратим внимание, что данная асимптотическая оценка снизу не зависит от $k$.

Асимптотическая оценка сверху количества натуральных решений для данного уравнения в гиперкубе со стороной $N$ естественно должна учитывать все указанные выше симметричные решения, которые не зависят от $k$. Кроме того она должна учитывать несимметричные решения, которые зависят от $k$. Однако, несимметричных решений, как мы видели, значительно меньше. Изменят ли они порядок оценки? Это более сложный вопрос, который требует дополнительных знаний. Ответить на него Вы сможете с использованием Леммы Хуа на стр 20 монографии Р. Вон "Метод Харди-Литлвуда", М, Мир, 1988, 184. Жду решения 2 задачи.

[nnosipov]

vicvolf в сообщении #1411012 писал(а):

Для обобщенного в этом смысле уравнения $x_1^k-y _1^k+x_2^k-y_2^k+…+x_{2^{j-1}}^{k}-y_{2^{j-1}}^{k}=0$ (1) справедлива асимптотическая оценка снизу - $O(N^{2^{j-1}})$.(2)

Какое-то диковатое обобщение. Хотя, казалось бы, написано достаточно, чтобы понять, как оценить снизу количество "перестановочных" решений в случае произвольного числа неизвестных.

[SiberianSemion]

Для количества решений уравнения

$$x_1^k+\ldots+x_{2^{j-1}}^k-y_1^k-\ldots-y_{2^{j-1}}^k=0,\quad x_i, y_i\le N.$$

дается оценка сверху $O(N^{2^j-j+\varepsilon}).$ Это по ссылке.

Нашему случаю соответствует значение $j=3,$ так что кол-во решений может увеличиться не более чем до $O(N^{5+\varepsilon}).$

Так что надо найти серию порядка $N^5$ решений, либо доказать, что таковых нет.

[vicvolf]

nnosipov в сообщении #1411019 писал(а):

vicvolf в сообщении #1411012 писал(а):

Для обобщенного в этом смысле уравнения $x_1^k-y _1^k+x_2^k-y_2^k+…+x_{2^{j-1}}^{k}-y_{2^{j-1}}^{k}=0$ (1) справедлива асимптотическая оценка снизу - $O(N^{2^{j-1}})$.(2)

Какое-то диковатое обобщение.

Это обозначения, принятые в Лемме Хуа, чтобы удобно было сравнить оценку снизу и сверху.

SiberianSemion в сообщении #1411023 писал(а):

Для количества решений уравнения

$$x_1^k+\ldots+x_{2^{j-1}}^k-y_1^k-\ldots-y_{2^{j-1}}^k=0,\quad x_i, y_i\le N.$$

дается оценка сверху $O(N^{2^j-j+\varepsilon}).$ Это по ссылке.

Все верно. Хочу только обратить внимание, что данная оценка справедлива не для всех $j$, а только $1 \leq j \leq k$. У нас $j=3$, а $k=5$, так что подходит.

Цитата:

Нашему случаю соответствует значение $j=3,$ так что кол-во решений может увеличиться не более чем до $O(N^{5+\varepsilon})$

Обратите внимание, что оценка снизу $O(N^4)$, а сверху $O(N^{5+\varepsilon})$, т.е допускается в этом случае $O(N^{1+\varepsilon})$ несимметричных решений - значительно больше, чем казалось на первый взгляд.

[SiberianSemion]

vicvolf в сообщении #1411028 писал(а):

т.е допускается в этом случае $O(N^{1+\varepsilon})$ несимметричных решений - значительно больше, чем казалось на первый взгляд.

Допускается даже $O(N^{5+\varepsilon})$ несимметричных решений. В этом случае несимметричные по количеству побьют симметричные и получится как раз оценка $O(N^{5+\varepsilon}).$

[vicvolf]

SiberianSemion в сообщении #1411029 писал(а):

Допускается даже $O(N^{5+\varepsilon})$ несимметричных решений.

Нет, так как оценка снизу симметричных решений $O(N^4)$. Посмотрите 1 задачу.

[nnosipov]

vicvolf
У Вас до сих пор проблемы с пониманием $O$-символики. Не смущайте студентов.

[vicvolf]

nnosipov Спасибо, действительно ерунду написал.

SiberianSemion в сообщении #1411029 писал(а):

Допускается даже $O(N^{5+\varepsilon})$ несимметричных решений.

Вы правы.