2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Уравнение 5 степени от 8 переменных
Сообщение17.08.2019, 19:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
У меня лично $24N^4-72N^3+...$. Там ещё члены второй и первой степени. Это nnosipov знает. Но это же только перестановочные решения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение 5 степени от 8 переменных
Сообщение17.08.2019, 20:11 


23/02/12
3357
gris в сообщении #1410963 писал(а):
У меня лично $24N^4-72N^3+...$. Там ещё члены второй и первой степени. Это nnosipov знает. Но это же только перестановочные решения.
Конечно только перестановочные. Я как раз хотел сказать, что должен быть отрицательный коэффициент при кубе. Кстати, какое мнение участников по 2 задаче?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение 5 степени от 8 переменных
Сообщение17.08.2019, 20:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
Перестановочная часть действительно не так сложна, если не поддаться на искушение думать об обобщении на количество слагаемых. Надо лишь сесть и внимательно сложить пять вариантов. Но вот она растянулась на целый день, как бутылка квантро, и доставила тягучее удовольствие. Ибо невозможно сосредоточится ни на минуту. Так что Вам спасибочки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение 5 степени от 8 переменных
Сообщение18.08.2019, 11:21 


23/02/12
3357
gris в сообщении #1410972 писал(а):
Перестановочная часть действительно не так сложна, если не поддаться на искушение думать об обобщении на количество слагаемых
Давайте обобщим оценку снизу количества натуральных решений для данного уравнения в гиперкубе со стороной $N$ в другом смысле.

Ясно. что для уравнения $x_1^k-y_1^k=0$ справедлива асимптотическая оценка снизу - $O(N)$.

Для уравнения $x_1^k-y_1^k+x_2^k-y_2^k=0$ справедлива асимптотическая оценка снизу - $O(N^2)$.

Для рассматриваемого уравнения $x_1^k-y_1^k+x_2^k-y_2^k+x_3^k-y_3^k+x_4^k-y_4^k=0$ справедлива асимптотическая оценка снизу - $O(N^4)$.

Для обобщенного в этом смысле уравнения $x_1^k-y _1^k+x_2^k-y_2^k+…+x_{2^{j-1}}^{k}-y_{2^{j-1}}^{k}=0$ (1) справедлива асимптотическая оценка снизу - $O(N^{2^{j-1}})$.(2)

Обратим внимание, что данная асимптотическая оценка снизу не зависит от $k$.

Асимптотическая оценка сверху количества натуральных решений для данного уравнения в гиперкубе со стороной $N$ естественно должна учитывать все указанные выше симметричные решения, которые не зависят от $k$. Кроме того она должна учитывать несимметричные решения, которые зависят от $k$. Однако, несимметричных решений, как мы видели, значительно меньше. Изменят ли они порядок оценки? Это более сложный вопрос, который требует дополнительных знаний. Ответить на него Вы сможете с использованием Леммы Хуа на стр 20 монографии Р. Вон "Метод Харди-Литлвуда", М, Мир, 1988, 184. Жду решения 2 задачи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение 5 степени от 8 переменных
Сообщение18.08.2019, 13:18 
Заслуженный участник


20/12/10
9063
vicvolf в сообщении #1411012 писал(а):
Для обобщенного в этом смысле уравнения $x_1^k-y _1^k+x_2^k-y_2^k+…+x_{2^{j-1}}^{k}-y_{2^{j-1}}^{k}=0$ (1) справедлива асимптотическая оценка снизу - $O(N^{2^{j-1}})$.(2)
Какое-то диковатое обобщение. Хотя, казалось бы, написано достаточно, чтобы понять, как оценить снизу количество "перестановочных" решений в случае произвольного числа неизвестных.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение 5 степени от 8 переменных
Сообщение18.08.2019, 14:29 
Аватара пользователя


24/03/19
147
Для количества решений уравнения $$x_1^k+\ldots+x_{2^{j-1}}^k-y_1^k-\ldots-y_{2^{j-1}}^k=0,\quad x_i, y_i\le N.$$ дается оценка сверху $O(N^{2^j-j+\varepsilon}).$ Это по ссылке.

Нашему случаю соответствует значение $j=3,$ так что кол-во решений может увеличиться не более чем до $O(N^{5+\varepsilon}).$

Так что надо найти серию порядка $N^5$ решений, либо доказать, что таковых нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение 5 степени от 8 переменных
Сообщение18.08.2019, 15:02 


23/02/12
3357
nnosipov в сообщении #1411019 писал(а):
vicvolf в сообщении #1411012 писал(а):
Для обобщенного в этом смысле уравнения $x_1^k-y _1^k+x_2^k-y_2^k+…+x_{2^{j-1}}^{k}-y_{2^{j-1}}^{k}=0$ (1) справедлива асимптотическая оценка снизу - $O(N^{2^{j-1}})$.(2)
Какое-то диковатое обобщение.
Это обозначения, принятые в Лемме Хуа, чтобы удобно было сравнить оценку снизу и сверху.
SiberianSemion в сообщении #1411023 писал(а):
Для количества решений уравнения $$x_1^k+\ldots+x_{2^{j-1}}^k-y_1^k-\ldots-y_{2^{j-1}}^k=0,\quad x_i, y_i\le N.$$ дается оценка сверху $O(N^{2^j-j+\varepsilon}).$ Это по ссылке.
Все верно. Хочу только обратить внимание, что данная оценка справедлива не для всех $j$, а только $1 \leq j \leq k$. У нас $j=3$, а $k=5$, так что подходит.
Цитата:
Нашему случаю соответствует значение $j=3,$ так что кол-во решений может увеличиться не более чем до $O(N^{5+\varepsilon})$
Обратите внимание, что оценка снизу $O(N^4)$, а сверху $O(N^{5+\varepsilon})$, т.е допускается в этом случае $O(N^{1+\varepsilon})$ несимметричных решений - значительно больше, чем казалось на первый взгляд.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение 5 степени от 8 переменных
Сообщение18.08.2019, 15:06 
Аватара пользователя


24/03/19
147
vicvolf в сообщении #1411028 писал(а):
т.е допускается в этом случае $O(N^{1+\varepsilon})$ несимметричных решений - значительно больше, чем казалось на первый взгляд.

Допускается даже $O(N^{5+\varepsilon})$ несимметричных решений. В этом случае несимметричные по количеству побьют симметричные и получится как раз оценка $O(N^{5+\varepsilon}).$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение 5 степени от 8 переменных
Сообщение18.08.2019, 15:38 


23/02/12
3357
SiberianSemion в сообщении #1411029 писал(а):
Допускается даже $O(N^{5+\varepsilon})$ несимметричных решений.
Нет, так как оценка снизу симметричных решений $O(N^4)$. Посмотрите 1 задачу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение 5 степени от 8 переменных
Сообщение18.08.2019, 18:15 
Заслуженный участник


20/12/10
9063
vicvolf
У Вас до сих пор проблемы с пониманием $O$-символики. Не смущайте студентов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение 5 степени от 8 переменных
Сообщение18.08.2019, 18:33 


23/02/12
3357
nnosipov Спасибо, действительно ерунду написал.
SiberianSemion в сообщении #1411029 писал(а):
Допускается даже $O(N^{5+\varepsilon})$ несимметричных решений.
Вы правы.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 41 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group